Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema

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Recherches d'extrema
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Exercices no3
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Recherches d'extrema

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Inversion locale, fonctions implicites
Exo suiv. :Équations différentielles linéaires
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Calcul différentiel/Exercices/Recherches d'extrema
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que est le seul point critique de , qu'il n’est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de à toute droite passant par admet en ce point un minimum local.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer les extrema (locaux et globaux) de :

  • sur  ;
  • .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que admet au plus un extremum. Écrire comme la somme de deux carrés et en déduire que admet comme valeur minimale.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Montrer que n'a pas d'extremum local.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Étudier les extrema éventuels de la fonction .
  2. En déduire qu'à volume fixé, le parallélépipède rectangle d'aire minimale est un cube.
  3. Déterminer de même le volume maximal et la forme d'un parallélépipède rectangle inscrit dans une sphère de rayon .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

On considère le point et la sphère unité de  : .

  1. Quel est le point de le plus proche de  ?
  2. On considère aussi le plan  : . Quel est le point de le plus proche de  ?

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Chercher les extrema globaux de

sur le disque unité fermé

puis sur le disque unité ouvert

.

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le développement limité d'ordre et étudier la nature du point donné, s'il est critique :

  • au point  ;
  • au point  ;
  • au point  ;
  • au point .

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer si les matrices suivantes peuvent être des matrices hessiennes :

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

Trouver les points critiques des trois fonctions suivantes de dans et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle. Déterminer aussi si ces mêmes fonctions ont des maxima (resp. minima) globaux.

  •  ;
  •  ;
  • , où est un nombre réel donné ;
  • .

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction définie par

.
  1. Trouver les points critiques de .
  2. Déterminer si la fonction possède un maximum global (resp. minimum global).
  3. Déterminer si la restriction de à l'ensemble possède un maximum global (resp. minimum global). Que peut-on dire sur la localisation de ces extrema globaux ?

Exercice 12[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'espace affine euclidien usuel, soient , , trois droites deux à deux non parallèles. Soit

.

On choisit sur chaque droite un point et un vecteur directeur , et l'on note .

  1. Montrer que et en déduire que admet un minimum.
  2. Montrer que ce minimum est strict (donc n'est atteint qu'une fois).
  3. Dans le cas où , , sont coplanaires et délimitent un triangle équilatéral, identifier ce minimum.

Exercice 13[modifier | modifier le wikicode]

Soient différentiable, la sphère unité de , la restriction de à , et un point de en lequel a un extremum local (par exemple un maximum ou un minimum global — on sait que les deux existent). Montrer qu'il existe un réel tel que .