Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Théorème du cosinus

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Théorème du cosinus
Icône de la faculté
Chapitre no 8
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Relations trigonométriques
Chap. suiv. :Théorème du sinus
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie : Théorème du cosinus
Trigonométrie/Théorème du cosinus
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce théorème généralise celui plus connu de Pythagore pour des triangles non rectangles, d'où cette autre dénomination de théorème de Pythagore généralisé. Il est aussi attribué, en France, au mathématicien perse Al-Kashi vivant au XIV-XVème siècle de notre chronologie, mais semble avoir été connu dès l'Antiquité.

Il peut s'énoncer ainsi en français : le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, auquel il faut algébriquement retrancher le double-produit des longueurs de ces deux côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé.

Rappel du théorème de Pythagore[modifier | modifier le wikicode]

Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans cet exemple, et .

Le théorème de Pythagore généralisé[modifier | modifier le wikicode]

Nous utiliserons de plus les deux égalités suivantes :

  •  ;
  • .

Nous arrivons donc au résultat suivant :


Début d’un théorème
Fin du théorème