Leçons de niveau 16

Topologie générale/Dénombrabilité

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Dénombrabilité
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Chapitre no 6
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Espace produit
Chap. suiv. :Continuité et homéomorphismes

Exercices :

Dénombrabilité
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Topologie générale/Dénombrabilité
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Wikipédia possède un article à propos de « Espace à base dénombrable ».
Wikipédia possède un article à propos de « Espace à bases dénombrables de voisinages ».
Wikipédia possède un article à propos de « Espace séparable ».

Un espace topologique est dit :

  • à base dénombrable s'il possède une base dénombrable d'ouverts ;
  • à bases dénombrables de voisinages si dans cet espace, tout point admet une base dénombrable de voisinages ;
  • séparable s'il possède une partie dénombrable dense.

Tout espace métrisable est à bases dénombrables de voisinages.

Tout espace à base dénombrable est à la fois séparable et à bases dénombrables de voisinages. La réciproque est fausse pour un espace topologique quelconque, mais tout espace métrisable séparable est à base dénombrable.


Exemple : Q est dénombrable et dense dans R donc R est séparable. Puisque de plus R est métrisable, il est donc même à base dénombrable.