Équivalents et développements de suites/Exercices/Équivalent d'une suite définie par récurrence

Exercice 4-1

Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

${\begin{cases}u_{0}\in \left]0,1\right[\\u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{2}.\end{cases}}$

Solution

La suite est décroissante (donc < 1). On montre aisément (par récurrence) qu'elle est de plus strictement positive.

On peut donc appliquer le théorème 2 du cours avec $p=a=1$, ce qui donne :

$u_{n}\sim {\frac {1}{n}}$.

 

Exercice 4-2

Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

${\begin{cases}u_{0}\in \left]2/\pi ,+\infty \right[\\u_{n+1}={\frac {u_{n}}{\cos {\frac {1}{u_{n}}}}}.\end{cases}}$

Solution

La fonction $f:x\mapsto {\frac {x}{\cos {\frac {1}{x}}}}$ est bien définie sur $\left]2/\pi ,+\infty \right[$ et

$\forall x>{\frac {2}{\pi }}\quad f(x)>x>{\frac {2}{\pi }}$.

Par conséquent, la suite est bien définie et strictement croissante. De plus, $f$ est continue et n'a pas de point fixe dans $\left]2/\pi ,+\infty \right[$, donc

$u_{n}\to +\infty$

et

$u_{n+1}-u_{n}=u_{n}{\frac {1-{\cos {\frac {1}{u_{n}}}}}{\cos {\frac {1}{u_{n}}}}}\sim u_{n}{\frac {\frac {1}{2u_{n}^{2}}}{1}}={\frac {1}{2u_{n}}}$.

On peut donc appliquer le théorème 1 du cours avec $p=2$ et $a=1/2$, ce qui donne :

$u_{n}\sim (pan)^{\frac {1}{p}}={\sqrt {n}}$.

 

Exercice 4-3

Soit $a\in \left]0,\pi \right[$. Trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ des sinus itérés de $a$, définie par :

${\begin{cases}u_{0}=a\\u_{n+1}=\sin u_{n}.\end{cases}}$

Solution

On montre de façon élémentaire que (u_n) est strictement positive et de limite nulle (cf. Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7).

Par conséquent, $u_{n+1}-u_{n}=\sin u_{n}-u_{n}\sim -{\frac {u_{n}^{3}}{6}}$.

On est dans les conditions d’application du théorème 2 avec p = 2 et a = 1/6 . On a donc :

$u_{n}\sim \left({\frac {1}{pan}}\right)^{\frac {1}{p}}=\left({\frac {1}{2\times {\frac {1}{6}}\times n}}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{n}}}$.

 

Pour aller plus loin, voir ce lien.

Exercice 4-4

Soit $a\in \mathbb {R}$. Trouver un équivalent de la suite $(u_{n})_{n\geq 1}$ définie par $u_{1}=a$ et $\forall n\geq 1\quad u_{n+1}={\frac {\exp(-u_{n})}{n}}$.

Solution

$\forall n\geq 2\quad u_{n}>0$ donc $0<u_{n+1}\leq {\frac {1}{n}}$ donc $u_{n}\to 0$ donc $nu_{n+1}=\exp(-u_{n})\to 1$ donc $u_{n}\sim {\frac {1}{n-1}}\sim {\frac {1}{n}}$.

 

Exercice 4-5

Soit $a\in \mathbb {R}$. Trouver un équivalent de la suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ définie par $u_{0}=a$ et $\forall n\geq 1\quad (n+1)^{2}u_{n}=(n-1)u_{n-1}+n$.

Solution

Remarquons d'abord que $u_{1}=1/4$ (donc en fait, à partir du rang 1, la suite ne dépend pas de $a$).

Ensuite, la suite est bornée et même : $\forall n\geq 1\quad 0<nu_{n}<1$ (par une récurrence facile).

On en déduit que $\forall n\geq 1\quad nu_{n}={\frac {n(n-1)u_{n-1}+n^{2}}{(n+1)^{2}}}\in \left]{\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}},{\frac {n}{n+1}}\right[$

donc $nu_{n}\to 1$, c'est-à-dire $u_{n}\sim {\frac {1}{n}}$.

 

Exercice 4-6

Calculer $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{2nk+k}}$.

Solution

D'après le lemme de Cesàro, $\sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{2nk+k}}={\frac {n}{2n+1}}\times {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}\to \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}={\frac {1}{2}}$.

Mais on peut aussi calculer explicitement : $\sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{2nk+k}}={\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k}}={\frac {n+H_{n}}{2n+1}}$, où $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \ln n$ (cf. Série harmonique) donc $\sum _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{2nk+k}}\sim {\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}$.