Discussion:Trigonométrie/Relations trigonométriques

Cos(2a) et cos(na)

Mesdames messieurs Bonjour et un grand bravo pour votre travail qui m'aide énormément.

Voici ma question :

L'on sait que $\cos(2a)=\cos ^{2}a-\sin ^{2}a$ mais existe t'il une relation du type $\cos(na)=\cos(a)^{n}-\sin(a)^{n}$

je recherche en fait le moyen d'exprimer $\cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)$ en me servant de $\cos \left({\frac {1}{2}}\times {\frac {\pi }{4}}\right)$

On peut aussi partir de l’idée que : $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et que $\cos(2a)=\cos(a+a)$
puis par la suite que sur ce point
$\cos(3a)=\cos(a+2a)=\cos(a)\cos(2a)-\sin(a)\sin(2a)$
$\cos(3a)=\cos(a)\left(\cos ^{2}a-\sin ^{2}a\right)-\sin(a)\left(2\sin(a)\cos(a)\right)$ et essayer de généraliser

Sinon, concernant des arrangements du type $\cos(na)=\cos(a)^{n}-\sin(a)^{n}$, qui sont possibles mais pas aussi simples, je propose de lire Nombre complexe/Factorisation et linéarisation, qui explique comment transformer des expressions trigonométriques ente des formes factorisées et des formes linéarisées Xzapro4 _discuter 29 mai 2009 à 09:09 (UTC)

À propos de la note sur la relation fondamentale

Soit les relations paramétrées $x=cos(t)$ et $y=sin(2t)$ .

Problème trouver UNE relation unique $y=f(x)$ ! On remarquera que x est pair et y impair ; on doit donc rendre y impair en fonction de x. ( Nota x étant pair, y doit prendre deux valeurs y et -y d'où une courbe symétrique par rapport à Ox, ce qui est contradictoire avec si x>0 alors y = +... et si x<0 alors y = -...).

Réponse : $y=2\times cos(t)\times sin(t)=2\times x\times {\frac {x}{|x|}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}$ et non $y=2\times x\times {\sqrt {1-(x)^{2}}}$

Ceci justifie la note et son domaine d'application

--Ereduverseau (discussion) 9 avril 2013 à 09:08 (UTC)

En signant à l'intérieur du chapitre, tu as déclenché le filtre anti-abus numéro 7. Voir [1] Cordialement. --Lydie Noria (discussion) 9 avril 2013 à 12:45 (UTC)

D'autre part :

${\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}$

Par conséquent :

$y=2\times x\times {\frac {x}{|x|}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}$

peut s'écrire :

$y=2\times x\times {\frac {|x|}{x}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}$

et l’on voit que l’on peut simplifier par x, on obtient donc plus simplement :

$y=2\times |x|{\sqrt {1-(x)^{2}}}$

c’est plus simple effectivement mais le but était de faire une démo, ratée à cause du manque d’un modulo sur les x. La notation $sign(x)$ n’est pas je crois généralisée au niveau des langages informatiques, c’est pourquoi je la remplaçais , tout en la laisssant bien distincte du reste de la formule, par ${\frac {x}{|x|}}$ ou ${\frac {|x|}{x}}$ OK pour cela.--Ereduverseau (discussion) 10 avril 2013 à 11:40 (UTC)

Mais ce n’est pas le plus grave. Ta formule est de toute évidence fausse puisque le premier membre de l'égalité peut être éventuellement négatif alors que le second membre est toujours positif. En effet :

$y=2\times x\times {\frac {x}{|x|}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}=2\times {\frac {x^{2}}{|x|}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}$

Dans mon expression , $y$ doit être univoquement en fonction de $x$ ; son signe est déterminé par le choix de l’expression ou par celui qui procède au calcul tout en étant dépendant de sa parité en tant que fonction paramétrée

Une racine carrée étant TOUJOURS positive par convention sur les réels, si je ne m'abuse, $y$ sera positif. Si l'opérateur veut , par sa volonté, rendre y négatif, il devra y adjoindre un facteur ( sign(x) ou ${\frac {x}{|x|}}$ ou ${\frac {|x|}{x}}$ ou logique autre si...alors...).

Question : quelle est l’expression de ${\sqrt {x^{2}}}$ ? Ma réponse est $|x|$ et non $\pm x$.

Une solution " bateau ", non satisfaisante en général en logique et en phénoménologie, mais plus acceptable en mathématiques, est de donner comme résultat et dire que : si x>0 alors y=f(x) et si x<0 alors y=-f(x). Quand il y a n variables, avec m retards, cela devient inextricable. CE qui démontre qu’il est aussi difficile en math de trouver la perfection que de trouver une relation unique entre les forces physiques....

Mon expression est de la même verve, et FAUSSE de par sa nature , comme tu l'as très bien démontré, et ce n'étais pas initialement un piège que je tendais, ceci avec y positif quel que soit le signe de x comme tu le fais remarquer à juste titre. Il reste vrai que la formule du sinus aurait pu être acceptable en elle-même indépendamment du reste.

$y={\frac {x}{|x|}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}$ ou $y={\frac {|x|}{x}}{\sqrt {1-(x)^{2}}}$ mais mon application aux fonctions paramétrées conduit à une erreur, ou celle communément utilisée $\pm$ ou $si...alors...$ conduit à des conditions ou des restrictions.

