Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1

Exercice 10-1

En supposant $a+b+c=\pi$, simplifier les expressions :

1°  $\frac{\sin a+\sin b+\sin c}{\sin a+\sin b-\sin c}$

2°  $1+\cos a+\cos b-\cos c$

Solution

1°

$\begin{array}{cc}\frac{\sin a+\sin b+\sin c}{\sin a+\sin b-\sin c}& =\frac{\sin a+\sin b+\sin (a+b)}{\sin a+\sin b-\sin (a+b)}\\ & =\frac{2\sin ((a+b)/2))(\cos ((a-b)/2))+\cos ((a+b)/2)))}{2\sin ((a+b)/2))(\cos ((a-b)/2))-\cos ((a+b)/2)))}\\ & =\frac{\cos (a/2)\cos (b/2)}{\sin (a/2)\sin (b/2)}\\ & =\cot (a/2)\cot (b/2)\end{array}$

2°

$\begin{array}{cc}1+\cos a+\cos b-\cos c& =\cos a+\cos b+1+\cos (a+b)\\ & =2\cos ((a+b)/2)(\cos ((a-b)/2)+\cos ((a+b)/2))\\ & =2\cos ((\pi -c)/2)\times 2\cos a\cos b\\ & =4\sin \frac{c}{2}\cos a\cos b\end{array}$

 

Exercice 10-2

Calculer la somme :

$S={\sin }^4\frac{\pi }{8}+{\sin }^4\frac{3\pi }{8}+{\sin }^4\frac{5\pi }{8}+{\sin }^4\frac{7\pi }{8}$

Solution

$\begin{array}{cc}S& =2({\sin }^4\frac{\pi }{8}+{\cos }^4\frac{\pi }{8})\\ & =2({({\sin }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{\pi }{8})}^2-2{\sin }^2\frac{\pi }{8}{\cos }^2\frac{\pi }{8})\\ & =2-{\sin }^2\frac{\pi }{4}\\ & =\frac{3}{2}.\end{array}$

 

Exercice 10-3

De la relation $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, déduire :

${\cos }^{4}x=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$.

Calculer :

$S={\cos }^4\frac{\pi }{8}+{\cos }^4\frac{3\pi }{8}+{\cos }^4\frac{5\pi }{8}+{\cos }^4\frac{7\pi }{8}$.

Solution

${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4}=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$.

$\frac{S}{2}={\cos }^4\frac{\pi }{8}+{\cos }^4\frac{3\pi }{8}=\frac{3}{4}+\frac{\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{3\pi }{4}}{2}+\frac{\cos \frac{\pi }{2}+\cos \frac{3\pi }{2}}{8}=\frac{3}{4}$ donc $S=\frac{3}{2}$.

 

Exercice 10-4

Mettre sous forme de produit ou de quotient les expressions suivantes :

1°  $\sin a+2\sin 2a+\sin 3a$ ;

2°  $\cos a+2\cos 2a+\cos 3a$ ;

3°  ${\sin }^{2}a+{\sin }^{2}b-{\sin }^2(a+b)$ ;

4°  $1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x$ ;

5°  ${\sin }^{2}b-{\sin }^{2}a={\cos }^{2}a-{\cos }^{2}b$.

Solution

1°  $\sin a+2\sin 2a+\sin 3a=2\sin 2a(1+\cos a)=4\sin 2a{\cos }^2\frac{a}{2}$.

2°  $\cos a+2\cos 2a+\cos 3a=2\cos 2a(1+\cos a)=4\cos 2a{\cos }^2\frac{a}{2}$.

3°  ${\sin }^{2}a+{\sin }^{2}b-{\sin }^2(a+b)={\sin }^{2}a+{\sin }^{2}b-{(\sin a\cos b+\sin b\cos a)}^2$

$={\sin }^{2}a(1-{\cos }^{2}b)+{\sin }^{2}b(1-{\cos }^{2}a)-2\sin a\cos a\sin b\cos b=2\sin a\sin b(\sin a\sin b-\cos a\cos b)$

$=-2\sin a\sin b\cos (a+b)$.

