Fonction génératrice/Quelques propriétés

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Nous allons étudier les propriétés de la fonction génératrice en les exposant sous forme d’une suite d’énoncés que nous démontrerons. Nous supposerons que X(Ω) est inclus dans ℕ pour fixer les idées. Le cas particulier où X(Ω) est fini sera la plupart du temps plus simple à traiter. Le lecteur pourra donc, dans un premier temps, se limiter à l’étude de ce cas pour avoir une première approche des propriétés de la fonction génératrice.

Propriété 1

Une fonction génératrice G_X est toujours définie et continue sur [–1, 1], indéfiniment dérivable sur ]–1, 1[, et G_X(1) = 1.

Démonstration

1er cas : X(Ω) ⊂〚0, n〛

La fonction G_X est polynomiale, donc définie et indéfiniment dérivable sur ℝ.

Cas général : on suppose seulement X(Ω) ⊂ ℕ

Sans perte de généralité, X(Ω) = ℕ. Il suffit alors de remarquer que $\sum _{k\in \mathbb {N} }p(X=k)=1$ et d'appliquer les propriétés générales des séries entières.

 

Propriété 2

On a :

$\forall i\in X(\Omega )\qquad p(X=i)={\frac {G_{X}^{(i)}(0)}{i!}}$.

Démonstration

En dérivant i fois la fonction génératrice, on obtient :

$\forall t\in \mathbb {R} \qquad G_{X}^{(i)}(t)=\sum _{k\in X(\Omega ),k\geqslant i}{\frac {k!}{(k-i)!}}p(X=k)t^{k-i}$.

En particulier, pour t = 0 :

$G_{X}^{(i)}(0)=\sum _{k\in X(\Omega ),k\geqslant i}{\frac {k!}{(k-i)!}}p(X=k)0^{k-i}=i!p(X=i)$

car 0⁰ = 1.

On obtient bien :

$p(X=i)={\frac {G_{X}^{(i)}(0)}{i!}}$.

 

Propriété 3

Pour toute variable aléatoire X d'espérance E(X) finie, la fonction génératrice G_X, restreinte à [–1, 1], est de classe C¹ et sa dérivée (à gauche) au point 1 est égale à E(X).

Démonstration

1er cas : X(Ω) ⊂〚0, n〛

Évident car G_X est polynomiale.

Cas général : on suppose seulement X(Ω) ⊂ ℕ

Par hypothèse, $\sum _{k=1}^{\infty }kp(X=k)=\mathbb {E} (X)<+\infty$.

Par le même argument que pour la continuité (propriété 1), la série entière

$\sum _{k=1}^{\infty }kt^{k-1}p(X=k)$

est donc convergente sur [–1, 1], vers une fonction continue dont la valeur en 1 est l'espérance de X.

Or sur ]–1, 1[, cette fonction est égale à $G'_{X}$.

On conclut grâce au théorème « limite de la dérivée ».

 

Propriété 4

Pour toute variable aléatoire X de variance finie, la fonction génératrice G_X, restreinte à [–1, 1], est de classe C² et sa dérivée seconde (à gauche) au point 1 est égale à E(X(X – 1)).

La démonstration est identique à celle de la propriété précédente.

Propriété 5

Pour toute variable aléatoire X de variance finie, V(X) = G_X’’(1) + G_X’(1) - [G_X’(1)]².

Démonstration

${\begin{aligned}V(X)&=E(X^{2})-\left(E(X)\right)^{2}\\&=E\left(X(X-1)\right)+E(X)-\left(E(X)\right)^{2}\\&=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2},\end{aligned}}$

la dernière égalité résultant des deux propositions précédentes.

 

Propriété 6

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On a : G_X+Y(t) = G_X(t)G_Y(t).

Démonstration

Pour tout réel $t\in [0,1]$, les deux variables aléatoires $t^{X}$ et $t^{Y}$ sont indépendantes donc l'espérance de leur produit est le produit de leurs espérances respectives.

 

Par récurrence sur n, on en déduit immédiatement :

Corollaire

Soient X₁, X₂,…,X_n n variables aléatoires indépendantes. On a :

$G_{\sum _{k=1}^{n}X_{k}}(t)=\prod _{k=1}^{n}G_{X_{k}}(t)$.