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Théorie des groupes/Exercices/Produit libre d'une famille de groupes

Leçons de niveau 14
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Produit libre d'une famille de groupes
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Exercices no48
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Produit libre d'une famille de groupes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Groupes libres : théorème de Howson
Exo suiv. :Sommaire
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Théorie des groupes/Exercices/Produit libre d'une famille de groupes
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Démontrer le théorème suivant, énoncé dans le chapitre théorique :
Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit le produit libre interne de la famille , il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :

1° les se coupent trivialement deux à deux;
2° pour tout élément de G, il existe un et un seul multiplet d'éléments de tel que
a) pour tout dans , et n'appartiennent pas à un même ;
b)

Remarque. La condition 1° de l'énoncé n'est pas forcément entraînée par la condition 2°. Par exemple, considérer un groupe non trivial G et un sous-groupe H non trivial de G (on ne suppose pas H distinct de G) et poser et La condition 2° de l'énoncé est satisfaite, car si est un multiplet d'éléments de tel que la condition a) de l'énoncé soit satisfaite, doit être égal à 0 ou à 1. Les détails sont laissés au lecteur.

a) Soient et deux familles de groupes; on suppose qu'il existe une bijection de I sur J telle que, pour tout dans , (On pourrait dire que les familles et sont « égales à l'indexation près ».) Prouver que les groupes et sont isomorphes.
(Indication : on peut utiliser la propriété universelle du produit libre.)

b) Soient et deux groupes; prouver que et sont isomorphes.

Soient et deux familles de groupes telles que, pour tout dans , et soient isomorphes. Prouver que et sont isomorphes.
(Indication : on peut appliquer la propriété universelle du produit libre.)

On a noté dans le chapitre théorique que si J est une partie d'un ensemble I, si est une famille de groupes, alors est un sous-groupe de Le prouver à l'aide de la propriété universelle du produit libre (ce qui permet d'éviter de raisonner sur les réductions qui interviennent dans la définition de la loi de groupe du produit libre).

Remarque. L'énoncé de ce problème ne s'étend pas à toute catégorie où les coproduits existent, car la notion de sous-groupe ne s'étend pas de la catégorie des groupes à toute catégorie. D'ailleurs, dans le cadre général des catégories, le coproduit d'une famille d'objets n'est défini qu'à isomorphisme près.

Soient des groupes. Prouver que (c'est-à-dire ) est isomorphe à (c'est-à-dire à , où et où

b) Soient des groupes. Prouver que , et sont isomorphes.

Remarque. On pourrait démontrer une formule plus générale d'« associativité », à savoir que si est une famille de groupes, si est une famille de parties deux à deux disjointes de dont la réunion est égale à , alors est isomorphe à , où désigne Cela s'étend de la catégorie des groupes à toute catégorie où les coproduits existent. Dans le cas particulier de la catégorie des groupes, on peut même prouver que est le produit libre interne des .

Soit une famille de groupes. Le but de cet exercice est de déterminer les éléments d'ordre fini du produit libre
a) Convenons de dire qu'un élément de est de forme conjuguée si

et dans

Puisque tout élément de est réduit, on doit alors avoir Il est clair que si est de forme conjuguée, il est conjugué à dans , d'où notre expression « de forme conjuguée ».
Prouver que tout élément de est conjugué dans à un élément qui n'est pas de forme conjuguée.

b) Soit un élément d'ordre fini de , distinct du neutre de Prouver que est conjugué dans à un élément de longueur . (Cela revient à dire qu'il existe un élément de tel que soit conjugué dans à un élément de , où désigne la -ième inclusion canonique de dans )

c) On suppose que chaque est sans torsion. (Rappel : un groupe est dit sans torsion si son seul élément d'ordre fini est son élément neutre.) Prouver que est sans torsion.

