Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Théorème du cosinus

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Théorème du cosinus
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Chapitre no 8
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Relations trigonométriques
Chap. suiv. :Théorème du sinus
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Trigonométrie/Théorème du cosinus
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Le théorème du cosinus (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé) est applicable à des triangles non rectangles. Historiquement, ce théorème est attribué au mathématicien perse Al-Kashi (1380 - 1429) mais semble avoir été connu dès l'Antiquité. Ce théorème est connu, en France, sous le nom de théorème d'Al-Kashi.


L'énoncé du théorème du cosinus, en français, est le suivant :

Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, à laquelle il faut algébriquement soustraire le double produit des longueurs de ces deux autres côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé au côté initial.

Rappel du théorème de Pythagore[modifier | modifier le wikicode]

Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La longueur de l'hypoténuse est égale à la racine de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans cet exemple, et .

Le théorème de Pythagore généralisé[modifier | modifier le wikicode]

Afin d'exprimer le côté en fonction des deux autres côtés et et de l'angle opposé , nous avons besoin des égalités suivantes :

  •  ;
  • .

Nous arrivons donc au résultat suivant :


Début d’un théorème
Fin du théorème

Les expressions des deux autres côtés et sont les suivantes :