Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Produit libre d'une famille de groupes

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Produit libre d'une famille de groupes
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Exercices no47
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Produit libre d'une famille de groupes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Groupes libres : théorème de Howson
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Théorie des groupes/Exercices/Produit libre d'une famille de groupes
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer le théorème suivant, énoncé dans le chapitre théorique :
Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. Pour que G soit le produit libre interne de la famille , il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites :

1° les se coupent trivialement deux à deux;
2° pour tout élément de G, il existe un et un seul multiplet d'éléments de tel que
a) pour tout dans , et n'appartiennent pas à un même ;
b)

Remarque. La condition 1° de l'énoncé n'est pas forcément entraînée par la condition 2°. Par exemple, considérer un groupe non trivial G et un sous-groupe H non trivial de G (on ne suppose pas H distinct de G) et poser et La condition 2° de l'énoncé est satisfaite, car si est un multiplet d'éléments de tel que la condition a) de l'énoncé soit satisfaite, doit être égal à 0 ou à 1. Les détails sont laissés au lecteur.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient et deux familles de groupes; on suppose qu'il existe une bijection de I sur J telle que, pour tout dans , (On pourrait dire que les familles et sont « égales à l'indexation près ».) Prouver que les groupes et sont isomorphes.
(Indication : on peut utiliser la propriété universelle du produit libre.)

b) Soient et deux groupes; prouver que et sont isomorphes.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux familles de groupes telles que, pour tout dans , et soient isomorphes. Prouver que et sont isomorphes.
(Indication : on peut appliquer la propriété universelle du produit libre.)

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

On a noté dans le chapitre théorique que si J est une partie d'un ensemble I, si est une famille de groupes, alors est un sous-groupe de Le prouver à l'aide de la propriété universelle du produit libre (ce qui permet d'éviter de raisonner sur les réductions qui interviennent dans la définition de la loi de groupe du produit libre).

Remarque. L'énoncé de ce problème ne s'étend pas à toute catégorie où les coproduits existent, car la notion de sous-groupe ne s'étend pas de la catégorie des groupes à toute catégorie. D'ailleurs, dans le cadre général des catégories, le coproduit d'une famille d'objets n'est défini qu'à isomorphisme près.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient des groupes. Prouver que (c'est-à-dire ) est isomorphe à (c'est-à-dire à , où et où

b) Soient des groupes. Prouver que , et sont isomorphes.

Remarque. On pourrait démontrer une formule plus générale d'« associativité », à savoir que si est une famille de groupes, si est une famille de parties deux à deux disjointes de dont la réunion est égale à , alors est isomorphe à , où désigne Cela s'étend de la catégorie des groupes à toute catégorie où les coproduits existent. Dans le cas particulier de la catégorie des groupes, on peut même prouver que est le produit libre interne des .

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit une famille de groupes. Le but de cet exercice est de déterminer les éléments d'ordre fini du produit libre
a) Convenons de dire qu'un élément de est de forme conjuguée si

et dans

Puisque tout élément de est réduit, on doit alors avoir Il est clair que si est de forme conjuguée, il est conjugué à dans , d'où notre expression « de forme conjuguée ».
Prouver que tout élément de est conjugué dans à un élément qui n'est pas de forme conjuguée.

b) Soit un élément d'ordre fini de , distinct du neutre de Prouver que est conjugué dans à un élément de longueur . (Cela revient à dire qu'il existe un élément de tel que soit conjugué dans à un élément de , où désigne la -ième inclusion canonique de dans )

c) On suppose que chaque est sans torsion. (Rappel : un groupe est dit sans torsion si son seul élément d'ordre fini est son élément neutre.) Prouver que est sans torsion.

Remarque. Le groupe additif est sans torsion. (En effet, si est un nombre naturel non nul et un élément non nul de , est un élément non nul de .) Il résulte donc du point c) que le produit libre d'une famille de groupes isomorphes au groupe additif est sans torsion. Puisque (chapitre théorique) tout groupe libre est isomorphe à un tel produit libre, tout groupe libre est donc sans torsion. On retrouve ainsi un résultat démontré dans les exercices du chapitre Groupes libres, premiers éléments.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit une famille de groupes. Le but de cet exercice est de déterminer le centre de Pour tout élément de , on désignera par la -ième inclusion canonique de dans

a) Soit un élément de , soit un élément de Prouver que le centralisateur de , autrement dit de , dans est , où désigne le centralisateur de dans

b) On suppose qu'on peut trouver dans deux indices distincts et tels que et soient tous deux non triviaux. Prouver que le centre de est trivial.

Remarque. Puisqu'un groupe libre de base est isomorphe au produit libre de la famille , où chaque