Approfondissement sur les suites numériques/Plan d'étude, représentation

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Dans ce chapitre, nous décrivons le plan d'étude général pour les suites récurrentes d'ordre un. Nous montrons également comment donner une représentation de cette étude, qui aide parfois à comprendre le problème étudié.

Plan d'étude

Étude de ƒ

La première grande étape consiste à étudier la fonction qui définit la récurrence, c'est-à-dire l’application ƒ telle que :

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.

On s'attachera alors à étudier les points suivants :

• Caractère affine de ƒ : il convient tout d’abord de vérifier si ƒ est affine (auquel cas, on utilisera les outils adaptés aux suites arithmético-géométriques) ou non (auquel cas, on utilisera les outils de cette leçon). On peut par exemple repérer le domaine de définition de ƒ : si elle n'est pas définie sur R tout entier, la fonction ne peut pas être affine.
• Intervalles stables : on peut établir la liste des intervalles stables par ƒ maximaux. Puisqu'un point initialement dans un de ces intervalles y restera, nous pouvons étudier ce cas indépendamment de ce que fait ƒ en dehors.
• Variations : vérifier — sur chacun des intervalles stables — la continuité (souvent), la dérivabilité (assez souvent), la monotonie (moins souvent) de ƒ fournit des informations pertinentes à son sujet. On peut, de plus, vérifier si ƒ (qu'on sait continue) est k-lipschitzienne, avec k < 1 (ƒ est alors contractante). On étudiera par ailleurs les variations de ƒ(x) - x.

Étude des intervalles stables

Nous considérons maintenant chacun des intervalles stables trouvés lors de l'étape précédente. On note I l'intervalle stable que nous étudions.

Si ƒ est contractante sur I

Si de plus l'intervalle I est fermé et borné, le théorème suivant s'applique :

Début d’un théorème

Théorème du point fixe

Soit I = [a, b] un intervalle stable par ƒ. On suppose ƒ une application contractante sur I.

Alors :

• ƒ admet un unique point fixe dans I, noté $\ell$ ;
• si u₀ est dans I, alors la suite (u_n) converge, et sa limite est $\ell$ ;
• la convergence de la suite est rapide (géométrique) : si ƒ est k-lipschitzienne,
  $\left|u_{n}-\ell \right|=O\left(k^{n}\right)$.

Fin du théorème

Démonstration

On définit sur I l’application : $g:x\mapsto f\left(x\right)-x$, à valeurs réelles. Puisque ƒ est contractante, ƒ est continue, donc g est continue.

Existence de $\ell$

Puisque par hypothèse I est stable par ƒ, on a :

$g\left(a\right)=f\left(a\right)-a\geq 0$

$g\left(b\right)=f\left(b\right)-b\leq 0$

Alors, g étant continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe (au moins) un réel $\ell$ tel que :

$g\left(\ell \right)=0$

c'est-à-dire tel que $\ell$ soit un point fixe de ƒ.

 

Convergence de (u_n)

On a, pour tout entier n :

$\left|u_{n+1}-\ell \right|=\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(\ell \right)\right|\leq k\left|u_{n}-\ell \right|$.

On en déduit (par récurrence) :

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad \left|u_{n}-l\right|\leq k^{n}\left|u_{0}-\ell \right|$.

Puisque k < 1, cela montre que la suite converge. De plus, on a :

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad \left|u_{n}-l\right|=\mathrm {O} \left(k^{n}\right)$.

 

Unicité de $\ell$

D'après ce qui précède, tout point fixe de $f$ est limite de $(u_{n})$. Par unicité de la limite, le point fixe est donc unique.

 

 

Si la fonction ƒ(x) – x est de signe constant sur I

On a alors, si u_n est dans I :

• Premier cas : ƒ(x) – x est positive ou nulle, alors la suite est croissante :

  $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\geq u_{n}$.

• Second cas : ƒ(x) – x est négative ou nulle, alors la suite est décroissante :

  $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\leq u_{n}$.

Trois cas se présentent alors si I est fermé :

• ou bien ƒ n'admet pas de point fixe dans I, donc diverge ;
• ou bien ƒ admet un point fixe sur I mais n'y converge pas, à cause de la monotonie ;
• ou bien ƒ admet un point fixe sur I, et y converge.

