Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre

Exercice 3-1

On travaille dans $E=\mathbb {R} [X]$ muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle =\int _{0}^{+\infty }f(x)g(x)\operatorname {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x$.

On définit, pour tout $n\in \mathbb {N}$, le n-ième polynôme de Laguerre $L_{n}$ par :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad L_{n}(x)={\frac {\operatorname {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(\operatorname {e} ^{-x}x^{n})$.

1. Vérifier que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ est bien un produit scalaire sur E.
2. Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
3. Montrer que $(L_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une famille orthonormale de $\mathbb {R} [X]$
4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, L_n vérifie l'équation différentielle $(E_{1})~:~xL_{n}''(x)+(1-x)L_{n}'(x)+nL_{n}(x)=0$.
5. Montrer que L vérifie l'équation $(E_{2})~:~\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in \mathbb {R} \quad (n+1)L_{n+1}(x)+(x-2n-1)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0$.

Solution des questions 1 et 2

1. • Pour tout $P,Q\in \mathbb {R} [X]\quad x\mapsto P(x)Q(x)\operatorname {e} ^{-x}$ est intégrable sur $\mathbb {R} ^{+}$, donc $\langle P,Q\rangle$ est bien défini.
   • La linéarité de l'intégrale donne la bilinéarité de $\langle \cdot ,\cdot \rangle$.
   • La symétrie et la positivité sont triviales.
   • Soit $P\in E$ tel que $\langle P,P\rangle =0$. La fonction $x\mapsto P^{2}(x)\operatorname {e} ^{-x}$ est continue, positive et d'intégrale sur $\mathbb {R} ^{+}$ nulle, donc elle est identiquement nulle, c'est-à-dire P = 0.

   On a montré que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ était bilinéaire, symétrique, définie positive. Donc $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ est un produit scalaire sur E.

2. • $L_{0}(x)=1$
   • $L_{1}(x)=-x+1$
   • $L_{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-2x+1$
   • $L_{3}(x)=-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-3x+1$

 

Absence de solution des questions 3 à 5

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 3-2

On considère l'espace de Hilbert $H=\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} _{+},\mu )$ où

$\mathrm {d} \mu (x)=\operatorname {e} ^{-x}1_{\mathbb {R} _{+}}\mathrm {d} \lambda (x)$,

$\lambda$ étant la mesure de Lebesgue sur $\mathbb {R}$.

On définit pour tout $n\in \mathbb {N}$ et $x\in \mathbb {R} _{+}$,

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}\operatorname {e} ^{-x})$.

1. Montrer que $L_{n}$ est un polynôme de degré $L_{n}$ et donner son coefficient dominant.
2. 1. Calculer le produit scalaire $\langle X^{k},L_{n}\rangle$ pour tout $0\leq k\leq n$.
   2. En déduire que $(L_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une famille orthonormale de $H$.
3. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb {R} _{+}$, $\sum _{n\geq 0}\left(\int _{\mathbb {R} _{+}}\operatorname {e} ^{-\alpha x}L_{n}(x)\operatorname {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x\right)^{2}={\frac {1}{2\alpha +1}}$.
4. En déduire que $f_{\alpha }:x\mapsto \operatorname {e} ^{-\alpha x}$ appartient à l'adhérence de $\operatorname {Vect} \left((L_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)$ dans $H$.
5. Soit $f\in C_{0}(\mathbb {R} _{+})$ l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le théorème de Stone-Weierstrass à la fonction $g:[0,1]\to \mathbb {R}$ définie par $g(x)=f(-\ln x)$ si $x\neq 0$ et $g(0)=0$, montrer que la suite $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est totale dans $C_{0}(\mathbb {R} _{+})$ pour la norme $\|\cdot \|_{\infty }$.
6. Montrer que $(L_{n})_{n\geq 0}$ est une base hilbertienne de $H$.

