Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 3

Exercice 12-1

Démontrer les relations :

1°  ${\frac {\sin(a-b)}{\sin a\sin b}}+{\frac {\sin(b-c)}{\sin b\sin c}}+{\frac {\sin(c-a)}{\sin c\sin a}}=0$ ;

2°  ${\frac {\sin 7x}{\sin x}}=1+2\cos 2x+2\cos 4x+2\cos 6x$ ;

3°  $\cos ^{2}(a+b)+\cos ^{2}(a-b)=1+\cos 2a\cos 2b$.

Solution

1°  Immédiat car ${\frac {\sin(x-y)}{\sin x\sin y}}=\cot y-\cot x$.

2°  $\left(1+2\cos 2x+2\cos 4x+2\cos 6x\right)\sin x=\sin x+\sin 3x-\sin x+\sin 5x-\sin 3x+\sin 7x-\sin 5x=\sin 7x$.

3°  $\cos ^{2}(a+b)+\cos ^{2}(a-b)=1+{\frac {\cos 2(a+b)+\cos 2(a-b)}{2}}=1+\cos 2a\cos 2b$.

 

Exercice 12-2

Démontrer la relation :

${\frac {\sin 3a+\cos 3a+\sin 5a+\cos 5a+\sin 7a+\cos 7a}{\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}}={\frac {{\sqrt {2}}\,\sin \left({\frac {\pi }{4}}+5a\right)}{\cos 5a}}$.

Solution

${\frac {\sin 3a+\cos 3a+\sin 5a+\cos 5a+\sin 7a+\cos 7a}{\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}}={\sqrt {2}}\,{\frac {\cos \left(3a-{\frac {\pi }{4}}\right)+\cos \left(5a-{\frac {\pi }{4}}\right)+\cos \left(7a-{\frac {\pi }{4}}\right)}{\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}}={\sqrt {2}}\,{\frac {\cos \left(5a-{\frac {\pi }{4}}\right)\left(1+2\cos 2a\right)}{\cos 5a\left(1+2\cos 2a\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,\sin \left({\frac {\pi }{4}}+5a\right)}{\cos 5a}}$.

 

Exercice 12-3

Soient $a,b,c\in \mathbb {R}$ tels que $\cos a\cos b\cos c\neq 0$. Démontrer que

$\sin(b+c-a),\quad \sin(c+a-b)\quad {\text{et}}\quad \sin(a+b-c)$

sont en progression arithmétique si et seulement si

$\tan a,\quad \tan b\quad {\text{et}}\quad \tan c$

le sont.

Solution

$\cos a\cos b\cos c\left(\tan a+\tan c-2\tan b\right)=\sin(c+a)\cos b-2\sin b\cos a\cos c=\sin(c+a-b)+\sin b\left(\cos(c+a)-2\cos a\cos c\right)$

$=\sin(c+a-b)-\sin b\cos(c-a)=\sin(c+a-b)-{\frac {\sin(b+c-a)+\sin(a+b-c)}{2}}$.

 

Exercice 12-4

Transformer en un produit les expressions :

1°  $\cos(a+b+c)+\cos a+\cos b+\cos c$ ;

2°  $\sin(a+b-c)+\sin(b+c-a)+\sin(c+a-b)-\sin(a+b+c)$.

Solution

1°  $\cos(a+b+c)+\cos a+\cos b+\cos c=2\cos {\frac {b+c}{2}}\left(\cos {\frac {2a+b+c}{2}}+\cos {\frac {b-c}{2}}\right)=4\cos {\frac {b+c}{2}}\cos {\frac {c+a}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}$.

2°  $\sin(a+b-c)+\sin(b+c-a)+\sin(c+a-b)-\sin(a+b+c)=2\sin b\left(\cos(a-c)-\cos(a+c)\right)=4\sin b\sin c\sin a$.

 

Exercice 12-5

On donne $\sin a=b\in \left]-1,1\right[$ et l'on se propose de calculer :

$\cos {\frac {a}{2}}=x,\quad \sin {\frac {a}{2}}=y\quad {\text{et}}\quad \tan {\frac {a}{2}}=z$.

1°  Montrer que

$(x+y)^{2}=1+b\quad {\text{et}}\quad (x-y)^{2}=1-b$.

En déduire $x$ et $y$.

2°  Combien obtient-on de solutions pour $x$, pour $y$ et pour $z$ ? Quelles remarques peut-on faire sur ces différentes valeurs ?

3°  Donner une interprétation géométrique des résultats obtenus en montrant que les extrémités des arcs ${\frac {a}{2}}$ sont les sommets d'un rectangle dont les côtés sont parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées.

4°  Application : calculer les lignes trigonométriques de ${\frac {17\pi }{12}}$ connaissant $\sin {\frac {17\pi }{6}}=\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {1}{2}}$.

Solution

1°  $(x+y)^{2}=\cos ^{2}{\frac {a}{2}}+\sin ^{2}{\frac {a}{2}}+2\cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {a}{2}}=1+b$. De même, $(x-y)^{2}=1-b$.

Par conséquent, $x+y=\varepsilon {\sqrt {1+b}}\quad {\text{et}}\quad x-y=\varepsilon '{\sqrt {1-b}}$ avec $\varepsilon =\pm 1$ et $\varepsilon '=\pm 1$, d'où

$x={\frac {\varepsilon {\sqrt {1+b}}+\varepsilon '{\sqrt {1-b}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad y={\frac {\varepsilon {\sqrt {1+b}}-\varepsilon '{\sqrt {1-b}}}{2}}$.

2°  On obtient 4 solutions $(x,y,z)$, de la forme $(\pm (u,v),t),(\pm (v,u),1/t)$.

3°  $(u,v),(v,u)$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice, et $(u,v),-(v,u)$ par rapport à la seconde, de même que leurs opposés.

4°  $\cos {\frac {17\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {1+{\frac {1}{2}}}}}{2}}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$, $\sin {\frac {17\pi }{12}}={\frac {-{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {1+{\frac {1}{2}}}}}{2}}={\frac {-1-{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {2}}}}$ et $\tan {\frac {17\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}=2+{\sqrt {3}}$ (voir aussi l'exercice 1-8).