Trigonométrie/Théorème du cosinus

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Rappel du théorème de Pythagore

Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans cet exemple, $c^{2}=h^{2}+l^{2}$ et $a^{2}=h^{2}+m^{2}$.

Le théorème de Pythagore généralisé

Nous utiliserons de plus les deux égalités suivantes :

• $b=l+m\Rightarrow m=b-l$ ;
• $\cos \alpha ={\frac {l}{c}}\Rightarrow l=c\cos \alpha$.

Nous arrivons donc au résultat suivant :

${\begin{aligned}a^{2}&=h^{2}+m^{2}\\&=h^{2}+(b-l)^{2}\\&=h^{2}+l^{2}+b^{2}-2bl\\&=c^{2}+b^{2}-2bc\cos \alpha .\end{aligned}}$

Début d’un théorème

Théorème d'Al-Kashi

(attention, cette appellation est uniquement française et est inconnue dans les autres pays)

$a^{2}=c^{2}+b^{2}-2bc\cos \alpha$.

Fin du théorème