Leçons de niveau 14

Monoïde/Composé d'une séquence

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Composé d'une séquence
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Chapitre no 2
Leçon : Monoïde
Chap. préc. :Définition d’un monoïde
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Monoïde/Composé d'une séquence
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Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons pour désigner le composé de et . L'élément neutre sera noté 1.

Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde[modifier | modifier le wikicode]

Définissons récursivement le composé (« produit » dans notre notation) d'un n-uplet d'éléments de E pour tout entier naturel n ou plus généralement, le composé d'une séquence d'éléments de E, c'est-à-dire d'une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné :

  • le produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1 ;
  • si est le plus grand élément de , .

Pour les n-uplets, cette condition s'écrit :

ou encore :

.

La « généralisation » des n-uplets aux séquences n'est qu'un artifice de notation — si deux séquences et sont équivalentes (c'est-à-dire s'il existe un isomorphisme d'ensembles ordonnés de sur tel que, pour tout , ) alors leurs composés sont égaux, or toute séquence est canoniquement équivalente à un n-uplet — mais elle aide à formuler le théorème d'associativité suivant[1] :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Un corollaire est que pour tout (n + 1)-uplet d'éléments de E,

.

Cette formule (2), ou la formule (1) précédente, est couramment présentée — jointe à la définition du produit du 0-uplet comme étant égal à 1 — comme définition de par récurrence sur n. Le corollaire permet de prouver l'équivalence de ces deux définitions, par récurrence sur le nombre de facteurs.

Si le monoïde E est commutatif, on peut définir le composé d'une famille finie d'éléments de E sans préciser un ordre sur l'index de cette famille, car on prouve que le composé, tel que défini ci-dessus, est alors indépendant de l'ordre choisi. Plus généralement, si E est un monoïde non forcément commutatif, si est une famille d'éléments de E dont tous les éléments commutent l'un avec l'autre, le produit des éléments de cette famille ne dépend pas de l'ordre choisi. C'est le « théorème de commutativité »[2]. Ce théorème revient à dire que si est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si est une permutation de l’ensemble , . Plus généralement, si est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si est une bijection d'un ensemble sur ,

Le lemme suivant est utilisé dans le chapitre « Produit de groupes » du cours sur les groupes :

Début d'un lemme


Fin du lemme





Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, Paris, Hermann, 1970, ch. I, § 1, no 3, p. 4, et § 2, no 1, p. 13.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 1, théor. 2, Paris, 1970, p. 8.