Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence

Exercice 4-1

Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0\in ]0,1[\\ u_{n+1}=u_n-u_n^2.\end{array}$

Solution

La suite est décroissante (donc < 1). On montre aisément (par récurrence) qu'elle est de plus strictement positive.

On peut donc appliquer le théorème 2 du cours avec $p=a=1$, ce qui donne :

$u_n\sim \frac{1}{n}$.

 

Exercice 4-2

Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0\in ]2/\pi ,+\mathrm{\infty }[\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{\cos \frac{1}{u_n}}.\end{array}$

Solution

La fonction $f:x\mapsto \frac{x}{\cos \frac{1}{x}}$ est bien définie sur $]2/\pi ,+\mathrm{\infty }[$ et

$\mathrm{\forall }x>\frac{2}{\pi }f(x)>x>\frac{2}{\pi }$.

Par conséquent, la suite est bien définie et strictement croissante. De plus, $f$ est continue et n'a pas de point fixe dans $]2/\pi ,+\mathrm{\infty }[$, donc

$u_n\to +\mathrm{\infty }$

et

$u_{n+1}-u_n=u_n\frac{1-\cos \frac{1}{u_n}}{\cos \frac{1}{u_n}}\sim u_n\frac{\frac{1}{2u_n^2}}{1}=\frac{1}{2u_n}$.

On peut donc appliquer le théorème 1 du cours avec $p=2$ et $a=1/2$, ce qui donne :

$u_n\sim (pan{)}^{\frac{1}{p}}=\sqrt{n}$.

 

Exercice 4-3

Soit $a\in ]0,\pi [$. Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ des sinus itérés de $a$, définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_0=a\\ u_{n+1}=\sin u_n.\end{array}$

Solution

On montre de façon élémentaire que (u_n) est strictement positive et de limite nulle (cf. Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7).

Par conséquent, $u_{n+1}-u_n=\sin u_n-u_n\sim -\frac{u_n^3}{6}$.

On est dans les conditions d’application du théorème 2 avec p = 2 et a = 1/6 . On a donc :

$u_n\sim {\left(\frac{1}{pan}\right)}^{\frac{1}{p}}={\left(\frac{1}{2\times \frac{1}{6}\times n}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{n}}$.

 

Pour aller plus loin, voir ce lien.

Exercice 4-4

Soit $a\in ℝ$. Trouver un équivalent de la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ définie par $u_1=a$ et $\mathrm{\forall }n\ge 1u_{n+1}=\frac{\exp (-u_n)}{n}$.

Solution

$\mathrm{\forall }n\ge 2u_n>0$ donc $0<u_{n+1}\le \frac{1}{n}$ donc $u_n\to 0$ donc $n{u}_{n+1}=\exp (-u_n)\to 1$ donc $u_n\sim \frac{1}{n-1}\sim \frac{1}{n}$.

 

Exercice 4-5

Soit $a\in ℝ$. Trouver un équivalent de la suite $(u_n{)}_{n\ge 0}$ définie par $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\ge 1(n+1{)}^2{u}_n=(n-1)u_{n-1}+n$.

Solution

Remarquons d'abord que $u_1=1/4$ (donc en fait, à partir du rang 1, la suite ne dépend pas de $a$).

Ensuite, la suite est bornée et même : $\mathrm{\forall }n\ge 10<n{u}_n<1$ (par une récurrence facile).

On en déduit que $\mathrm{\forall }n\ge 1n{u}_n=\frac{n(n-1)u_{n-1}+n^2}{(n+1{)}^2}\in ]\frac{n^2}{(n+1{)}^2},\frac{n}{n+1}[$

donc $n{u}_n\to 1$, c'est-à-dire $u_n\sim \frac{1}{n}$.

 

Exercice 4-6

Calculer $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2nk+k}$.

Solution

D'après le lemme de Cesàro, $\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2nk+k}=\frac{n}{2n+1}\times \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{k}\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}$.

Mais on peut aussi calculer explicitement : $\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2nk+k}=\frac{1}{2n+1}\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{k}=\frac{n+H_n}{2n+1}$, où $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\sim \ln n$ (cf. Série harmonique) donc $\sum _{k=1}^n\frac{k+1}{2nk+k}\sim \frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$.