Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes

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Produit libre d'une famille de groupes
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Chapitre no 47
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes libres : théorème de Howson

Exercices :

Produit libre d'une famille de groupes
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Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes
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Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).


Construction du produit libre[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné une famille d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans et x dans Xi[1].
Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par l'ensemble .
Soit une famille de groupes. On notera 1i le neutre de Gi. On désignera par l'ensemble somme de la famille .
Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :

Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur[2] du mot .
Si désigne, comme convenu, l'ensemble somme de la famille , les éléments de Mo() sont donc les multiplets de la forme

,

n parcourt les nombres naturels (), où parcourent et où, pour tout j dans {1, ... , n}, .
(On notera que, par définition de , un élément apparaissant dans un couple est distinct de )



Exemples

1) Le multiplet vide est réduit.
2) Si i est un élément de et g un élément de , le 1-uplet ((i, g)) est un élément réduit de Mo(). Le 1-uplet n'est pas un élément réduit de Mo(), ce n'est même pas un élément de Mo().
3) Soient deux différents éléments de , soient et . Alors est un élément réduit de Mo(), mais n'en est pas un.


Nous allons maintenant munir d'une loi de groupe *.

Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture , avec dans et dans , désignera toujours le produit de et dans . De même, dans l'écriture , désignera toujours l'inverse de dans . (Cela doit être précisé, puisque les groupes ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)

Soient et deux éléments de , autrement dit deux éléments réduits de Mo().
Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo(), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas et
Si on est dans le cas et , il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :

- si , calculé dans le groupe , n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples et , en les remplaçant par le couple ; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot
,
qui peut encore s'écrire
;
- si maintenant , calculé dans le groupe , est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples et .

Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)

.

Voici une description plus maniable des opérations.
Si est un élément de Mo(), si s est un nombre naturel tel que , définissons le segment initial de longueur s de comme étant et définissons le segment final de longueur s de comme étant .
(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)
Si maintenant est un élément réduit de Mo(), autrement dit un élément de , définissons l'inverse de comme étant Il est clair que l'inverse de est lui aussi un élément réduit de Mo() et que l'inverse de cet inverse est . (Nous verrons que et sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans .)
Soient maintenant et deux éléments réduits de Mo().
Désignons par t le plus grand nombre naturel min{m, n} tel que le segment final de longueur t de et le segment initial de longueur t de soient inverses l'un de l'autre.
Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit) de Mo() pour lequel

et

Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel min{m, n} tel que

...

Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si et sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé

comme égalant

si on n'est pas dans le cas ( et );
,
qu'on peut aussi écrire
,
si on est dans le cas ( et ).

Il est clair que, dans les deux cas, le composé

est un élément réduit de Mo(). (Dans le second cas, où , le fait que le composé appartient à Mo() résulte du fait que, par maximalité de t, )
Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble des éléments réduits de Mo(). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments et de , il s'agira de
Par exemple, si , si est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de ), si est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors

et

sont des éléments réduits de Mo() et leur composé réduit

est

Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Ce qui concerne le neutre et l'inverse résulte clairement de la définition du composé, donc l'essentiel est de prouver que la loi * est associative. Comme nous l'avons fait pour démontrer l'associativité de la loi de composition dans F(X) (groupe libre construit sur l'ensemble X), nous allons utiliser le procédé de van der Waerden. L'imitation est si étroite que le lecteur pourrait normalement trouver la démonstration lui-même.
Pour tout élément de de la forme ((i, g)) (avec et ), notons l'application

de dans lui-même. (Les barres verticales n'ont rien à voir avec le cardinal.)
Donc, pour tout élément de ,

.

Prouvons que pour tout élément de et tout élément de , les applications et sont réciproques l'une de l'autre.
Soit un élément de .
Si tout d'abord ou ( et ), alors

,

d'où, en passant aux images par ,

(1)

(Rappel : étant une application partant d'une partie P d'un produit cartésien et étant un élément de P, l'image de par est généralement notée , alors qu'en toute rigueur il faudrait On s'est conformé à cet usage dans l'écriture du membre droit de (1).)
Par définition de , le membres droit de (1) égale

,

donc nous avons prouvé que

(2) si ou et ), alors

Si maintenant et , nous avons à distinguer entre les cas et dans .
Supposons d'abord Alors, par définition de ,

,

d'où, en passant aux images par ,

(3)

Puisque nous supposons et que (par définition d'un élément de ), , d'où , le membre droit de (3) égale

,

donc nous avons prouvé que

(4) si , et , alors

Si enfin (dans le cas ), nous avons , alors

d'où, en passant aux valeurs par ,

(5)

Puisque nous supposons et que (par définition d'un mot réduit) , le membre droit de (5) égale , donc (5) peut s'écrire

Puisque nous supposons , cela revient à

,

autrement dit

Joint à (2) et à (4), cela prouve que cette relation est vraie dans tous les cas, donc

est la transformation identique de .