Si on souhaite associer les parités de x et y, et les respecter à travers le formule qui lie et relie x et y, il faut alors faire intervenir un facteur qui souligne et confirme ce choix ou alors d'énoncer qu’il n'y a pas de relation unique, mais 2 ou plus conditionnées par x ou par son signe, voire pas de relation possible ( en phénoménologie il faudra distinguer chaque cas ). Ici n'est évoqué que le cas du rapport entre sinus et cosinus , mais cela peut concerner d'autres types de fonctions complémentaires ( sh et ch ... ).

--Ereduverseau (discussion) 10 avril 2013 à 15:40 (UTC)

Mais je vois de quoi tu parles et je pense que je dois revoir cela ; j’y regarde. Je pense qu’il y a un problème de fond car dans le problème posé en exemple la fonction $x=cos(t)$ est paire et $y=sin(2t)$ est impaire.

Comment traduire cela par une expression $y=f(x)$ qui respecte cette condition sans faire intervenir le signe de t ?

:Je m'interroge sur ce point essentiel ! Écrire que $y=2x{\sqrt {1-x^{2}}}$ est faux dans le cas présent de fonctions paramétrées puisque le fait de changer t en -t ne change pas le signe de x alors que cela change le signe de y !!!! Je reconnais que mon expression est FAUSSE mais je n'ai pas de réponse univoque sans faire intervenir le signe de x .

N'est-ce pas impossible d’établir une relation par une expression mathématique dans le cas des fonctions ainsi paramétrées, lorsque la parité est différente entre les fonctions paramétrées lorsque le paramètre change de signe ? J'ATTENDS TON POINT DE VUE AVEC IMPATIENCE ET GRAVITé. J’ai ma réponse à ce dilemme mais c’est un des objets de mes recherches.

N'y a t'il pas nécessité dans ce cas que les fonctions aient la même parité pour pouvoir établir une relation ? Ne limite t'on pas en général le domaine de définition de l’expression pour éviter d'évoquer le problème de la parité et rendre cette expression valable ?

ne considérer que t uniquement positif ou négatif dans les fonctions paramétrées permet d’éviter de se poser la question de la parité mais est bien souvent suffisant !

Dans le cas d’une fonction non paramétrée y = f(x), la parité de f détermine le changement de signe de x implique l'évolution ou non du signe de y, ce qui est évident et bien connu.

Faut-il que je mette ces réflexions sur ton mur plutôt qu'ici ?

--Ereduverseau (discussion) 10 avril 2013 à 16:31 (UTC)

OK je suis allé trop vite, je me paie la honte et j'aurais dû réfléchir plus. ${\frac {x}{|x|}}$ ou ${\frac {|x|}{x}}$Mais si tu savais ce qui est en train de se concocter en recherche, tu m'excuserais.

Bon, j’ai oublié la périodicité et donc de faire intervenir un $mod(\pi )$ pour les x entre autres, et non $mod(2\pi )$ afin d’avoir x modulé ramené dans un domaine de définition symétrique compris entre $-\pi$ et +$\pi$, afin de construire un espace d'étude paritaire de la variable x.

Ramener le domaine de définition d’une variable à un domaine symétrique par rapport à la valeur centrale, considérée comme 0 par un changement d'origine, et de plus modulé par une valeur ( $\pi$ ou pourquoi pas une autre ) me semble une approche analytique nouvelle de l'étude d’une variable qui je crois est valable et qui n'a pas encore été fort exploitée.

Cette façon de procéder dans l'analyse ramène $3{\frac {\pi }{2}}$ à ${\frac {\pi }{2}}$ et rétablit ainsi les égalités en valeur et en signes.

Je suis certain qu’il y a un début de vérité dans ma remarque que j’ai retirée mais elle n'a pas sa place dans une leçon que je n'ai pas à donner mais que j’ai reçue. À moins que tu me permettes de corriger mes formules.

Je la reprendrai dans mes recherches. Je te remercie de m'avoir ouvert les yeux car tu m'as permis d'aller plus loin dans ma réflexion et mon approche de la parité.Bonne continuation à toi et à l'équipe--Ereduverseau (discussion) 10 avril 2013 à 11:47 (UTC)

Mon point de vue est que ces choses sont simples, évidentes, appartiennent aux mathématiques élémentaires et ne sont pas des sujets de recherche. Si tu as l'impression que certains points ne sont pas clairs, c’est tout simplement parce-que tu as des lacunes. La meilleure façon d'y remédier est de t'entraîner à faire des exercices de trigonométrie sur les études de fonctions trigonométriques ou les équations trigonométriques (niveau lycée, mais pas toujours au programme). Désolée pour ma franchise, mais je suis pour dire la vérité aux malades. La théorie des angles orientés, que ce soit modulo π ou modulo 2π, est une théorie achevée. Si tu veux te triturer les méninges en trigonométrie, penche-toi plutôt sur la page w:Polynôme minimal trigonométrique que j’ai trouvé sur wikipédia. J’aimerais bien connaître la démonstration des formules en fin de page. Bien cordialement. --Lydie Noria (discussion) 11 avril 2013 à 10:02 (UTC)