Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières
Apparence
Fonctions analytiques
[modifier | modifier le wikicode]Fonction analytique en un point
Une fonction est dite analytique en un point si elle admet un développement en série entière autour de ce point : .
Fonction analytique
Une fonction est dite analytique sur son domaine , si elle est analytique en tous les points de son domaine.
Théorème de Taylor
[modifier | modifier le wikicode]Nous allons généraliser la formule de Taylor aux fonctions de variable complexe.
Corollaire 1 : fonctions entières
Si est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur , alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.
Corollaire 2 : unicité du prolongement analytique
Soit une fonction holomorphe sur un ouvert connexe . Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
- est la fonction nulle ;
- il existe un point en lequel et toutes ses dérivées sont nulles ;
- l'ensemble des zéros de admet un point d'accumulation .