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Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema

Leçons de niveau 15
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Recherches d'extrema
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Exercices no3
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Recherches d'extrema

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Inversion locale, fonctions implicites
Exo suiv. :Équations différentielles linéaires
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Recherches d'extrema
Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Soit . Montrer que est le seul point critique de , qu'il n’est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de à toute droite passant par admet en ce point un minimum local.

Déterminer les extrema (locaux et globaux) de :

  • sur  ;
  • .

Soit .

  1. Montrer que admet au plus un extremum.
  2. Écrire comme la somme de deux carrés et en déduire que admet comme valeur minimale.

Montrer que n'a pas de point critique (donc pas d'extremum global ni même local).

Montrer que n'a pas d'extremum global ni même local.

Montrer que a un extremum.

Soit . Montrer que n'a pas d'extremum local.

  1. Étudier les extrema éventuels de la fonction .
  2. En déduire qu'à volume fixé, le parallélépipède rectangle d'aire minimale est un cube.
  3. Déterminer de même le volume maximal et la forme d'un parallélépipède rectangle inscrit dans une sphère de rayon .

On considère le point et la sphère unité de  : .

  1. Quel est le point de le plus proche de  ?
  2. On considère aussi le plan  : . Quel est le point de le plus proche de  ?

Chercher les extrema globaux de

sur le disque unité fermé

puis sur le disque unité ouvert

.

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le développement limité d'ordre et étudier la nature du point donné, s'il est critique :

  • au point  ;
  • au point  ;
  • au point  ;
  • au point .

Déterminer si les matrices suivantes peuvent être des matrices hessiennes :

Trouver les points critiques des six fonctions suivantes de dans et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.

Déterminer aussi si ces mêmes fonctions ont des maxima ou minima globaux.

  •  ;
  •  ;
  • , où est un nombre réel donné ;
  •  ;
  •  ;
  • .

On considère la fonction définie par

.
  1. Trouver les points critiques de .
  2. Déterminer si la fonction possède un maximum global (resp. minimum global).
  3. Déterminer si la restriction de à l'ensemble possède un maximum global (resp. minimum global). Que peut-on dire sur la localisation de ces extrema globaux ?

Dans l'espace affine euclidien usuel, soient , , trois droites deux à deux non parallèles. Soit

.

On choisit sur chaque droite un point et un vecteur directeur , et l'on note .

  1. Montrer que et en déduire que admet un minimum.
  2. Montrer que ce minimum est strict (donc n'est atteint qu'une fois).
  3. Dans le cas où , , sont coplanaires et délimitent un triangle équilatéral, identifier ce minimum.

Soient différentiable, la sphère unité de , la restriction de à , et un point de en lequel a un extremum local (par exemple un maximum ou un minimum global — on sait que les deux existent). Montrer qu'il existe un réel tel que .

Déterminer la valeur maximum de sur la lemniscate de Bernoulli d'équation .

Déterminer les extrema locaux de sur le folium de Descartes d'équation .

Chercher les extrema des fonctions suivantes :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5. .

On pose .

  1. Calculer le vecteur gradient et la matrice hessienne de .
  2. Déterminer les points critiques de .
  3. Donner le développement limité de au point à l'ordre 2.
  4. Montrer que est un point selle et que est un minimum local.

Considérons la fonction .

  1. Calculer le développement limité d'ordre 2 de en un point quelconque .
  2. En déduire les points critiques de et leur nature.

L'objectif de cet exercice est de déterminer les points d'extremum local de la fonction définie par

.
  1. Déterminer les points critiques de .
  2. Montrer que .
  3. Étudier le sens de variation de la fonction définie par .
  4. Montrer que pour tout et tout on a .
  5. Montrer que est un point selle.

Soient tels que , l'ensemble des tels que et .

  1. Montrer que est une sous-variété de de classe C1. (De quelle dimension ?)
  2. Pourquoi admet-elle au moins un maximum et un minimum ?
  3. Déterminer les points de vérifiant la condition nécessaire d'extrémalité de Lagrange.
  4. En déduire les valeurs maximale et minimale de .

Mêmes questions pour et .

Mêmes questions pour et , pour le minimum.