En remplaçant dans ce résultat par , nous trouvons que

est elle aussi la transformation identique de .

Donc

(6) et sont deux permutations réciproques de ,

comme annoncé.

Montrons maintenant que si est un élément de et deux éléments de non inverses l'un de l'autre, alors

(thèse 7)

Soit un élément de ; il s'agit de prouver que

,

autrement dit

(thèse 8)

Supposons d'abord que

(hyp. 9) ne commence pas par un couple appartenant à

Cela revient à supposer ou et .
Alors

,

donc le membre gauche de la thèse (8) égale

Puisque nous supposons que et ne sont pas inverses dans , cela revient à dire que le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part, d'après l'hypothèse (9) sur , le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi

Nous avons donc prouvé que

(10) la thèse (8) est vraie dans l'hypothèse (9) sur .

Supposons maitenant que l'hypothèse (9) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que

(hyp. 11) et

Si tout d'abord

(hyp. 12) dans ,

nous avons

d'où

(13)

Si tout d'abord

(hyp. 14) dans,

il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part, puisque nous supposons (hyp. 14) que dans , le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi

Donc

(15) la thèse (8) est vraie si les hypothèses (11), (12) et (14) sont satisfaites.

Toujours dans les hypothèses (11) et (12), supposons maintenant que l'hypothèse (14) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire que

dans

Alors il résulte de (13) que le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part, puisque nous supposons que dans , le membre droitde la thèse (8) égale lui aussi

Joint à (15), cela montre que

(16)la thèse (8) est vraie dans les hypothèses (11) et (12), quelle que soit la valeur de

Toujours dan l'hypothèse (11), où et , cessons de faire l'hypothèse (12) et supposons, au contraire, que

dans

Alors

donc le membre gauche de la thèse (8) égale

D'autre part, puisque nous supposons dans et que , nous avons dans , donc le membre droit de la thèse (8) égale lui aussi

Joint aux résultats (10) et (16), cela montre que la thèse (8) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela revient à la thèse (7), à savoir que

(17) pour tout élément de et tous éléments de non inverses l'un de l'autre,

Notons S le groupe symétrique (groupe des permutations) de l'ensemble
D'après (6), les applications , avec dans et dans , sont des permutations de et donc des éléments de S.
Notons E le sous-groupe de S engendré par ces permutations. D'après la « description constructive du sous-groupe engendré » (chapitre Groupes, premières notions), tout élément de E peut s'écrire

(18),

avec , pour tout et
Nous avons vu en (6) que , donc, pour chaque , la permutation apparaissant dans (18) est de la forme avec
Donc, d'après (18), tout élément de E peut s'écrire

avec et pour tout .
Considérons une telle écriture de est le plus petit possible. Alors on n'a jamais , car dans le cas contraire, les résultats (6) et (17) montrent que

, autrement dit ,

pourrait être soit supprimé si on avait dans , soit remplacé par dans le cas contraire, ce qui fournirait une écriture de serait devenu plus petit, contrairement au choix de .
Nous avons donc prouvé que tout élément du sous-groupe E de S peut s'écrire

avec pour tout et pour tout tel que
Donc

(19) l'application
est surjective.

Prouvons maintenant que

(thèse 20) est injective.

Soit l'application de E dans (où 1 désigne le neutre de ).
Nous allons prouver que est la transformation identique de , ce qui prouvera la thèse (20).
Soit un élément de
Par définition de ,

est la valeur en de la permutation
Autrement dit, pour tout élément de ,

(21)

Explicitons le membre droit en prouvant par récurrence sur que

(thèse 22)

C'est vrai pour (les deux membres sont alors égaux à ). Si , alors, par hypothèse de récurrence sur ,

En passant aux valeurs par , on obtient

Si le mot n'est pas vide (auquel cas nous pouvons parler de ), nous avons (par définition d'un élément réduit de Mo()), donc, vu la définition de , notre résultat peut s'écrire (que le mot soit vide ou non)

,

ce qui prouve la thèse (22) par récurrence sur .
La relation (21) peut donc s'écrire

Cela montre que, comme annoncé, est la transformation identique de . Comme noté, cela prouve la thèse (20), à savoir que est injective. Joint à (19), cela prouve que

(23) l'application
est une bijection de sur E.

Prouvons que, d'autre part,

(thèse 24) est un homomorphisme de magmas de dans le groupe de permutations E.

Soient deux éléments de ; il s'agit de prouver que

(thèse 25)

Soit le plus grand nombre naturel () possédant la propriété suivante :

il existe et tels que soit de la forme
(26)
et de la forme
(27)

(Puisque est réduit, il n'y a pas deux indices successifs égaux dans la suite , et même chose pour .)
Par définition de , nous avons donc

(28)

et

D'après (6), cette dernière relation peut encore s'écrire

En composant cela membre à membre avec (28), nous obtenons

(29)

Supposons d'abord

(hyp. 30)

Alors, par définition du composé (réduit) de deux éléments de , les relations (26) et (27) donnent

,

d'où, par définition de

et la comparaison avec (29) montre que

,

ce qui prouve la thèse (25) dans l'hypoyhèse (30), où
Cessons maintenant de faire l'hypothèse (30) et supposons au contraire que
Alors, par maximalité de , et ne sont pas inverses dans , donc les écritures (26) et (27) de et donnent

,

d'où

(31)

D'autre part, puisque nous supposons et que, comme nous l'avons noté, et ne sont pas inverses dans , il résulte de (17) que

,

donc (29) peut s'écrire

et la comparaison avec (31) donne de nouveau

,

donc la thèse (25) est vraie dans tous les cas. Comme noté, cela prouve la thèse (24), à savoir que est un homomorphisme de magmas de dans le groupe de permutations E.
D'après (23), cet homomorphisme est un isomorphisme, donc le magma est un groupe, ce qui prouve l'énoncé.

Si est la partie de , on écrit souvent au lieu de . En particulier, si G et H sont deux groupes, désigne le produit libre de la famille , avec et
Il y a une certaine ambigüité dans ces notations, car par exemple n'est généralement pas identique à , mais nous verrons dans les exercices que ces deux groupes sont isomorphes.

Remarques.
1° Soit une famille de groupes deux à deux disjoints. (On pourrait même se contenter de supposer que les sont deux à deux disjoints.) Alors, pour un élément de , il n'existe qu'un élément de tel que appartienne à . On peut donc parler des multiplets , où parcourt , où parcourent et où il n'y a pas de tel que l'unique comprenant soit le même que celui qui comprend En imitant notre définition du produit libre, on peut munir l'ensemble des multiplets en question d'une structure de groupe et le groupe P ainsi obtenu est isomorphe à par

Pour construire le produit libre d'une famille de groupes, certains auteurs[3] se ramènent au cas où les sont deux à deux disjoints et définissent alors leur produit libre comme le groupe que nous avons noté P; ils ajoutent qu'on passe au cas général en choisissant des copies mutuellement disjointes des . On a préféré une méthode qui ne demande pas de faire des choix arbitraires et qui s'applique directement au cas où les ne sont pas forcément disjoints deux à deux. (En fait, si on munit de la structure de groupe transportée de par la bijection , le produit libre des selon notre définition est le produit libre des groupes deux à deux disjoints selon la définition des auteurs en question.)
2° Le produit libre d'une famille de groupes, tel que nous l'avons défini, ne dépend pas des neutres des . Dans le même ordre d'idées, si est une famille de groupes, si J est une partie de I telle que, pour tout dans , le groupe soit trivial, alors est égal à
3° On vérifie facilement que si est une famille de groupes et une partie de , alors est un sous-groupe de .
4° Soient et deux familles de groupes telles que, pour tout dans , soit un sous-groupe de On vérifie facilement que est un sous-groupe de .

