Trigonométrie/Tangente dans un triangle rectangle

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Tangente et calculatrice

Calcul d’une tangente à l'aide d'une calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer sa tangente avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer $\tan {45^{\circ }}$, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
tan	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est $\tan {45}=1$

Si vous obtenez 1,619850 ou 0,854, votre calculatrice n’est pas en mode "degré" et il faut donc l'activer.

Calcul d’un angle à partir de sa tangente

Sur une calculatrice de type "collège" habituelle, pour calculer $\tan {(?)}=0,5$, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	tan	0	$\cdot$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, pour calculer $\tan {(?)}=0,5$, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	tan

Il est important que votre calculatrice soit en mode "degrés", ce qui est signalé sur l'écran par un "D" ou "Deg". Dans ce cas, le résultat du calcul est $tan^{-1}(0,5)\approx 27^{\circ }$.

Formule de la tangente

Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle $\scriptstyle {\hat {A}}$ vaut :

$\tan({\hat {A}})={\frac {BC}{AB}}={c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}} \over c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}$

Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté opposé et de son côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AB = 5 cm. Calculer ${\hat {A}}$

Solution

On a la formule : $\tan({\hat {A}})={\frac {BC}{AB}}={\frac {4}{5}}=0,800$

et : ${\hat {A}}=tan^{-1}(0,800)\approx 39^{\circ }$

 

Remarques :

1. Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour la tangente.
2. La notation $\tan ^{-1}$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse de la fonction tangente : ${\frac {1}{\tan }}$. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation ${\operatorname {arctan} }$ (fonction réciproque de la fonction tangente).

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : ${{\hat {A}}=40^{\circ }}$ et $AB=5cm$. Calculer $BC$

Solution

On a la formule :

$\tan({\hat {A}})=\tan({40})={\frac {BC}{AB}}={\frac {BC}{5}}$

donc :

$BC=5\times \tan({40})\approx 4,2\ cm$

 

Exemple 3 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : ${{\hat {A}}=40^{\circ }}$ et $BC=4cm$. Calculer $AB$

Solution

On a la formule :

$\tan({\hat {A}})=\tan({40})={\frac {BC}{AB}}={\frac {4}{AB}}$

donc : $AB\times \tan({40})=4$

donc : $AB={\frac {4}{\tan({40})}}\approx 4,8\ cm$