Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Les formules de trigonométrie

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Les formules de trigonométrie
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Chapitre no 11
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. : Équations et inéquations trigonométriques
Chap. suiv. : Trigonométrie réciproque
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Trigonométrie/Les formules de trigonométrie
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Cette annexe va présenter une démonstration des formules de trigonométrie du chapitre 4 (page dont il serait très pratique d’avoir en parallèle avec ce cours, dans votre navigateur). Il existe des démonstrations ne relevant que de géométrie pure mais dans le but de généraliser les formules aux angles orientés et à valeur réelle (angles négatifs, angles supérieurs à 360°), nous allons devoir recourir à la géométrie analytique.

Notre priorité sera avant tout de montrer les deux formules concernant et . Toutes les autres en découleront immédiatement.

Démonstration vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Les formules d'addition[modifier | modifier le wikicode]

Somme de deux angles dans le cercle trigonométrique.

Soient et deux réels. Dans un repère orthonormé , posons et les points du cercle trigonométrique tels que

et

Soit encore le point du cercle trigonométrique tel que

Alors :

Mais dans le repère ,


Or , d'où :

.


Les composantes d’un vecteur étant uniques, nous pouvons identifier :

Ainsi,

Enfin,

Les autres formules[modifier | modifier le wikicode]

En posant , et en n'oubliant pas que , les formules de duplication viennent clairement.

De là, on trouve facilement les formules de linéarisation à l'aide de deux expressions de .

Les formulaires 4 et 5 s'obtiennent à partir du formulaire 1 :

donc

et, par un changement de variable, en posant et ,

Démonstration géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Construction[modifier | modifier le wikicode]

Figure

Soit un cercle de centre ,de rayon .
Soit trois point sur le cercle tel que et
Soit les projetés orthogonaux de sur .
Soit le projeté orthogonal de sur .
Soit le point d'intersection de et .
On remarque que : .

Par définition[modifier | modifier le wikicode]

Dans ,
Dans ,
Dans , et

Dans ,

Dans ,

On remarque que

cos(a+b)[modifier | modifier le wikicode]

Cosinus(a+b).png

D'après le théorème de Thalès dans le triangle  :

.

Avec les définitions données ci-dessus, on obtient :

sin(a+b)[modifier | modifier le wikicode]

Figure

Dans ,
Dans ,
Avec les définition données ci-dessus on obtient :