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Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants

Leçons de niveau 14
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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre

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Remarques :

  • Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques décrivant des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
  • Néanmoins on utilisera la lettre comme variable dans ce chapitre.

1.
2.

Équation homogène associée

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Espace vectoriel

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L'ensemble des solutions de est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Équation caractéristique

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Donner les équations caractéristiques des équations différentielles homogènes suivantes :

On suppose ici que les coefficients sont réels, et l'on cherche les fonctions qui sont solutions de . Pour cela, il faut exprimer l'équation caractéristique en fonction des coefficients et effectuer le calcul suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Équation avec second membre

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : Le problème revient à trouver une solution particulière de , ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Ce cas particulier inclut, pour , la présence d'un second membre simplement polynomial.

Ce cas particulier inclut également les fonctions trigonométriques.

En effet, et .

Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Déterminer une solution générale de  :

Équations avec conditions initiales

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La condition initiale

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  • L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.
  • Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
- un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction
- pour déterminer cette fonction, il faut donner une valeur fixe à et une autre valeur fixe à .

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Déterminer la solution unique de vérifiant les conditions initiales données :