Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes

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Produit libre d'une famille de groupes
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Chapitre no 47
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes libres : théorème de Howson
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Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes
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Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).


Construction du produit libre[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné une famille d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans et x dans Xi[1].
Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par l'ensemble .
Soit une famille de groupes. On notera 1i le neutre de Gi. On désignera par l'ensemble somme de la famille .
Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :

Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur du mot .
Si désigne, comme convenu, l'ensemble somme de la famille , les éléments de Mo() sont donc les multiplets de la forme

,

n parcourt les nombres naturels (), où parcourent et où, pour tout j dans {1, ... , n}, .
(On notera que, par définition de , un élément apparaissant dans un couple est distinct de )



Exemples

1) Le multiplet vide est réduit.
2) Si i est un élément de et g un élément de , le 1-uplet ((i, g)) est un élément réduit de Mo(). Le 1-uplet n'est pas un élément réduit de Mo(), ce n'est même pas un élément de Mo().
3) Soient deux différents éléments de , soient et . Alors est un élément réduit de Mo(), mais n'en est pas un.


Nous allons maintenant munir d'une loi de groupe *.

Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture , avec dans et dans , désignera toujours le produit de et dans . De même, dans l'écriture , désignera toujours l'inverse de dans . (Cela doit être précisé, puisque les groupes ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)

Soient et deux éléments de , autrement dit deux éléments réduits de Mo().
Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo(), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas et
Si on est dans le cas et , il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :

- si , calculé dans le groupe , n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples et , en les remplaçant par le couple ; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot
,
qui peut encore s'écrire
;
- si maintenant , calculé dans le groupe , est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples et .

Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)

.

Voici une description plus maniable des opérations.
Si est un élément de Mo(), si s est un nombre naturel tel que , définissons le segment initial de longueur s de comme étant et définissons le segment final de longueur s de comme étant .
(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)
Si maintenant est un élément réduit de Mo(), autrement dit un élément de , définissons l'inverse de comme étant Il est clair que l'inverse de est lui aussi un élément réduit de Mo() et que l'inverse de cet inverse est . (Nous verrons que et sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans .)
Soient maintenant et deux éléments réduits de Mo().
Désignons par t le plus grand nombre naturel min{m, n} tel que le segment final de longueur t de et le segment initial de longueur t de soient inverses l'un de l'autre.
Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit) de Mo() pour lequel

et

Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel min{m, n} tel que

...

Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si et sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé

comme égalant

si on n'est pas dans le cas ( et );
,
qu'on peut aussi écrire
,
si on est dans le cas ( et ).

Il est clair que, dans les deux cas, le composé

est un élément réduit de Mo(). (Dans le second cas, où , le fait que le composé appartient à Mo() résulte du fait que, par maximalité de t, )
Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble des éléments réduits de Mo(). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments et de , il s'agira de
Par exemple, si , si est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de ), si est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors

et

sont des éléments réduits de Mo() et leur composé réduit

est

Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Ce qui concerne le neutre et l'inverse résulte clairement de la définition du composé, donc l'essentiel est de prouver que la loi * est associative. Comme nous l'avons fait pour démontrer l'associativité de la loi de composition dans F(X) (groupe libre construit sur l'ensemble X), nous allons utiliser le procédé de van der Waerden. L'imitation est si étroite que le lecteur pourrait normalement trouver la démonstration lui-même.
Pour tout élément de de la forme ((i, g)) (avec et ), notons l'application

de dans lui-même. (Les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal.)
Donc, pour tout élément de ,

.

Prouvons que pour tout élément de et tout élément de , les applications et sont réciproques l'une de l'autre.
Soit un élément de .
Si tout d'abord ou ( et ), alors

,

d'où, en passant aux images par ,

(1)

(Rappel : étant une application partant d'une partie P d'un produit cartésien et étant un élément de P, l'image de par est généralement notée , alors qu'en toute rigueur il faudrait On s'est conformé à cet usage dans l'écriture du membre droit de (1).)
Par définition de , le membres droit de (1) égale

,

donc nous avons prouvé que

(2) si ou et ), alors

Si maintenant et , nous avons à distinguer entre les cas et dans .
Supposons d'abord Alors, par définition de ,

,

d'où, en passant aux images par ,

(3)

Puisque nous supposons et que (par définition d'un élément de ), , d'où , le membre droit de (3) égale

,

donc nous avons prouvé que

(4) si , et , alors

Si enfin (dans le cas ), nous avons , alors

d'où, en passant aux valeurs par ,

(5)

Puisque nous supposons et que (par définition d'un mot réduit) , le membre droit de (5) égale , donc (5) peut s'écrire

Puisque nous supposons , cela revient à

,

autrement dit

Joint à (2) et à (4), cela prouve que cette relation est vraie dans tous les cas, donc

est la transformation identique de .

En remplaçant dans ce résultat par , nous trouvons que

est elle aussi la transformation identique de .

Donc

(6) et sont deux permutations réciproques de ,

comme annoncé.

Montrons maintenant que si est un élément de et deux éléments de non inverses l'un de l'autre, alors

(thèse 7)

Soit un élément de ; il s'agit de prouver que

,

autrement dit

(thèse 8)

Supposons d'abord que

(hyp. 9) ne commence pas par un couple appartenant à

Cela revient à supposer ou et .
Alors

,

donc le membre gauche de la thèse (8) égale

Puisque nous supposons que et ne sont pas inverses dans , cela revient à dire que le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part, d'après l'hypothèse (9) sur , le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi

Nous avons donc prouvé que

(10) la thèse (8) est vraie dans l'hypothèse (9) sur .

Supposons maitenant que l'hypothèse (9) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que

(hyp. 11) et

Si tout d'abord

(hyp. 12) dans ,

nous avons

d'où

(13)

Si tout d'abord

(hyp. 14) dans,

il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part,puisque nous supposons (hyp. 14) que dans , le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi

Donc

(15) la thèse (8) est vraie si les hypothèses (11), (12) et (14) sont satisfaites.

Toujours dans les hypothèses (11) et (12), supposons maintenant que l'hypothèse (14) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que

dans

Alors il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part,puisque nous supposons que dans , le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi

Joint à (15), cela montre que

(16)la thèse (8) est vraie dans les hypothèses (11) et (12), quelle que soit la valeur de

(La suite pour bientôt.)


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Théorie des ensembles, 1970, p. II.30, donne une définition légèrement différente, mais N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, 1970, p. I.80, donne la définition qu'on adopte ici.