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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Application linéaire : Propriétés générales
Application linéaire/Propriétés générales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.
Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).
Début d’un théorème
Théorème
Soit
.
- u est injective si et seulement si Ker(u) = {0}.
- u est surjective si et seulement si Im(u) = F.
Fin du théorème
Une base
de
étant fixée, une application
est entièrement déterminée par la famille
de vecteurs de
. Plus précisément :
Début d’un théorème
Théorème
Pour toute base
de
, l'application
![{\displaystyle \operatorname {L} (E,F)\to F^{I},\quad u\mapsto \left(u(e_{i})\right)_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a959785b38bf60657683ef150f81e38b2c4f09)
est bijective.
Fin du théorème
Démonstration
Il s'agit de démontrer que cette application (linéaire) de
dans
est bijective, c'est-à-dire que pour toute famille
de vecteurs de
, il existe une unique application linéaire
telle que
.
- Unicité. Soit
une telle application. Pour tout vecteur
de
, si
désigne la famille presque nulle de ses coordonnées dans la base
, on a (par linéarité de
) :
,
ce qui détermine complètement
.
- Existence. Soit
définie en chaque vecteur
de
par la formule ci-dessus. Pour tout indice
, en appliquant cette formule à
, on trouve bien
. D'autre part,
est bien linéaire car pour tous vecteurs
de
, de coordonnées
dans
, et pour tout scalaire
, la définition de
donne :
.
Par conséquent, toutes les propriétés de
doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par
. Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple :
Début d’un théorème
Fin du théorème
À partir d'ici, le corps K des scalaires est supposé commutatif.
Début d’un théorème
Théorème
est un K-espace vectoriel.
Fin du théorème
Démonstration
Montrons que
est un sous-espace vectoriel de FE.
![{\displaystyle \operatorname {L} (E,F)\subset F^{E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c4999457c53ab2ed38417ed6706ae47f2502dd)
- L'application nulle appartient à
![{\displaystyle \operatorname {L} (E,F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7719df8ba25bfcff5f70c5bf6d21fecdac515a4)
- Soit
![{\displaystyle (\lambda ,u,v)\in K\times \operatorname {L} (E,F)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd881e836fea61156016af6d13ee4c1f503c157)
Donc
.
Finalement,
est un sous-espace vectoriel de FE, donc est un K-espace vectoriel.
Début d’un théorème
Théorème
Si
![{\displaystyle E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b)
est de dimension finie alors
![{\displaystyle \dim \left(\operatorname {L} (E,F)\right)=\dim(E)\times \dim(F).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460ad4bd429e66ca55c4358a1d7bb229620c53db)
.
Fin du théorème
En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
Soit
.
Donc
.
Début d’un théorème
Théorème
L'application
est bilinéaire.
Fin du théorème
Démonstration
La linéarité par rapport à v est tautologique, et celle par rapport à u est due à la linéarité de v.
Début d’un théorème
Théorème
La réciproque d'une bijection linéaire est linéaire.
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
est un
-espace vectoriel et
est bilinéaire (et bien sûr associative), donc
est une
-algèbre associative. De plus,
est neutre pour
.
En particulier,
est un anneau unifère.