4°  $1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x=(1+\sin x)(1+\cos x)=4\sin \frac{\pi +2x}{4}\cos \frac{\pi -2x}{4}{\cos }^2\frac{x}{2}$

5°  ${\cos }^{2}a-{\cos }^{2}b=(\cos a+\cos b)(\cos a-\cos b)=-4\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}=-\sin (a+b)\sin (a-b)$.

 

Exercice 10-5

Mettre sous forme de produit ou de quotient les expressions :

1°  $1-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y$ ;

2°  $\cos 2x-{\cos }^{2}x$ ;

3°  $\sin x+\sin 2x$ ;

4°  $1+\tan x\tan 2x$ ;

5°  $1+\cos 2x+2\cos x$.

Solution

1°  $1-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y={\cos }^{2}x-{\cos }^2(\frac{\pi }{2}-y)=-\sin (x+\frac{\pi }{2}-y)\sin (x-\frac{\pi }{2}+y)$ (cf. fin de l'exercice précédent).

2°  $\cos 2x-{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$.

3°  $\sin x+\sin 2x=2\sin x(\frac{1}{2}+\cos x)=2\sin x(\cos \frac{\pi }{3}+\cos x)=4\sin x\cos \frac{\frac{\pi }{3}+x}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{3}-x}{2}$.

4°  $1+\tan x\tan 2x=1+\frac{2\tan x\cos x\sin x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x+2{\sin }^{2}x}{\cos 2x}=\frac{1}{\cos 2x}$.

5°  $1+\cos 2x+2\cos x=2\cos x(\cos x+1)=4\cos x{\cos }^2\frac{x}{2}$.

 

Exercice 10-6

Démontrer les relations :

1°  $S=\sin \frac{\pi }{9}\sin \frac{2\pi }{9}\sin \frac{3\pi }{9}\sin \frac{4\pi }{9}=\frac{3}{16}$ ;

2°  $C=\cos \frac{\pi }{9}\cos \frac{2\pi }{9}\cos \frac{3\pi }{9}\cos \frac{4\pi }{9}=\frac{1}{16}$.

Solution

1°  La partie réelle de $1-{(\cos t+\mathrm{i}\sin t)}^{18}$ est égale à $1-\sum _{k=0}^9(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2k})(-1{)}^k{\sin }^{2k}t{(1-{\sin }^{2}t)}^{9-k}={\sin }^{2}tP(\sin t)$, où $P$ est un polynôme de degré 16 à 8 racines doubles : $\pm \sin \frac{\pi }{9},\pm \sin \frac{2\pi }{9},\pm \sin \frac{3\pi }{9},\pm \sin \frac{4\pi }{9}$. Le coefficient dominant de $P$ est $\sum _{k=0}^9(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2k})=2^{17}$ et son terme constant est $-(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{0})(-1{)}^0(-9)-(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2})(-1{)}^1=9+\frac{18\times 17}{2}=9\times 18$, donc $S=\sqrt[4]{\frac{9\times 18}{2^{17}}}=\frac{3}{16}$.

2°  La partie réelle de $1-{(\cos t+\mathrm{i}\sin t)}^{18}$ est aussi égale à $1-\sum _{k=0}^9(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2k})(-1{)}^k{(1-{\cos }^{2}t)}^k{\cos }^{18-2k}t=(1-{\cos }^{2}t)Q(\cos t)$, où $Q$ est un polynôme de degré 16 à 8 racines doubles : $\pm \cos \frac{\pi }{9},\pm \cos \frac{2\pi }{9},\pm \cos \frac{3\pi }{9},\pm \cos \frac{4\pi }{9}$. Le coefficient dominant de $Q$ est $2^{17}$ et son terme constant est $2$, donc $C=\sqrt[4]{\frac{2}{2^{17}}}=\frac{1}{16}$.

Par conséquent, $\prod _{k=1}^8\cos \frac{k\pi }{9}=C^2=\frac{1}{4^4}$. Pour une généralisation, voir Polynôme/Exercices/Racines de polynômes#Exercice 1-7.