Trigonométrie/Théorème du cosinus

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Ce théorème généralise celui plus connu de Pythagore pour des triangles non rectangles, d'où cette autre dénomination de théorème de Pythagore généralisé. Il est aussi attribué, en France, au mathématicien perse Al-Kashi vivant au XIV-XV^ème siècle de notre chronologie, mais semble avoir été connu dès l'Antiquité.

Il peut s'énoncer ainsi en français : le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, auquel il faut algébriquement retrancher le double-produit des longueurs de ces deux côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé.

Rappel du théorème de Pythagore

Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans cet exemple, $c^{2}=h^{2}+l^{2}$ et $a^{2}=h^{2}+m^{2}$.

Le théorème de Pythagore généralisé

Nous utiliserons de plus les deux égalités suivantes :

• $b=l+m\Rightarrow m=b-l$ ;
• $\cos \alpha ={\frac {l}{c}}\Rightarrow l=c\cos \alpha$.

Nous arrivons donc au résultat suivant :

${\begin{aligned}a^{2}&=h^{2}+m^{2}\\&=h^{2}+(b-l)^{2}\\&=h^{2}+l^{2}+b^{2}-2bl\\&=c^{2}+b^{2}-2bc\cos \alpha .\end{aligned}}$

Début d’un théorème

Théorème d'Al-Kashi

(attention, cette appellation est uniquement française et est inconnue dans les autres pays)

$a^{2}=c^{2}+b^{2}-2bc\cos \alpha$.

Fin du théorème