Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Inversion locale, fonctions implicites
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Théorèmes utiles

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Différentiabilité
Exo suiv. :Recherches d'extrema
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Inversion locale, fonctions implicites
Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que si et sont voisins de , on peut trouver tels que et .
  2. Soit , et soit une suite convergeant vers . Montrer que si pour tout , la suite stationne.

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Donner l'allure de la courbe d'équation au voisinage des points et .
  2. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  3. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient un polynôme réel de degré et une racine simple de .
    En considérant l'application , montrer qu'il existe un voisinage de tel que tout polynôme ait une unique racine dans , que cette racine soit simple, et que l'application soit de classe .
  2. Montrer que si a racines simples, il existe un voisinage de et fonctions tels que pour tout , les réels soient distincts et soient des racines simples de .
  3. Que se passe-t-il pour les racines multiples ?