Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre
[modifier | modifier le wikicode]Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants et second membre variable est de la forme :
:
On suppose que n’est pas nul et que est une fonction dérivable sur un intervalle .
Remarques :
- Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques décrivant des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
- Néanmoins on utilisera la lettre comme variable dans ce chapitre.
Exemples
[modifier | modifier le wikicode]1.
2.
Équation homogène associée
[modifier | modifier le wikicode]
Espace vectoriel
[modifier | modifier le wikicode]L'ensemble des solutions de est un espace vectoriel de dimension 2.
Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.
Équation caractéristique
[modifier | modifier le wikicode]
Exemples
[modifier | modifier le wikicode]Donner les équations caractéristiques des équations différentielles homogènes suivantes :
Dont les solutions sont : et
Dont les solutions sont : et
Résolution
[modifier | modifier le wikicode]On suppose ici que les coefficients sont réels, et l'on cherche les fonctions qui sont solutions de . Pour cela, il faut exprimer l'équation caractéristique en fonction des coefficients et effectuer le calcul suivant :
La solution générale de s'écrit différemment selon le signe du discriminant :
- Si , les solutions et de sont des nombres réels et la solution générale de est :
En prenant en compte les coefficients et le discriminant , la solution générale de s'écrit :
- Si , l'unique solution de est un nombre réel et la solution générale de est :
En prenant en compte les coefficients et le discriminant , la solution générale de s'écrit :
- Si , les solutions et de sont des nombres complexes conjugués non réels de la forme et et la solution générale de est :
En prenant en compte les coefficients et le discriminant , la solution générale de s'écrit :
Équation avec second membre
[modifier | modifier le wikicode]L'ensemble des solutions de l'équation complète s'obtient en ajoutant une solution particulière de cette même équation à la solution générale de l'équation sans second membre .
Autrement dit :
Avec :
- : solution générale de l'équation sans second membre
- : solution particulière de l'équation complète
Remarque : Le problème revient à trouver une solution particulière de , ce qui n’est pas toujours évident.
Cas particulier où
[modifier | modifier le wikicode]Dans le cas où :
où est un polynôme, il existe une solution particulière de la forme :
où est un polynôme.
- si n’est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de est le même que celui de . Dans ce cas :
- si est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de est celui de auquel on ajoute 1. Dans ce cas :
- si est solution double de l'équation caractéristique, le degré de est celui de auquel on ajoute 2. Dans ce cas :
Remarque
[modifier | modifier le wikicode]Ce cas particulier inclut, pour , la présence d'un second membre simplement polynomial.
Ce cas particulier inclut également les fonctions trigonométriques.
En effet, et .
Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.
Exemple
[modifier | modifier le wikicode]- Déterminer une solution générale de :
L'équation est sous forme normale.
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
- Équation caractéristique :
(en voyant que -1 est solution évidente par exemple)
ou
- Donc
- Recherche d'une solution particulière de l'équation complète :
- On cherche une solution particulière sous la forme
et
- Donc
- Une solution particulière est donc
Donc |
Équations avec conditions initiales
[modifier | modifier le wikicode]La condition initiale
[modifier | modifier le wikicode]- L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.
- Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
- - un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction
- - pour déterminer cette fonction, il faut donner une valeur fixe à et une autre valeur fixe à .
C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.
Soit une valeur de la variable , deux valeurs et étant données.
Il existe une unique solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 vérifiant et
Exemple
[modifier | modifier le wikicode]Déterminer la solution unique de vérifiant les conditions initiales données :
L'équation est sous forme normale.
- Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :
Équation caractéristique :
(en voyant que 1 est solution évidente par exemple)
ou
- Donc
- Recherche d'une solution particulière de l'équation complète :
est solution constante évidente.
Donc est de la forme :
- Détermination de et de :
Donc |