Leçons de niveau 10

Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines

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Fonctions affines
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions affines et linéaires
Chap. préc. :Fonctions linéaires
Chap. suiv. :Équation réduite d'une droite
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Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines
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Fonctions affines et linéaires[modifier | modifier le wikicode]



Remarque : La notation f(x) se lit "f de x". Elle indique que la quantité f dépend de x.

Exemple : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros. Notons n le nombre de séances, A le coût de n séances avec abonnement, et S le coût de n séances sans abonnement.

  • Exprimer A et S en fonction de n.
  • À quels types de fonctions correspondent ces formules ?


Remarque : D'après la définition, les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières. Toutes les propriétés ci-dessous s'appliquent donc également aux fonctions linéaires, avec des particularités supplémentaires que nous signalerons au fur et à mesure.




Exemple : Soit la fonction affine .

  • Donner les valeurs des coefficients a et b.
  • Calculer les images des nombres x = 0, x = 2 et x = -3 par f.

Représentation graphique d'une fonction affine[modifier | modifier le wikicode]

Tableau de valeurs d'une fonction affine[modifier | modifier le wikicode]



Exemple : Considérons la fonction affine .

Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 1 2 3 4
f(x)


Solution :

Par exemple pour la troisième colonne : x = 1

donc

.

Cela donne au final :


x 0 1 2 3 4
f(x) 3 5 7 9 11

Droite représentative[modifier | modifier le wikicode]

  • Pour représenter graphiquement une fonction à partir d’un tableau de valeurs,

on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de x

et en ordonnées (verticalement) les valeurs de f(x).

Exemple : Pour la fonction affine . On a complété le tableau de valeurs :

x 0 1 2 3 4
f(x) 3 5 7 9 11

On obtient donc le graphique suivant :

Exemple fonction affine.svg




Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs de la fonction[modifier | modifier le wikicode]

  • Deux valeurs suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".

Formule pour le coefficient directeur[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple :

  • Pour la fonction affine , nous avons dans le tableau de valeurs

f(2) = 7 et f(3) = 9. Retrouvons a grâce à la formule, en prenant et .

  • Pour retrouver b, il suffit d’utiliser une valeur et résoudre une équation :

donc

  • On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :