Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes

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Produit libre d'une famille de groupes
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Chapitre no 48
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes libres : théorème de Howson
Chap. suiv. :Sous-groupe de Frattini

Exercices :

Produit libre d'une famille de groupes
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Théorie des groupes/Produit libre d'une famille de groupes
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Dans ce chapitre, on va définir le produit libre d'une famille de groupes et montrer qu'il possède une propriété universelle analogue à celle de la somme directe d'une famille de groupes abéliens. Le produit libre ne jouera qu'un rôle modeste dans le futur chapitre sur les présentations de groupes, de sorte que le lecteur intéressé par les présentations et non par le produit libre pourra passer immédiatement au chapitre sur les présentations (non encore écrit dans l'état actuel du cours).

Wikipédia possède un article à propos de « Produit libre ».

Construction du produit libre[modifier | modifier le wikicode]

Étant donné une famille d'ensembles, nous définirons l'ensemble somme de cette famille, ou encore la réunion disjointe de cette famille, comme l'ensemble des couples (i, x), avec i dans et x dans Xi[1].

Pour tout ensemble X, notons Mo(X) l'ensemble des multiplets d'éléments de X. On sait que Mo(X) est un monoïde (le « monoïde libre construit sur X ») pour la loi de composition par « concaténation » :

Nous avons déjà rencontré ce monoïde dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments. Les éléments de Mo(X) sont souvent appelés les mots dans X. Le nombre naturel m est appelé la longueur[2] du mot .

Pour un groupe G de neutre 1, on désignera par l'ensemble .

Soit une famille de groupes. On notera 1i le neutre de Gi. On désignera par l'ensemble somme de la famille .

Les éléments de Mo() sont donc les multiplets de la forme

,

n parcourt les nombres naturels (), où parcourent et où, pour tout j dans {1, ... , n}, .


Exemples

1) Le multiplet vide est réduit.
2) Tout 1-uplet de Mo() est réduit.
3) Soient deux différents éléments de , soient et . Alors est un élément réduit de Mo(), mais n'en est pas un.


Nous allons maintenant munir d'une loi de groupe *.

Convenons d'abord, pour alléger les notations, que dans l'écriture , avec dans et dans , désignera toujours le produit de et dans . De même, dans l'écriture , désignera toujours l'inverse de dans . (Cela doit être précisé, puisque les groupes ne sont pas supposés disjoints deux à deux.)

Soient et deux éléments de , autrement dit deux éléments réduits de Mo().

Le « concaténé » de ces deux éléments, autrement dit leur produit dans le monoïde Mo(), est réduit si et seulement on n'est pas dans le cas et

Si on est dans le cas et , il est assez naturel d'opérer une réduction du concaténé en procédant comme suit :

- si , calculé dans le groupe , n'est pas égal au neutre de ce groupe, on fusionne le m-ième et le (m+1)-ième couple du concaténé, à savoir les couples et , en les remplaçant par le couple  ; autrement dit, on remplace le concaténé par le mot
,
qui peut encore s'écrire
 ;
- si maintenant , calculé dans le groupe , est égal au neutre de ce groupe, on supprime du concaténé le m-ième et le (m+1)-ième couple, à savoir les couples et .

Dans le second cas, il se peut que le résultat ne soit pas encore un mot réduit. On recommence alors l'opération de réduction jusqu'à ce qu'on tombe sur un mot réduit, ce qui doit arriver, puisqu'il est impossible de construire une suite infinie de mots de longueur strictement décroissante. Le mot réduit ainsi obtenu définit le composé (ou composé réduit)

.

Voici une description plus maniable des opérations.

Si est un élément de Mo(), si s est un nombre naturel tel que , définissons le segment initial de longueur s de comme étant et définissons le segment final de longueur s de comme étant .

(Si s = 0, le segment initial de longueur s et le segment final de longueur s sont égaux au mot vide.)

Si maintenant est un élément réduit de Mo(), autrement dit un élément de , définissons l'inverse de comme étant Il est clair que l'inverse de est lui aussi un élément réduit de Mo() et que l'inverse de cet inverse est . (Nous verrons que et sont inverse l'un de l'autre selon la loi de groupe que nous allons définir dans .)

Soient maintenant et deux éléments réduits de Mo().

Désignons par t le plus grand nombre naturel min{m, n} tel que le segment final de longueur t de et le segment initial de longueur t de soient inverses l'un de l'autre.

Autrement dit, t est le plus grand nombre naturel min{m, n} tel qu'il existe un élément (réduit) de Mo() pour lequel

et

Cela revient encore à dire que t est le plus grand nombre naturel min{m, n} tel que

...

Le nombre t étant ainsi défini (il existe et, si et sont distincts, il est égal à 0), on définit le composé

comme égalant

si on n'est pas dans le cas ( et ) ;
,
qu'on peut aussi écrire
,
si on est dans le cas ( et ).

Il est clair que, dans les deux cas, le composé

est un élément réduit de Mo(). (Dans le second cas, où , le fait que le composé appartient à Mo() résulte du fait que, par maximalité de t, )

Nous avons donc défini une loi de composition interne * dans l'ensemble des éléments réduits de Mo(). Quand nous parlerons du composé (ou composé réduit) de deux éléments et de , il s'agira de

Par exemple, si , si est le groupe multiplicatif des puissances de 3 (sous-groupe <3> de ), si est le groupe multiplicatif des puissances de 5, alors

et

sont des éléments réduits de Mo() et leur composé réduit

est

Le fait que les indices 1 et 2 alternent n'est évidemment pas fortuit.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Si est la partie de , on écrit souvent au lieu de . En particulier, si G et H sont deux groupes, désigne le produit libre de la famille , avec et

Il y a une certaine ambigüité dans ces notations, car par exemple n'est généralement pas identique à , mais nous verrons dans les exercices que ces deux groupes sont isomorphes.

Remarques.

1° Soit une famille de groupes deux à deux disjoints. (On pourrait même se contenter de supposer que les sont deux à deux disjoints.) Alors, pour un élément de , il n'existe qu'un élément de tel que appartienne à . On peut donc parler des multiplets , où parcourt , où parcourent et où il n'y a pas de tel que l'unique comprenant soit le même que celui qui comprend En imitant notre définition du produit libre, on peut munir l'ensemble des multiplets en question d'une structure de groupe et le groupe P ainsi obtenu est isomorphe à par

Pour construire le produit libre d'une famille de groupes, certains auteurs[3] se ramènent au cas où les sont deux à deux disjoints et définissent alors leur produit libre comme le groupe que nous avons noté P ; ils ajoutent qu'on passe au cas général en choisissant des copies mutuellement disjointes des . On a préféré une méthode qui ne demande pas de faire des choix arbitraires et qui s'applique directement au cas où les ne sont pas forcément disjoints deux à deux. (En fait, si l'on munit de la structure de groupe transportée de par la bijection , le produit libre des selon notre définition est le produit libre des groupes deux à deux disjoints selon la définition des auteurs en question.)

2° Le produit libre d'une famille de groupes, tel que nous l'avons défini, ne dépend pas des neutres des . Dans le même ordre d'idées, si est une famille de groupes, si J est une partie de I telle que, pour tout dans , le groupe soit trivial, alors est égal à

3° On vérifie facilement que si est une famille de groupes et une partie de , alors est un sous-groupe de .

4° Soient et deux familles de groupes telles que, pour tout dans , soit un sous-groupe de On vérifie facilement que est un sous-groupe de .

Propriété universelle du produit libre[modifier | modifier le wikicode]

Avant d'énoncer la propriété universelle du produit libre, donnons un théorème préparatoire.

Début d’un théorème
Fin du théorème

On va donner la démonstration, bien que tout soit assez banal.

