En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Étude d'une suite récurrente
Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Étudier, en fonction du paramètre réel , la suite définie par :
Solution
avec du même signe que donc la suite est de signe constant (le signe de ).
et donc :
- si , la suite est constamment nulle ;
- si , la suite est croissante ; donc, ou bien elle tend vers , ou bien elle converge, et dans ce second cas (comme est continue) sa limite est nécessairement (l'unique point fixe de ). Plus précisément :
- si , puisque la suite est majorée (par ), elle converge,
- si , puisque la suite est , elle ne peut que tendre vers .
En déduire, en fonction du paramètre réel , le comportement de la suite définie par :
On pose .
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , .
- En déduire la limite de la suite .
Soit . Calculer la limite de la suite définie par : et .
1. Soient et . Étudier la suite définie par : et .
2. Soient ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant ?
3. Et pour une suite vérifiant ?
Solution
1. Soit . Son seul point fixe (nécessairement positif) est .
est continue et ne s'annule qu'en , et elle est positive en et négative en . Elle est donc positive pour et négative pour .
Puisque est strictement croissante et que , les deux intervalles et sont stables par .
La suite est par conséquent :
- constante si ;
- strictement croissante et majorée (par ) si ;
- strictement décroissante et minorée (par ) si .
Elle est donc convergente dans tous les cas.
La fonction étant continue, la limite de ne peut être qu'un point fixe de . Par conséquent, .
2. Si (ce qui suppose implicitement que ) alors, en posant
- et ,
on a
- et .
On déduit donc de ce qui précède que .
3. On se ramène à la question précédente en posant .
3. Soient et . Étudier la suite définie par : et .
Indication : on pourra montrer que .
4. Soient et ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant ?
Solution
3. Considérons la fonction .
Soient et . Alors, pour ,
En appliquant cela, pour , à et , on en déduit :
- ,
ce qui, puisque , prouve que la suite converge.
La fonction étant continue, la limite de ne peut être qu'un point fixe de (appartenant donc à ). Par conséquent, .
4. Si (ce qui suppose implicitement que , en particulier et , donc ) alors, en posant
- et ,
on a
- , et .
On déduit donc de ce qui précède que .
Soient et un entier naturel impair. On suppose et l'on définit la suite par :
- et .
- Montrer que la fonction est monotone.
- Étudier les variations de la fonction , puis son signe. En déduire que a un unique point fixe , et préciser le signe de selon la position de par rapport à .
- Déduire de la question 1 que est du même côté de que .
- En déduire le comportement de la suite , selon la position de par rapport à .
Solution
- Par translation de la variable, est strictement croissante sur , de même que la fonction racine p-ième.
- s'annule en et en , d'où le tableau :
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, (qui est bien continue) s'annule exactement une fois, en un point .
Par croissance (stricte) de , est du même signe que :
- Si alors et si alors .
- Si , la suite est constante. Si alors, d'après la question précédente, la suite est majorée par donc d'après la question 2, la suite est croissante (strictement). Par conséquent, elle converge. Par continuité de , la limite de la suite est un point fixe de . Donc . De même, si , la suite est minorée et décroissante et converge vers .
Soient . On se propose d'étudier la suite définie par : et . Le cas étant immédiat et le cas se ramenant facilement au cas (en remplaçant par leurs opposés), on se limitera au cas .
Étudier la suite en distinguant trois cas : , et .
Indication : poser et étudier les variations puis le signe de .
Cas
C'est le cas particulier de l'exercice précédent.
Cas
Le seul changement par rapport au cas précédent est qu'à présent, donc a trois points fixes , tels que (et puisque ).
Les quatre intervalles délimités par ces trois valeurs étant, comme précédemment, stables par , on en déduit :
- si , est strictement croissante et tend vers ;
- si , est strictement décroissante et tend vers ;
- si , est strictement croissante et tend vers ;
- si , est strictement décroissante et tend vers .
(Si est égal à l'un des trois points fixes, est évidemment constante.)
Cas
Soient ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant : ?