Remarque. Le groupe additif est sans torsion. (En effet, si est un nombre naturel non nul et un élément non nul de , est un élément non nul de .) Il résulte donc du point c) que le produit libre d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif est sans torsion. Puisque (chapitre théorique) tout groupe libre est isomorphe à un tel produit libre, tout groupe libre est donc sans torsion. On retrouve ainsi un résultat démontré dans les exercices du chapitre Groupes libres, premiers éléments.

Soit une famille de groupes. Le but de cet exercice est de déterminer le centre de Pour tout élément de , on désignera par la -ième inclusion canonique de dans

a) Soit un élément de , soit un élément de Prouver que le centralisateur de , autrement dit de , dans est , où désigne le centralisateur de dans

b) On suppose qu'on peut trouver dans deux indices distincts et tels que et soient tous deux non triviaux. Prouver que le centre de est trivial.

Remarque. Puisqu'un groupe libre de base est isomorphe au produit libre de la famille , où chaque est isomorphe à et donc non trivial, il résulte du point b) que tout groupe libre de rang est de centre trivial. On retrouve ainsi un résultat démontré dans les exercices du chapitre Groupes libres, premiers éléments.

Soient A et B deux groupes, X le sous-ensemble de constitué des commutateurs , pour et , et R le sous-groupe de engendré par X.

(Remarque : si A et B sont abéliens, R n'est autre que le sous-groupe dérivé de .)

  1. Montrer que R est le noyau de l'épimorphisme canonique de sur le produit direct .
  2. Montrer que pour tout entier , tous et tous tels qu'on n'ait jamais simultanément , et , l'élément (une fois réduit) est de longueur et qu'il se termine par si , et par si .
  3. En déduire X est une base de R.
    Remarque : cela précise et généralise le fait (vu dans la question g de Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier#Problème 2) que le dérivé du groupe libre est de rang infini.
  4. En déduire que si A et B sont finis alors le groupe est virtuellement libre, c'est-à-dire qu'il possède un sous-groupe libre d'indice fini.

Références :

Problème 9 : lemme du ping-pong

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Wikipédia possède un article à propos de « Lemme du ping-pong ».

Soient H1, H2, … , Hk des sous-groupes non triviaux d'un groupe G, avec k ≥ 2 et H1 d'ordre > 2.

On suppose que G agit sur un ensemble X contenant des sous-ensembles non vides disjoints X1, X2, … , Xk tels que :

pour tous ij et tout hHi\{1}, h(Xj) ⊂ Xi.

Le but de l'exercice est d'en déduire que le sous-groupe engendré par les Hi est leur produit libre interne.

Il s'agit donc de montrer que pour tout mot réduit de longueur , le produit est différent du neutre.

  1. Par hypothèse, pour j de 1 à m, . On suppose dans cette question que . Montrer qu'alors, et conclure.
  2. Si ou est différent de 1, se ramener au cas précédent par conjugaison.

Démontrer que le sous-groupe de SO(3, ℝ) engendré par les deux matrices de rotation

et

est isomorphe à .

Indication : appliquer le lemme du ping-pong à

et
.

Soit le groupe libre sur deux générateurs et . On construit un graphe (appelé graphe de Cayley) de la façon suivante. On décrète que deux sommets sont reliés par une arête (un segment isométrique à l'intervalle ) si .

  1. Montrer que est naturellement muni d'une distance telle que la distance entre deux sommets soit toujours un entier.
  2. Montrer que est un arbre (c'est-à-dire un graphe sans cycle).
  3. Montrer qu'en posant , on définit une action par isométries de sur .
  4. Si , montrer que l'isométrie induite par sur est sans point fixe, et identifier l'ensemble des points tels que soit minimale.
  5. Si , construire un élément non trivial tel que .
  6. Si sont deux éléments non triviaux tels que , montrer que est libre (indication : ping-pong).
  7. Pour tout entier , montrer que contient des groupes libres de rang (indication : s'inspirer de la question précédente).

Remarque sur la dernière question : une autre façon de plonger dans (pour ) est de choisir dans un sous-groupe d'indice et d'appliquer la formule qui relie son indice à son rang.