Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments

Problème 1 (très facile)

Soient G un groupe, X une base de G, x et y deux différents éléments de X. Prouver que x et y ne commutent pas.

Solution

Il revient au même de prouver que si a et b sont deux éléments de X qui commutent, alors a = b.

De ab = ba résulte que ((a, 1), (b, 1)) et ((b, 1), (a, 1)) sont des mots signés sur X qui ont la même valeur dans G. D'après l'énoncé 7 du chapitre théorique, ces deux mots signés sont donc égaux, donc a = b.

 

Remarque. L'énoncé de ce problème montre que tout groupe libre de rang Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \geq 2} est non abélien. On a noté dans le chapitre théorique que les groupes libres de rang 0 sont les groupes triviaux et que les groupes libres de rang 1 sont les groupes isomorphes à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\mathbb Z,+)} , donc si un groupe abélien n'est ni trivial ni isomorphe à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\mathbb Z,+)} , ce n'est pas un groupe libre. (Attention : comme signalé dans le chapitre théorique, l'expression « groupe abélien libre » ne signifie pas « groupe libre abélien ».) Le problème 1 fournit donc des exemples de groupes n'admettant pas de bases.

Problème 2 (Centre d'un groupe libre)

a) Soit G un groupe libre de rang Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \geq 2} . Prouver que le centre de G est trivial (c'est-à-dire réduit à l'élément neutre).

Solution

On se ramène facilement à prouver que si X est un ensemble de cardinal Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \geq 2} , aucun élément de F(X) (groupe libre construit sur X) autre que l'élément neutre n'est central dans F(X).
Soit

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}))}

un élément de F(X), avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n \geq 1} . Il s'agit de prouver que w n'est pas central dans F(X).

Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \vert X \vert } est supposé Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \geq 2} , nous pouvons choisir dans X un élément y distinct de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{1}} . Alors, le point désignant la loi de groupe dans F(X),

(1) Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \qquad ((y, \epsilon _{n})) \cdot w = ((y, \epsilon _{n}), (x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}))}

et

(2) Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \qquad w \cdot ((y, \epsilon _{n})) = ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}), (y, \epsilon _{n})).}

La première lettre signée du membre droit de (1) est Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((y, \epsilon _{n}))} et celle du membre droit de (2) est Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon _{1}))} . Puisque y a été choisi distinct de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{1}} , le membre droit de (1) et celui de (2) n'ont donc pas la même première lettre signée et sont donc distincts. Il en est donc de même des membres gauches, ce qui montre que w ne commute pas avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((y, \epsilon _{n}))} et n'est donc pas central dans F(X), ce qu'il fallait démontrer.

 

b) Soient X un ensemble, y un élément de X et w un élément de F(X) commutant avec ((y, 1)) dans le groupe F(X). Prouver que w est une puissance (d'exposant entier rationnel) de ((y, 1)) dans le groupe F(X).

Solution

Si w est le mot signé vide, w est la puissance d'exposant 0 de ((y, 1)), donc l'énoncé est vrai dans ce cas. Supposons maintenant w de longueur n > 0. Alors

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}))}

et, puisque n > 0, nous pouvons parler de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{1}} et de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{n}} . Puisque w est supposé commuter avec ((y, 1)), nous avons, le point désignant la loi de groupe de F(X),

(3) Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \qquad ((y, 1)) \cdot ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n})) = ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n})) \cdot ((y, 1)).}

Si (y, 1) est distinct de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{1}, \epsilon _{1}^{-1}),} le membre gauche de (3) est égal à

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((y, 1), (x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}))}

et est donc de longueur n + 1; le membre droit de (3) est donc lui aussi de longueur n + 1, donc (y, 1) est distinct de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{n}, \epsilon _{n}^{-1}),} donc (3) peut s'écrire

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \qquad ( (y, 1), (x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n})) = ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}), (y, 1)) .}

En égalant successivement les premières composantes des deux membres, puis leurs secondes composantes etc., nous trouvons que w est la n-ième puissance de ((y, 1)) dans F(X).

