Espace préhilbertien réel/Exercices/Produit scalaire

Exercice 6-1

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Démontrer que pour tous réels $x_{1},\dots ,x_{n}$, on a :

$\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\leq {\frac {n-1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$.

Solution

En multipliant les deux membres par $2$ puis en leur ajoutant $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$, l'inégalité à démontrer est :

$2\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$,

ou encore :

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$.

C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs $(x_{1},\dots ,x_{n})$ et $(1,\dots ,1)$, dans $\mathbb {R} ^{n}$ muni de son produit scalaire usuel.

Par exemple, pour $n=3$, on obtient :

$\forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\qquad ab+ac+bc\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

 

Exercice 6-2

Soient $a,b,c$ trois nombres réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité suivante :

${\sqrt {\frac {2a}{a+b}}}+{\sqrt {\frac {2b}{b+c}}}+{\sqrt {\frac {2c}{a+c}}}\leq 3$.

Solution

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tous réels strictement positifs $x,y,z$, on a

${\sqrt {\frac {2a}{a+b}}}+{\sqrt {\frac {2b}{b+c}}}+{\sqrt {\frac {2c}{a+c}}}\leq {\sqrt {\left({\frac {2ax}{a+b}}+{\frac {2by}{b+c}}+{\frac {2cz}{a+c}}\right)\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\right)}}$.

Il suffit donc de démontrer que pour $x,y,z$ bien choisis, on a

$\left({\frac {2ax}{a+b}}+{\frac {2by}{b+c}}+{\frac {2cz}{a+c}}\right)\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\right)\leq 9$.

En posant $x={\frac {1}{a+c}},y={\frac {1}{b+a}},z={\frac {1}{c+b}}$, l'inégalité à démontrer devient

$\left({\frac {a}{(a+b)(a+c)}}+{\frac {b}{(b+c)(b+a)}}+{\frac {c}{(c+a)(c+b)}}\right)\left(a+b+c\right)\leq {\frac {9}{4}}$,

ou encore

$a(b^{2}+c^{2})+b(c^{2}+a^{2})+c(a^{2}+b^{2})\geq 6abc$,

ce qui équivaut à

$a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a-b)^{2}\geq 0$.

Cette inégalité est donc vraie.

Référence : p. 35 de Algebraic inequalities de Vasile Cirtoaje, reproduit par Daniel Collignon dans sa solution de « A2852 — Trois réels et trois racines pour une inégalité », sur le site Diophante.fr, géré par Philippe Fondanaiche.

 

Exercice 6-3

Soient $a,b,c\in \mathbb {R}$.

1. Montrer que $|6a+3b+2c|\leq 7{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$. Quand a-t-on égalité ?
2. Montrer que $2a+3b+4c\leq {\sqrt {29(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}$. Quand a-t-on égalité ?
3. Montrer que $a+b+c\leq 7{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$. Quand a-t-on égalité ?
4. Montrer que $3a+4b\leq 5{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$. Quand a-t-on égalité ?

Solution

(Cauchy-Schwarz)

1. ${\sqrt {6^{2}+3^{2}+2^{2}}}=7$. Égalité si et seulement si $a/6=b/3=c/2$.
2. $2^{2}+3^{2}+4^{2}=29$. Égalité si et seulement si $a/2=b/3=c/4\geq 0$.
3. ${\sqrt {3}}<7$. Égalité si et seulement si $a=b=c=0$.
4. ${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$. Égalité si et seulement si $c=0$ et $a/3=b/4\geq 0$.