Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 2

Exercice 11-1

Démontrer que les expressions :

1°  $\cos ^{2}x-2\cos a\cos x\cos(a+x)+\cos ^{2}(a+x)$

2°  $\cos ^{2}x+\cos ^{2}\left({\frac {2\pi }{3}}+x\right)+\cos ^{2}\left({\frac {2\pi }{3}}-x\right)$

sont indépendantes de $x$.

Solution

1°  $\cos ^{2}x-2\cos a\cos x\cos(a+x)+\cos ^{2}(a+x)=\sin ^{2}a$ (en développant $\cos(a+x)$ et en utilisant que $\cos ^{2}+\sin ^{2}=1$).

2°  $\cos ^{2}x+\cos ^{2}\left({\frac {2\pi }{3}}+x\right)+\cos ^{2}\left({\frac {2\pi }{3}}-x\right)={\frac {3+\cos 2x+\cos \left({\frac {4\pi }{3}}+2x\right)+\cos \left({\frac {4\pi }{3}}-2x\right)}{2}}={\frac {3+\cos 2x+\cos \left(2x-{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(2x+{\frac {2\pi }{3}}\right)}{2}}={\frac {3}{2}}$ (car $\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left(y+{\frac {2k\pi }{n}}\right)=0$).

 

Exercice 11-2

1°  Pour tout entier naturel $n$, soit

$\theta _{n}=\arctan {\frac {1}{1+n+n^{2}}}=\arctan {\frac {n+1-n}{1+n(n+1)}}$.

a)  Calculer la somme :

$S_{n}=\theta _{0}+\theta _{1}+\cdots +\theta _{n}$.

b)  La suite $\left(S_{n}\right)$ a-t-elle une limite ?

Solution

a)  Montrons par récurrence que $S_{n}=\arctan(n+1)$.

Par définition, on a bien $S_{0}=\arctan 1$.

Il suffit donc de montrer que pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, $\theta _{n}=\arctan(n+1)-\arctan n$.

• Première méthode. Cela résulte des trois points suivants :
  • les trois angles $a:=\arctan n$, $b:=\theta _{n}$ et $c:=\arctan(n+1)$ appartiennent à $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ ;
  • $\tan a\tan b<1$ (donc, compte tenu du point précédent : $a+b\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$) ;
  • $\tan(a+b)=\tan c$ (d'après la formule sur la tangente d'une somme).
• Seconde méthode. Les deux fonctions $x\mapsto \arctan {\frac {1}{x^{2}+x+1}}$ et $x\mapsto \arctan(x+1)-\arctan x$ sont égales car elles coïncident en $0$ et ont même dérivée.

b)  $\lim S_{n}=\lim _{+\infty }\arctan ={\frac {\pi }{2}}$.

 

2°  Mêmes questions si :

$\theta _{n}=\arctan {\frac {2}{(n+1)^{2}}}=\arctan {\frac {n+2-n}{1+n(n+2)}}$.

Solution

Par la même méthode que dans la question 1, on montre que pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, $\theta _{n}=\arctan(n+2)-\arctan n$, et l'on en déduit que

$S_{n}=\arctan(n+2)+\arctan(n+1)-{\frac {\pi }{4}}$ donc

$\lim S_{n}=2\lim _{+\infty }\arctan -{\frac {\pi }{4}}={\frac {3\pi }{4}}$.

 

Exercice 11-3

On suppose que

$\cos x={\frac {a}{b+c}},\quad \cos y={\frac {b}{c+a}}\quad {\text{et}}\quad \cos z={\frac {c}{a+b}}$.

Montrer que

$\tan ^{2}{\frac {x}{2}}+\tan ^{2}{\frac {y}{2}}+\tan ^{2}{\frac {z}{2}}=1$.

Solution

${\frac {1-{\frac {a}{b+c}}}{1+{\frac {a}{b+c}}}}+{\frac {1-{\frac {b}{c+a}}}{1+{\frac {b}{c+a}}}}+{\frac {1-{\frac {c}{a+b}}}{1+{\frac {c}{a+b}}}}=1$.

 

Exercice 11-4

Soient $a$, $b$ et $c$ les réels compris entre $-{\frac {\pi }{2}}$ et ${\frac {\pi }{2}}$ tels que

$\tan a={\frac {1}{2}},\quad \tan b={\frac {1}{5}}\quad {\text{et}}\quad \tan c={\frac {1}{8}}$.