Si la fonction ƒ est monotone sur I

On dispose dans ce cas d'un autre outil — qu'il ne faut surtout pas confondre avec le précédent — pour étudier la monotonie de la suite :

• si ƒ est croissante, alors la suite est monotone mais pas nécessairement croissante ; on peut cependant préciser facilement : elle est
  • croissante (comme dans le premier schéma ci-dessous) dès que u₁ ≥ u₀,
  • décroissante (comme dans le deuxième schéma ci-dessous) dès que u₁ ≤ u₀ ;
• si ƒ est décroissante, alors la suite est n'est pas monotone mais les deux sous-suites d'indices pairs et d'indices impairs le sont, puisqu'elles sont définies chacune par une récurrence associée à la fonction $f\circ f$, qui est croissante.

Autres intervalles

Le cas des autres intervalles se ramène souvent, à partir d'un certain terme, à celui d'un point dans un intervalle stable.

Début de l'exemple

Exemple

Étudier la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ définie par son premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence :

$\forall n\in \mathbb {N} \qquad u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}$.

Solution

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto x-x^{2}$ (continue).

• Signe de $f(x)-x$ et points fixes de $f$

  $f(x)-x=-x^{2}\leq 0$ donc la suite est décroissante (strictement, sauf si elle s'annule en un certain rang, auquel cas elle est constante à partir de ce rang) et le seul point fixe de $f$ est 0.

• Découpage en intervalles (à partir du point fixe)
  • L'intervalle I := ]-∞, 0[ est stable (car $f(x)\leq x$).
  • L'intervalle ]0, +∞[, lui, n'est pas stable : on n'a $0<f(x)=x(1-x)$ que si $0<x<1$. Mais ce sous-intervalle J := ]0, 1[ est stable (car si $0<x<1$, on a non seulement $f(x)<0$ mais aussi $f(x)>1$).
  • $f(1)=0$.
  • L'intervalle restant, ]1, +∞[, n'est pas stable mais son image est I (car si $x>1$ alors $f(x)<0$).

En excluant les deux cas triviaux u₀ = 0 (suite constante) et u₀ = 1 (suite constante à partir de l'indice 1), on a donc :

• Premier cas : u₀ est dans J

  La suite est décroissante et minorée (par 0), donc converge, et ce ne peut être que vers le point fixe de ƒ.

  Par conséquent, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$.

• Second cas : u₀ est dans I

  La suite étant strictement négative et décroissante, elle ne peut pas tendre vers 0.

  Par conséquent, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=-\infty$.

• Troisième cas : u₀ > 1

  Alors, $u_{1}=f(u_{0})\in I$. Ainsi, à partir du premier rang, l'étude se ramène à celle du second cas.

  Par conséquent, à nouveau, $\lim _{n\to \infty }u_{n}=-\infty$.

 

Fin de l'exemple

Représentation

Il est possible de donner une représentation graphique de l'étude d'une suite récurrente d'ordre 1 :

• on trace la courbe C d'équation y = ƒ(x) ;
• on trace la droite D d'équation y = x.

Alors, les points d'intersection de C et D correspondent aux points fixes de ƒ — si la suite doit converger, c’est vers l'un de ces points.

1. On place sur l’axe des abscisses le premier élément u₀.
2. On trace le segment qui part de ce point et atteint verticalement la courbe C ; on a alors atteint le point (u₀, ƒ(u₀)) c'est-à-dire (u₀, u₁).
3. On trace le segment qui part de ce point et atteint horizontalement la droite D ; on a alors atteint le point (u₁, u₁).
4. On recommence à l'étape 2.

Il peut alors se présenter différents cas :

Cas d'une suite convergente

Si par exemple la suite est croissante et converge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

Cas d'une suite qui tend vers l'infini

Si par exemple la suite est décroissante et diverge, on a un graphe dont l'allure est la suivante :

Cas d'une suite sans limite (finie ou infinie)

Un cas parmi bien d'autres (et dans lequel apparaît un cycle limite) est représenté sur l'image suivante :