Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta

Leçons de niveau 15
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Séries de Fourier et fonction zêta
Image logo représentative de la faculté
Exercices no9
Leçon : Sommation
Chapitre du cours : Séries de Fourier et fonction zêta

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommations de séries entières
Exo suiv. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Séries de Fourier et fonction zêta
Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 9-1[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Problème de Bâle ».

Calculer :

.

Exercice 9-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour tout entier , exprimer les deux sommes suivantes en fonction de  :
    .
  2. À l'aide de l'exercice précédent, en déduire les valeurs de
    .

Exercice 9-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer .
  2. En déduire les valeurs de .

Exercice 9-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer .
  2. En déduire les valeurs de .

Exercice 9-5[modifier | modifier le wikicode]

  1. Calculer .
  2. En déduire les valeurs de .

Exercice 9-6[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la somme suivante :

.

Exercice 9-7[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Fonction zêta de Hurwitz ».

a) Pour tous réels et , on pose :

(série convergente, par comparaison avec la série de Riemann ).

Montrer que

,

désigne la fonction Gamma.

b) En déduire la valeur de l'intégrale suivante :

Exercice 9-8[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour tout , montrer l'existence d'un polynôme tel que
  2. Préciser le degré, les racines de , et la somme des racines.
  3. Montrer que .
  4. Calculer . Calculer de même .

Exercice 9-9[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Constante d'Apéry ».

Soient .

Démontrer que