Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema

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Recherches d'extrema
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Exercices no3
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Recherches d'extrema

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Inversion locale, fonctions implicites
Exo suiv. :Équations différentielles linéaires
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Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que est le seul point critique de , qu'il n’est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de à toute droite passant par admet en ce point un minimum local.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer les extrema (locaux et globaux) de sur .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Étudier les extrema (locaux et globaux) de

.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que admet au plus un extremum. Écrire comme la somme de deux carrés et en déduire que admet comme valeur minimale.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que n'a pas d'extremum local.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Étudier les extrema éventuels de la fonction .
  2. En déduire qu'à volume fixé, le parallélépipède rectangle d'aire minimale est un cube.
  3. Déterminer de même le volume maximal et la forme d'un parallélépipède rectangle inscrit dans une sphère de rayon .

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Dans le plan euclidien, on considère un triangle équilatéral de côté 1. À trois points , , , on associe .

  1. Justifier sans calcul que admet un minimum global.
  2. Déterminer la valeur de ce minimum et le ou les triplets où il est atteint.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

On considère le point et la sphère unité de  : .

  1. Quel est le point de le plus proche de  ?
  2. On considère aussi le plan  : . Quel est le point de le plus proche de  ?