1. Soient et . Étudier la suite définie par : et .
Indication : on pourra s'inspirer de la question 3 de l'exercice 3 ci-dessus.
2. Soient et ; qu'en déduit-on pour une suite vérifiant : et ?
Solution
1. Considérons la fonction .
Soient et . Alors, pour ,
En appliquant cela, pour , à et , on en déduit :
- ,
ce qui, puisque , prouve que la suite converge.
La fonction étant continue, la limite de ne peut être que le point fixe de , c'est-à-dire la racine réelle de l'équation du troisième degré .
2. En posant et , on obtient :
- , et .
On déduit donc de ce qui précède que , la racine réelle de .
Soit .
- Étudier la suite des sinus itérés de , définie par .
- Montrer que la suite converge et donner sa limite.
Solution
- L'intervalle est stable par la fonction sinus, donc . De plus, on a sur cet intervalle, donc est strictement décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge vers un réel . Par continuité de , on a donc .
- donc .
Pour aller plus loin, voir Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence#Exercice 4-3.
Soient et . Considérons la suite définie par récurrence par et .
- Préciser les variations de sur et en déduire que .
- Montrer que .
- Établir que n'a dans qu'un point fixe, qui sera noté .
- Montrer que pour tout , .
- En déduire que . Conclure.
Considérons la fonction définie par
- .
et la suite définie par récurrence par
- et ,
pour un fixé arbitrairement.
- Démontrer que a un seul point fixe et le déterminer.
- Démontrer que l'image de est .
- Montrer que sur cet intervalle, .
- Qu'en déduit-on sur la suite ?
- Démontrer que pour tout , .
- En déduire que pour tout , .
Soit un réel . Étudier, en fonction de , la suite définie par :
- et .
Solution
L'application est bien définie sur l'intervalle et donc la suite est bien définie.
En tout point , la dérivée de la fonction est donc quand croît de à , décroît (continûment) de à , en passant la valeur en un certain .
Comme est croissante, elle laisse stables les deux sous-intervalles et .
Par conséquent :
- si , la suite est et croissante (puisque sur ) donc convergente, et la limite ne peut être que (l'unique point fixe de ) ;
- de même, si , la suite est et décroissante et converge vers ;
- si , la suite est constante
Soit la suite définie par et ().
- Démontrer que () et .
- Quelle est la limite de cette suite ?
Soit une fonction dérivable. Fixons un réel tel que et considérons la suite définie par , .
- On suppose que pour tout . Montrer que si et si .
Indication : prouver d'abord les inégalités si et si .
- On suppose maintenant que pour tout , et . Montrer que la suite converge.
Soient et .
- Étudier la suite définie par et .
- Quelles sont les suites dont l'étude se ramène à celle de par homothétie-translation ?
Solution
- Soit . Alors, s'annule pour ou et est croissante sur , donc est stable par , si bien que et est du signe de . Ainsi, si la suite est décroissante et converge vers , tandis que si la suite est croissante et converge vers (si la suite est constant).
- Les suites telles que (avec sans perte de généralité) sont les suites telles que et , c'est-à-dire :
, et .
Leur comportement (monotonie, convergence) se déduit immédiatement de celui de .
Soient et la suite définie par et . Étudier, en fonction de , l'existence et la valeur de .
Solution
Soit . a pour solutions donc si , la suite est constante.
Si , et comme est croissante sur , la suite est monotone. donc la suite est décroissante si (et donc convergente, nécessairement vers puisque ), et croissante si .
Montrons que si , . Posons : . Si , et , donc .
est si et seulement si donc le cas se ramène au cas par décalage.
si et seulement si et donc le cas se ramène de même au cas , et les « cas limites » , se ramènent respectivement aux cas .
Reste à étudier le cas . Comme , , donc si , la suite est croissante donc converge vers . Le dernier sous-cas se ramène au précédent, puisqu'alors .
« Exercices corrigés - Suites de nombres réels ou complexes - suites récurrentes », sur bibmath.net