Variables aléatoires discrètes/Loi hypergéométrique

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Définition

Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi hypergéométrique si :

$\forall k\in [0,n],\mathbb {P} (X=k)={\frac {{\binom {pA}{k}}{\binom {qA}{n-k}}}{\binom {A}{n}}}$

où $p$ est un nombre réel compris entre 0 et 1, q=1-p, et $A\geq n$.

On note cette loi ${\mathcal {HG}}(n,p,A)$.

Exemple pratique d’utilisation de la loi hypergéométrique

On pratique un tirage de n boules parmi A boules dans une urne sans remise et non ordonné. Dans cette urne, on compte pA boules gagnantes et qA boules perdantes.

Parmi ces n boules, le nombre de boules gagnants tirées est une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique ${\mathcal {HG}}(n,p,A)$.

Moments

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

L'espérance d'une loi hypergéométrique est $np$.

Fin du théorème

​

Démonstration

En notant $E_{k}$, l'évènement "Parmi les n boules, on a tiré k boules gagnantes", il vient :

$\mathbb {E} (X)=pA\mathbb {P} (E_{1})$

Or,

$\mathbb {P} (E_{1})=1-\mathbb {P} ({\bar {E_{1}}})=1-{\frac {\binom {A-1}{n}}{\binom {A}{n}}}=1-{\frac {A-n}{A}}={\frac {n}{A}}$

D'où le résultat.

 

Variance

Début d’un théorème

Théorème

• La variance d'une loi hypergéométrique est $np(1-p){\frac {A-n}{A-1}}$.
• Son écart type est donc ${\sqrt {np(1-p)}}{\frac {\sqrt {A-n}}{\sqrt {A-1}}}$

Fin du théorème