Calculer $a+b+c$.

Solution

On a $a,b,c\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ et $\tan(a+b)={\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}}{1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{5}}}}={\frac {7}{9}}>0$ donc $a+b\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$, et $\tan(a+b+c)={\frac {{\frac {7}{9}}+{\frac {1}{8}}}{1-{\frac {7}{9}}{\frac {1}{8}}}}=1$, donc $a+b+c={\frac {\pi }{4}}$.

 

Exercice 11-5

Démontrez les identités :

1°  $\sin(a+b)\sin(a-b)+\sin(b+c)\sin(b-c)+\sin(c+a)\sin(c-a)=0$ ;

2°  $\cos(a+b)\sin(a-b)+\cos(b+c)\sin(b-c)+\cos(c+a)\sin(c-a)=0$ ;

3°  $\cos(a+b)\cos(a-b)+\cos(b+c)\cos(b-c)+\cos(c+a)\cos(c-a)=2(\cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c)-3$ ;

4°  $\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c={\frac {\sin(a+b+c)}{\cos a\cos b\cos c}}$.

Solution

1°  Immédiat car $\sin(x+y)\sin(x-y)={\frac {\cos 2y-\cos 2x}{2}}$.

2°  Immédiat car $\cos(x+y)\sin(x-y)={\frac {\sin 2x-\sin 2y}{2}}$.

3°  $\cos(a+b)\cos(a-b)+\cos(b+c)\cos(b-c)+\cos(c+a)\cos(c-a)=\cos 2a+\cos 2b+\cos 2c=2(\cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c)-3$.

4°  $\left(\tan a+\tan b+\tan c-\tan a\tan b\tan c\right)\cos a\cos b\cos c=\sin a\cos b\cos c+\sin b\cos c\cos a+\sin c\cos a\cos b-\sin a\sin b\sin c=\sin(a+b)\cos c+\cos(a+b)\sin c=\sin(a+b+c)$.

 

Exercice 11-6

Démontrez les identités :

1°  $\left(\cot {\frac {a}{2}}-\tan {\frac {a}{2}}\right)^{2}={\frac {4}{1-2\tan a\cot 2a}}$ ;

2°  $\cot \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {a}{2}}\right)+\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {a}{2}}\right)={\frac {2}{\cos a}}$ ;

3°  $\cot ^{2}a+\tan ^{2}a=2\,{\frac {3+\cos 4a}{1-\cos 4a}}$ ;

4°  ${\frac {\sin 2a}{1+\cos 2a}}\times {\frac {\cos a}{1+\cos a}}=\tan {\frac {a}{2}}$.

Solution

1°  ${\frac {4}{1-2\tan a\cot 2a}}={\frac {4}{\tan ^{2}t}}=\left({\frac {1-\tan ^{2}{\frac {a}{2}}}{\tan {\frac {a}{2}}}}\right)^{2}=\left(\cot {\frac {a}{2}}-\tan {\frac {a}{2}}\right)^{2}$.

2°  $\cot b+\tan b={\frac {1+\tan ^{2}b}{\tan b}}={\frac {2}{\sin 2b}}={\frac {2}{\cos \left(2b-{\frac {\pi }{2}}\right)}}$.

3°  Soit $t=\tan a$.

$2\,{\frac {3+\cos 4a}{1-\cos 4a}}={\frac {2+2\cos ^{2}2a}{\sin ^{2}2a}}=2{\frac {1+\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)^{2}}{\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\left(1+t^{2}\right)^{2}+\left(1-t^{2}\right)^{2}}{2t^{2}}}={\frac {1}{t^{2}}}+t^{2}$.

4°  ${\frac {\sin 2a}{1+\cos 2a}}\times {\frac {\cos a}{1+\cos a}}={\frac {2\sin a{\cancel {\cos ^{2}a}}}{4{\cancel {\cos ^{2}a}}\cos ^{2}{\frac {a}{2}}}}={\frac {{\cancel {4}}\cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {a}{2}}}{{\cancel {4}}\cos ^{2}{\frac {a}{2}}}}=\tan {\frac {a}{2}}$.