Leçons de niveau 15

Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre

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Polynômes de Laguerre
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Exercices no3
Leçon : Espace préhilbertien réel
Chapitre du cours : Produit scalaire, Orthogonalité

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Polynômes de Legendre
Exo suiv. :Projection orthogonale
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Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

On travaille dans muni du produit scalaire .

On définit, pour tout , le n-ième polynôme de Laguerre par :

.
  1. Vérifier que est bien un produit scalaire sur E.
  2. Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
  3. Montrer que est une famille orthonormale de
  4. Montrer que pour tout , Ln vérifie l'équation différentielle .
  5. Montrer que L vérifie l'équation .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'espace de Hilbert

,

étant la mesure de Lebesgue sur .

On définit pour tout et ,

.
  1. Montrer que est un polynôme de degré et donner son coefficient dominant.
    1. Calculer le produit scalaire pour tout .
    2. En déduire que est une famille orthonormale de .
  2. Montrer que pour tout , .
  3. En déduire que appartient à l'adhérence de dans .
  4. Soit l'espace des fonctions nulles à l'infini. En appliquant le théorème de Stone-Weierstrass à la fonction définie par si et , montrer que la suite est totale dans pour la norme .
  5. Montrer que est une base hilbertienne de .