Leçons de niveau 15

Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Inversion locale, fonctions implicites
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Théorèmes utiles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Différentiabilité
Exo suiv. :Recherches d'extrema
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Inversion locale, fonctions implicites
Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que l'application est un C1-difféomorphisme de l'ouvert sur le plan privé de la demi-droite . Si , donner les formules de passage entre les dérivées partielles de et celles de .
  2. Soit le plan privé de l'origine, et . Montrer que est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de mais n'est pas un difféomorphisme global.
  3. Soit l'application de dans définie par . Trouver un ouvert connexe maximal tel que soit un difféomorphisme de sur .
  4. Soit l'application de dans définie par . Montrer que est de classe C1 et que est inversible pour tout , mais que n'est pas un difféomorphisme de sur .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Justifier que est de classe C1, calculer sa différentielle et voir que est inversible pour tout .
  2. Montrer que est injective et en déduire que c'est un C1-difféomorphisme de sur . Justifier que est un ouvert.
  3. Montrer que (définie sur ) est lipschitzienne (quelle que soit la norme choisie sur ).
  4. En déduire que est un difféomorphisme de sur .
  5. Soit . Calculer .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et la matrice unité dans . En considérant , montrer qu'il existe tel que toute matrice vérifiant admette une racine carrée.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que si et sont voisins de , on peut trouver tels que et .
  2. Soit , et soit une suite convergeant vers . Montrer que si pour tout , la suite stationne.

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Donner l'allure de la courbe d'équation au voisinage des points et .
  2. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  3. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .
  4. Soit . Montrer que définit au voisinage de une fonction implicite de classe C, et donner le développement limité à l'ordre de en .

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient un polynôme réel de degré et une racine simple de .
    En considérant l'application , montrer qu'il existe un voisinage de tel que tout polynôme ait une unique racine dans , que cette racine soit simple, et que l'application soit de classe C.
  2. Montrer que si a racines simples, il existe un voisinage de et fonctions C tels que pour tout , les réels soient distincts et soient des racines simples de .
  3. Que se passe-t-il pour les racines multiples ?

Exercice 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que . Montrer que :

  1. l'application est injective ;
  2. toute suite dans dont l'image par converge est elle-même convergente ;
  3. l'ensemble est fermé et la bijection est continue ;
  4. est un difféomorphisme de sur lui-même si et seulement si  ;
  5. si alors est un homéomorphisme de sur lui-même .

Exercice 8[modifier | modifier le wikicode]

Soit définie par

.

Soit tel que

.

Montrez que dans un voisinage de , la relation définit une courbe image d'un intervalle contenant par une application de classe C.

Exercice 9[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Folium de Descartes ».
  1. Soient définie par et l'ensemble des tels que .
    1. Au voisinage de quels points la relation détermine-t-elle en fonction de  ? en fonction de  ?
    2. Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu'elle existe et écrire l'équation de la tangente à .
  2. Montrer que l'équation définit au voisinage de une fonction implicite de dont on calculera le développement limité à l'ordre en .
  3. Montrer que les équations définissent au voisinage de deux fonctions implicites avec , dont on calculera les différentielles en ce point.

Exercice 10[modifier | modifier le wikicode]

On considère l'application définie par . Montrer à l'aide du théorème des fonctions implicites que l'application est différentiable et retrouver sa différentielle.

Exercice 11[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application .

  1. Démontrer que la relation définit au voisinage du point une application implicite de classe C1.
  2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de au point .