Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Chapitre no 4
Leçon : Équation différentielle
Chap. préc. : Équation différentielle linéaire du premier ordre
Chap. suiv. : Équation différentielle du premier ordre

Exercices :

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants
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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre[modifier | modifier le wikicode]



Remarques :

  • Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
  • Néanmoins on utilisera la lettre t comme variable dans ce chapitre.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

1.
2.

Équation homogène associée[modifier | modifier le wikicode]



Espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

L'ensemble des solutions de est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Équation caractéristique[modifier | modifier le wikicode]



Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Donner les équations caractéristiques des équations différentielles homogènes suivantes.

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Équations sans second membre.


Résoudre les équations homogènes suivantes.

Équation avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque : Le problème revient alors à trouver une solution particulière de (E), ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où [modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Degré de Q[modifier | modifier le wikicode]

  • Si n’est pas solution de l'équation caractéristique, le degré de Q est le même que celui de P ;
  • Si est solution simple de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus un ;
  • Si est solution double de l'équation caractéristique, le degré de Q est celui de P plus deux.

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Équations avec des sinus et cosinus.


Ce cas là inclut les fonctions trigonométriques.
En effet et .

Ainsi, pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Équations avec second membre.


Déterminer une solution générale de  :

Équations avec conditions initiales[modifier | modifier le wikicode]

La condition initiale[modifier | modifier le wikicode]

  • L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2,

le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.

  • Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
un système physique régit par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seul nombre f(x)
pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale f(0) et une vitesse initiale f'(0).

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Résolution d'équations différentielles avec conditions initiales.


Déterminer la solution de (E) vérifiant les conditions initiales données.