Propriété universelle du produit libre[modifier | modifier le wikicode]

Avant d'énoncer la propriété universelle du produit libre, donnons un théorème préparatoire.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. On va donner la démonstration, bien que tout soit assez banal.
Soient x, y des éléments de ; prouvons que

(thèse 1),

désigne la loi du groupe .
Si et sont tous deux distincts de , la thèse (1) peut s'écrire

Si dans , les deux membres sont égaux à Dans le cas contraire, les deux membres sont égaux à ((i, xy)). La thèse (1) est donc vraie si et sont tous deux distincts de .
Si , les deux membres de la thèse (1) sont égaux à ; si , les deux membres de la thèse (1) sont égaux à .
La thèse (1) est donc vraie dans tous les cas, donc chaque est un homomorphisme de dans P.
Il résulte clairement de la définition de que son noyau est réduit à , donc l'homomorphisme est injectif, donc est isomorphe à .
Tout élément de P est de la forme , où, pour tout dans , appartient à et où la suite ne comprend pas deux valeurs successives égales. Alors

,

donc les éléments de la forme , où parcourt et où parcourt , engendrent P. Puisqu'un tel appartient à , les sous-groupes de P engendrent P.
Si et sont des éléments de , tout élément de est de la forme et tout élément de est de la forme ; donc, si et sont distincts, et sont disjoints, autrement dit et se coupent trivialement, ce qui achève de démontrer l'énoncé.

Remarque. Au lieu de , on emploie souvent la notation pour désigner un élément de , tout en supposant que appartiennent à la réunion des . Cela revient à identifier, pour chaque dans , le sous-groupe de au groupe . Si on ne suppose pas que les se coupent trivialement deux à deux, cette notation rend (théoriquement) ambiguë la loi de composition du groupe dans le cas où une réduction est nécessaire. Dans le présent cours, on s'en tiendra à la notation , mais le lecteur doit savoir que la notation est courante et que l'éviter risque d'être considéré par certains comme une mauvaise pratique.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Considérons l'application

et prouvons que est un homomorphisme.
Il s'agit de prouver que

si et sont des éléments de P, alors, désignant la loi de groupe de P,
(thèse 1)

Soit le plus grand nombre naturel tel qu'il existe un s-uplet pour lequel

(2)

et

(3)

Par définition de ,

(4) si ;
(5) si

Si tout d'abord , la relation (4), qui s'applique dans ce cas, donne, par pasage aux valeurs par ,

(6)

Si maintenant , la relation (5), qui s'applique dans ce cas, donne

(7)

Puisque est un homomorphisme, on peut remplacer dans le membre droit de (7) par , qui peut encore s'écrire (puisque (7) est sous l'hypothèse ) . La relation (7) devient ainsi identique à la relation (6), donc la relation (6) est vraie aussi bien dans le cas que dans le cas
Pour prouver la thèse (1), il suffit donc de prouver que, dans G,

D'après (2) et (3), cela peut s'écrire

,

ce qui est bien vrai. Nous avons donc prouvé que notre application est un homomorphisme de P dans G et il résulte clairement de la définition de que, pour tout dans , , ce qui prouve l'existence d'un homomorphisme tel que dans l'énoncé.
Si est un « autre » homomorphisme de P dans G satisfaisant à la condition sur , c'est-à-dire si

pour tout dans , ,

alors et coïncident en tout élément de ; nous avons vu au théorème précédent que les engendrent P, donc et sont égaux, ce qui prouve l'unicité de l'homomorphisme tel que dans l'énoncé.


Remarque. Le lecteur qui connaît les éléments de la théorie des catégories notera que la propriété universelle qu'on vient de démontrer revient à dire que le produit libre et la famille constituent dans la catégorie des groupes un coproduit (appelé aussi somme) de la famille
Dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, nous avons prouvé que si est une famille de groupes abéliens, la somme directe et la famille des inclusions canoniques correspondantes constituent un coproduit (ou somme) de la famille dans la catégorie des groupes abéliens. Si est une famille de groupes abéliens, le produit libre de cette famille est un groupe généralement non abélien et n'est donc généralement pas un coproduit des dans la catégorie des groupes abéliens.

La propriété universelle du produit libre admet une sorte de réciproque :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Appliquons les hypothèses au groupe et aux homomorphismes , où est la i-ième inclusion canonique définie au théorème 2. Nous trouvons qu'il existe un (et un seul) homomorphisme de P dans tel que, pour tout dans ,

(1)

Nous allons prouver que est un isomorphisme de P sur .
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un (et un seul) homomorphisme de dans P tel que, pour tout dans ,

(2)

En portant (1) dans (2), nous trouvons que, pour tout dans ,

(3)

D'autre part, en portant (2) dans (1), nous trouvons que, pour tout dans ,

(4)

Appliquons maintenant les hypothèses de l'énoncé au groupe G = P et aux homomorphismes de dans P. Nous trouvons qu'il existe un et un seul homomorphisme de P dans lui-même tel que, pour tout dans ,

Puisque l'homomorphisme identique de P dans lui-même satisfait à cette condition sur , il est donc le seul à y satisfaire, donc le résultat (3) donne

(5)

En utilisant l'assertion d'unicité de la propriété universelle comme on vient d'utiliser celle des hypothèses de l'énoncé, on déduira de (4) que

Joint à (5), cela prouve que est un isomorphisme de P sur , ce qui prouve l'énoncé.

