Topologie générale/Exercices/Dénombrabilité
Apparence
Exercice 1
[modifier | modifier le wikicode]- Soient un espace séparable et un ensemble d'ouverts de , non vides et deux à deux disjoints. Montrer que est au plus dénombrable.
- En déduire que tout ouvert de est réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.
Solution
- Soit une suite d'image dense dans . L'application est alors injective.
- Soit un ouvert de . Puisque est localement connexe, les composantes connexes de sont des ouverts de . est donc réunion d'intervalles ouverts non vides deux à deux disjoints. Puisque est séparable, l'ensemble de ces intervalles est au plus dénombrable d'après la question 1.
Exercice 2
[modifier | modifier le wikicode]Montrer que le produit de deux espaces topologiques séparables est séparable.
Solution
Pour cette topologie produit, l'adhérence du produit cartésien d'une partie de par une partie de est le produit de leurs adhérences respectives ; en particulier, le produit d'une partie dense dans par une partie dense dans est dense dans . Si ces deux parties sont au plus dénombrables, leur produit aussi.