Leçons de niveau 14

Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Loi binomiale
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chap. préc. :Loi de Bernoulli
Chap. suiv. :Loi géométrique

Exercices :

Autour de la loi binomiale
Exercices :Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Variables aléatoires discrètes : Loi binomiale
Variables aléatoires discrètes/Loi binomiale
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Rappel (cf. prérequis) :


Remarquons que ceci définit bien une loi de probabilités sur  :

d'après la formule du binôme.

Moments[modifier | modifier le wikicode]

Espérance[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Variance[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Épreuves de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

L'illustration la plus classique de la loi binomiale se déduit d'épreuves de Bernoulli : en effet, si sont n variables aléatoires indépendantes de même loi, la loi de Bernoulli de paramètre p, alors leur somme suit une loi binomiale de paramètres n et p.

En effet, si suivent une loi de Bernoulli, elles prennent toutes pour valeurs 0 ou 1, donc leur somme S prend des valeurs entre 0 et n.
Ensuite, il faut calculer , soit, parmi les n variables, la probabilité que k d'entre elles valent 1. Connaissant le paramètre p, on déduit la valeur recherchée.

Loi binomiale négative[modifier | modifier le wikicode]

La loi binomiale négative s'inspire de la définition de la loi binomiale, mais s'intéresse aux nombres d'échecs :

On réalise des tirages indépendants d'une loi de Bernoulli de paramètre p jusqu'à obtenir n succès. Le nombre d'échecs obtenus est une variable aléatoire suivant une loi binomiale négative.

Le nom de loi binomiale négative vient du fait qu'on peut également écrire la probabilité en utilisant les coefficients binomiaux généralisés aux entiers négatifs :

.