Remarque. On a rédigé la démonstration de sorte qu'elle ne repose pas sur la construction du produit libre mais uniquement sur sa propriété universelle. Cette démonstration se généralise immédiatement au coproduit dans n'importe quelle catégorie.

Les groupes libres comme produits libres[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons voir dans cette section que le groupe libre F(X) construit sur l'ensemble X pourrait être défini comme un cas particulier de produit libre. On désignera par le groupe additif .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Pour tout élément de , posons , de sorte que , et notons la x-ième inclusion canonique de dans (L'homomorphisme a été défini au théorème 2. On se rappellera que le neutre de est 0 et non 1.)
Pour tout élément de , désignons par l'homomorphisme de dans F(X) qui applique sur (calculé dans le groupe F(X)).
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un (et un seul) homomorphisme de tel que, pour tout élément de ,

Alors applique sur , autrement dit

(1) applique l'élément de sur ce même élément de F(X).

(Il se fait qu'avec nos définitions, la base canonique de F(X) est une partie commune de F(X) et de .)
D'autre part, puisque est une base du groupe libre F(X), il existe un (et un seul) homomorphisme de F(X) dans qui, pour tout élément de X, applique l'élément de F(X) sur ce même élément de .
Compte tenu de (1), il en résulte d'une part que, pour tout élément de X,

(2) applique l'élément de F(X) sur lui-même

et, d'autre part, que

(3) applique l'élément de sur lui-même.

D'après (2) et (par exemple) le fait que est une partie génératrice de F(X),

(4) est l'automorphisme identique de F(X).

D'autre part, d'après (3) et (par exemple) l'assertion d'unicité de la propriété universelle du produit libre (ou encore le fait que les éléments de de la forme engendrent ),

est l'automorphisme identique de .

Joint à (4), cela prouve que est un isomorphisme de sur F(X), ce qui démontre l'énoncé.

Remarques. 1° Vu la relation (1) de la démonstration et le fait que est un homomorphisme (ou encore vu la caractérisation qui accompagne la propriété universelle du produit libre), applique l'élément

de

sur l'élément

de F(X) (où est mis pour ).
Puisque est un isomorphisme, cela prouve en particulier que l'application

de l'ensemble dans l'ensemble F(X) est une bijection, ce qu'on avait annoncé dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments, section « Seconde forme des éléments de F(X) ».
2° Puisque le produit libre est canoniquement isomorphe au groupe libre F(X), il rend les mêmes services que F(X), ce qui explique que certains auteurs[4] définissent F(X) comme égal à . Il faut cependant noter que la longueur d'un élément de F(X), telle qu'on l'a définie au chapitre Groupes libres, premiers éléments, n'est généralement pas égale à la longueur, définie dans le présent chapitre, de l'élément de correspondant à .

Produit libre interne[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. Pour tout dans , désignons par l'homomorphisme de dans G.
D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un et un seul homomorphisme de dans G tel que, pour tout dans ,

,

où l'homomorphisme est la j-ième inclusion canonique (définie au théorème 2).
L'homomorphisme applique l'élément de sur l'élément de G.


Donc si G est un groupe et une famille de sous-groupes de G, dire que G est le produit libre interne de la famille revient à dire que pour tout élément de G, il existe un et un seul élément de tel que

Pour distinguer entre le produit libre interne et le produit libre au premier sens de l'expression, on désigne parfois comme le produit libre externe des
D'autre part, on commet parfois l'abus d'écrire pour dire que G est le produit libre interne des

Voici une caractérisation du produit libre interne qui ne fait pas intervenir le produit libre externe.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Voir les exercices.

On vérifie facilement (par exemple à l'aide du théorème 6) que si est une famille de groupes, si pour tout dans , désigne la j-ième inclusion canonique, alors le produit libre externe est le produit libre interne de la famille

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Théorie des ensembles, 1970, p. II.30, donne une définition légèrement différente, mais N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, 1970, p. I.80, donne la définition qu'on adopte ici.
  2. Voir par exemple D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 170.
  3. Par exemple D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 168.
  4. Par exemple N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, 1970, p. I.84.