Remarque. Au lieu de , on emploie souvent la notation pour désigner un élément de , tout en supposant que appartiennent à la réunion des . Cela revient à identifier, pour chaque dans , le sous-groupe de au groupe . Si on ne suppose pas que les se coupent trivialement deux à deux, cette notation rend (théoriquement) ambiguë la loi de composition du groupe dans le cas où une réduction est nécessaire. Dans le présent cours, on s'en tiendra à la notation , mais le lecteur doit savoir que la notation est courante et que l'éviter risque d'être considéré par certains comme une mauvaise pratique.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. Le lecteur qui connaît les éléments de la théorie des catégories notera que la propriété universelle qu'on vient de démontrer revient à dire que le produit libre et la famille constituent dans la catégorie des groupes un coproduit (appelé aussi somme) de la famille

Dans le chapitre Produit direct et somme restreinte, nous avons prouvé que si est une famille de groupes abéliens, la somme directe et la famille des inclusions canoniques correspondantes constituent un coproduit (ou somme) de la famille dans la catégorie des groupes abéliens. Si est une famille de groupes abéliens, le produit libre de cette famille est un groupe généralement non abélien et n'est donc généralement pas un coproduit des dans la catégorie des groupes abéliens.

La propriété universelle du produit libre admet une sorte de réciproque :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. On a rédigé la démonstration de sorte qu'elle ne repose pas sur la construction du produit libre mais uniquement sur sa propriété universelle. Cette démonstration se généralise immédiatement au coproduit dans n'importe quelle catégorie.

Les groupes libres comme produits libres[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons voir dans cette section que le groupe libre F(X) construit sur l'ensemble X pourrait être défini comme un cas particulier de produit libre. On désignera par le groupe additif .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarques. 1° L'isomorphisme fourni par ce corollaire applique l'élément de sur ce même élément de F(X), donc l'application

de l'ensemble dans l'ensemble F(X) est une bijection, ce qu'on avait annoncé dans le chapitre Groupes libres, premiers éléments, section « Seconde forme des éléments de F(X) ».

2° Puisque le produit libre est canoniquement isomorphe au groupe libre F(X), il rend les mêmes services que F(X), ce qui explique que certains auteurs[4] définissent F(X) comme égal à . Il faut cependant noter que la longueur d'un élément de F(X), telle qu'on l'a définie au chapitre Groupes libres, premiers éléments, n'est généralement pas égale à la longueur, définie dans le présent chapitre, de l'élément de correspondant à .

Produit libre interne[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. Pour tout dans , désignons par l'homomorphisme de dans G. D'après la propriété universelle du produit libre, il existe un et un seul homomorphisme de dans G tel que, pour tout dans ,

,

où l'homomorphisme est la j-ième inclusion canonique (définie au théorème 2).

L'homomorphisme applique l'élément de sur l'élément de G.


Donc si G est un groupe et une famille de sous-groupes de G, dire que G est le produit libre interne de la famille revient à dire que pour tout élément de G, il existe un et un seul élément de tel que

Pour distinguer entre le produit libre interne et le produit libre au premier sens de l'expression, on désigne parfois comme le produit libre externe des

D'autre part, on commet parfois l'abus d'écrire pour dire que G est le produit libre interne des

Voici une caractérisation du produit libre interne qui ne fait pas intervenir le produit libre externe.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Voir les exercices.

On vérifie facilement (par exemple à l'aide du théorème 6) que si est une famille de groupes, si pour tout dans , désigne la j-ième inclusion canonique, alors le produit libre externe est le produit libre interne de la famille

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Théorie des ensembles, 1970, p. II.30, donne une définition légèrement différente, mais N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, 1970, p. I.80 , donne la définition qu'on adopte ici.
  2. Voir par exemple (en) D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 1996, 2e éd. .
  3. Par exemple Robinson 1996, p. 168.
  4. Par exemple Bourbaki, Algèbre, 1970, p. I.84.