Solution

1. Si $P$ est un polynôme, $({\rm {e}}^{-x}P)'={\rm {e}}^{-x}Q$ avec $Q=-P+P'$, de même degré que $P$ et de coefficient dominant opposé. Donc $L_{n}$ est un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$.
2. 1. Pour $0\leq k\leq n$,

      ${\begin{aligned}\langle X^{k},L_{n}\rangle &=\int _{0}^{+\infty }x^{k}{\frac {{\rm {e}}^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(x^{n}{\rm {e}}^{-x}){\rm {e}}^{-x}{\rm {d}}x\\&={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{+\infty }x^{k}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(x^{n}{\rm {e}}^{-x}){\rm {d}}x\\&={\frac {(-1)^{k}k!}{n!}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {{\rm {d}}^{n-k}}{{\rm {d}}x^{n-k}}}(x^{n}{\rm {e}}^{-x}){\rm {d}}x{\text{ (par }}k{\text{ intégrations par parties)}}\\&={\begin{cases}{\text{si }}k<n~:&0\\{\text{si }}k=n~:&(-1)^{n}\int _{0}^{+\infty }x^{n}{\rm {e}}^{-x}{\rm {d}}x=(-1)^{n}n!{\text{ (par }}n{\text{ intégrations par parties).}}\end{cases}}\end{aligned}}$

   2. D'après les deux questions précédentes, chaque $L_{n}$ est orthogonal aux précédents et $\langle L_{n},L_{n}\rangle ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\langle X^{n},L_{n}\rangle =1$.
3. Soit $\alpha \geq 0$.

   $\int _{0}^{+\infty }{\rm {e}}^{-\alpha x}L_{n}(x){\rm {e}}^{-x}{\rm {d}}x={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{+\infty }{\rm {e}}^{-\alpha x}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}(x^{n}{\rm {e}}^{-x}){\rm {d}}x=$

   (après $n$ intégrations par parties)

   ${\frac {\alpha ^{n}}{n!}}\int _{0}^{+\infty }x^{n}{\rm {e}}^{-(\alpha +1)x}{\rm {d}}x={\frac {\alpha ^{n}}{n!(\alpha +1)^{n+1}}}\int _{0}^{+\infty }y^{n}{\rm {e}}^{-y}{\rm {d}}y={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha +1)^{n+1}}}$

   (la dernière égalité résultant d'un calcul déjà fait dans 2.1). La somme des carrés vaut donc, avec $q:={\frac {\alpha ^{2}}{(\alpha +1)^{2}}}\in \left[0,1\right[$

   ${\frac {1}{(\alpha +1)^{2}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }q^{n}={\frac {1}{(\alpha +1)^{2}(1-q)}}={\frac {1}{(\alpha +1)^{2}-\alpha ^{2}}}={\frac {1}{2\alpha +1}}$.

4. Ce qu'on vient de calculer est la norme au carré du projeté de $f_{\alpha }$ sur cette adhérence. Il suffit donc de vérifier que ce nombre est égal à la norme au carré de $f_{\alpha }$ :

   $\int _{0}^{+\infty }f_{\alpha }^{2}(x){\rm {e}}^{-x}{\rm {d}}x=\int _{0}^{+\infty }{\rm {e}}^{-(2\alpha +1)x}{\rm {d}}x={\frac {1}{2\alpha +1}}$.

5. $x\mapsto -\ln x$ est un homémomorphisme (décroissant) de $[0,1]$ sur $[0,+\infty ]$ donc si $f\in C_{0}(\mathbb {R} _{+})$, $g(x)=f(-\ln x)$ est continue sur $[0,1]$ et nulle en 0. Elle est donc limite uniforme sur $[0,1]$ de combinaisons linéaires des $x^{n}$ pour $n>0$, donc $f$ est limite uniforme sur $\mathbb {R} ^{+}$ des combinaisons, avec les mêmes coefficients, des $f_{n}$ pour $n>0$.
6. L'application $f\mapsto g$ est une bijection linéaire isométrique de $H$ dans ${\rm {L}}^{2}([0,1],\lambda )$, qui envoie $(f_{n})_{n\geq 0}$ sur $(x^{n})_{n\geq 0}$. Comme $(x^{n})_{n\geq 0}$ est totale dans $(C([0,1]),\|~\|_{\infty })$ et a fortiori dans ${\rm {L}}^{2}([0,1],\lambda )$, $(f_{n})_{n\geq 0}$ est totale dans $H$, donc $(L_{n})_{n\geq 0}$ aussi d'après la question 4.