Si maintenant (y, 1) est égal à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{1}, \epsilon _{1}^{-1}),} le membre gauche de (3) est égal à

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ( (x_{2}, \epsilon _{2}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n}))}

et est donc de longueur n-1; le membre droit de (3) est donc lui aussi de longueur n - 1, donc (y, 1) est égal à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{n}, \epsilon _{n}^{-1}),} donc (3) peut s'écrire

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \qquad ((x_{2}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n})) = ((x_{1}, \epsilon _{1}), \ldots , (x_{n-1}, \epsilon _{n-1})) .}

On en tire de proche en proche que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{2}, \epsilon _{2}), \ldots , (x_{n}, \epsilon _{n})} sont tous égaux à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{1}, \epsilon _{1}). } D'après notre hypothèse Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (y, 1) = (x_{1}, \epsilon _{1}^{-1}),} il en résulte que w est la (-n)-ième puissance de ((y, 1)) dans F(X).

 

Remarques.

• Plus généralement, si deux éléments v et w d'un groupe libre F commutent entre eux, ils sont puissances (à exposants entiers relatifs) d'un même élément de F. On le démontrera dans les exercices du chapitre sur le théorème de Nielsen-Schreier.
• La question a) peut se déduire de la b).

Problème 3 (très facile)

Soit X une partie libre d'un groupe G. (On ne suppose pas que le groupe G est libre.) Prouver que X ne comprend pas l'élément neutre de G.

Solution

Désignons par e l'élément neutre de G. Si e appartenait à X :

• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((e, 1))} serait un mot signé réduit non vide sur X dont la valeur dans G serait le neutre e de G, ce qui contredirait le fait que X est une partie libre de G ;
• ou encore : {e} serait une partie libre de G donc engendrerait un sous-groupe infini…

 

Problème 4 (Tout groupe libre est sans torsion)

Un groupe sans torsion est par définition un groupe dont le seul élément d'ordre fini est l'élément neutre. On va prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.
Soit X un ensemble, soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots (x_{n}, \epsilon_{n}))} un mot réduit sur X (avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n \geq 0} ).
On dit que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} est cycliquement réduit si n = 0 ou que les lettres signées Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}))} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{n}, \epsilon_{n}))} ne sont pas inverses l'une de l'autre. En d'autres termes, on dit que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} est cycliquement réduit si n = 0 ou (n > 0 et (Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{1} \not= x_{n}} ou Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \epsilon_{1} \not= - \epsilon_{n}} )).
Il est clair que si w n'est pas cycliquement réduit, long(w) > 1.
On vérifie facilement que w est cycliquement réduit si et seulement si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w^{2}) = 2\ \mathrm{long}(w) } (où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w^{2}} désigne le carré de w dans le groupe F(X) ).

a) Prouver que si w est un élément cycliquement réduit de X, alors, pour tout nombre naturel r,

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w^{r}) = r\ \mathrm{long}(w)}

(où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w^{r}} désigne la r-ième puissance de w dans le groupe F(X) ).

Solution

C'est banal si w est le mot vide, donc on peut supposer que w n'est pas le mot vide. Alors w est de la forme

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots (x_{n}, \epsilon_{n}))}

avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n \geq 1} , donc on peut parler de la première et de la dernière lettre signée de w.
La thèse Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w^{r}) = r\ \mathrm{long}(w)} est banale pour r = 0, donc il suffit de la démontrer pour Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle r \geq 1} , et il suffit pour cela de démontrer par récurrence sur r l'énoncé plus fort que voici : pour tout nombre naturel Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle r \geq 1} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w^{r}} est un mot réduit de longueur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle r\ \mathrm{long}(w)} qui commence par la lettre signée Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}))} et qui finit par la lettre signée Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{n}, \epsilon_{n})),} ce dont le lecteur se convaincra sans peine.

 

b) Prouver que tout élément de F(X) est conjugué dans le groupe F(X) à un élément cycliquement réduit.

Solution

Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots (x_{n}, \epsilon_{n}))} un mot signé sur X. Il s'agit de prouver que w est conjugué dans F(X) à un élément cycliquement réduit.
Considérons le plus grand nombre naturel Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle s \geq 0} tel que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 2 s \leq n} et que, pour tout i dans {1, ... , s},

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x_{i}, \epsilon_{i}) = (x_{n+1-i}, - \epsilon_{n+1-i}).}

(Donc, pour tout i dans {1, ... , s}, la i-ième lettre signée de w à compter par le début est l'inverse de la i-ième lettre signée de w à compter par la fin.)
Si nous désignons par v le mot réduit

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle v = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots (x_{s}, \epsilon_{s}))}

et par w' le mot réduit

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w' = ((x_{s+1}, \epsilon_{s+1}), \ldots (x_{n-s}, \epsilon_{n-s})),}

nous avons, dans le groupe F(X),

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = v w' v^{-1},}

donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} est conjugué à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'} dans F(X). Par maximalité de s, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'} est cycliquement réduit, donc nous avons prouvé, comme annoncé, que w est conjugué dans F(X) à un élément cycliquement réduit.

 

c) Prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.

Solution

Puisque tout groupe libre est isomorphe à un groupe F(X), il suffit de prouver que pour tout ensemble X, F(X) est un groupe sans torsion.
Soit w un mot réduit non vide sur X; il s'agit de prouver que w n'est pas d'ordre fini.
D'après le point b), Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} est conjugué à un élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'} cycliquement réduit. Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'} sont conjugués, ils ont le même ordre, donc il suffit de prouver que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'} n'est pas d'ordre fini.
Pour tout nombre naturel Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle r \geq 1,} nous avons, d'après le point a),

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w'\ ^{r}) = r\ \mathrm{long}(w')}

d'où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w'\ ^{r}) > 0,}
d'où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'\ ^{r} \not= 1,}
ce qui prouve que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w'} est d'ordre infini, comme annoncé.

 

Remarque. Des raisonnements semblables permettent de prouver l'énoncé suivant : si F est un groupe libre, si a et b sont des éléments de F, s'il existe un nombre naturel Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n \geq 1} tel que aⁿ = bⁿ, alors a = b. En faisant b = 1, on obtient l'énoncé c) comme cas particulier.

Problème 5 (Dérivé du groupe F(X))

Soient X un ensemble et F(X) le groupe libre construit sur X. Pour tout élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n})) = x_{1}^{ \epsilon_{1}} \cdots x_{n}^{ \epsilon_{n}}} de F(X) et pour tout élément x de X, posons

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) = \sum _{1 \leq i \leq n,\ x_{i} = x} \epsilon_{i}.}

(On pourrait appeler Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w)} l'exposant total de x dans w.)

Pour un élément donné w de F(X), les éléments x de X tels que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) \not= 0} sont en nombre fini; en effet, un tel élément x doit être égal à un des Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{i}} apparaissant dans l'écriture Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n}))} de w.

(En revanche, évidemment, un Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{i}} apparaissant dans l'écriture Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n}))} de w n'est pas forcément un x tel que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) \not= 0}  : prendre par exemple w = ((a, 1), (b, 1), (a, -1)), avec a et b distincts; alors Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{a}(w) = 0.} )

Désignons par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb{Z} le groupe additif de entiers rationnels et par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} la somme directe (ou encore somme restreinte) de la famille Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\mathbb{Z})_{x \in X}} , indexée par X, de groupes tous égaux à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb{Z} . Autrement dit, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} est l'ensemble des familles à support fini d'entiers rationnels indexées par X, cet ensemble étant muni de la loi de groupe « addition composante par composante ». (Le groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} est appelé le groupe abélien libre construit sur X, où le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre ».)

D'après ce qui précède, nous pouvons considérer l'application

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi : F(X) \to \mathbb{Z}^{(X)} : w \mapsto (n_{x}(w))_{x \in X}.}

a) Prouver que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi est un homomorphisme de groupes.

Solution

Il suffit de vérifier que chaque composante Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_x} de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi est un homomorphisme (de F(X) dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb Z} ). On fixe donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x\in X} et l'on considère l'application Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \delta_x:X\to\mathbb Z} (symbole de Kronecker) qui à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): x fait correspondre 1 et à tout autre élément de X fait correspondre 0.

Puisque les ((y, 1)), où y parcourt X, forment une base du groupe libre F(X), il existe un (et un seul) homomorphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi} de F(X) dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb Z} qui, pour tout y dans X, applique l'élément ((y, 1)) de F(X) sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \delta_x(y).}

Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi} est un homomorphisme, il applique un élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n})) = ((x_{1}, 1))^{ \epsilon_{1}} \cdots ((x_{n}, 1))^{ \epsilon_{n}}} de F(X) sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \epsilon_{1}\delta_x(x_{1}) + \cdots \epsilon_{n}\delta_x(x_{n})=\sum _{1 \leq i \leq n,\ x_{i} = x} \epsilon_{i}=n_{x}(w).}

Donc l'application Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_x} est égale à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi.} Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi} est un homomorphisme, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_x} est donc un homomorphisme, comme annoncé.

 

b) Prouver que le dérivé F'(X) du groupe F(X) est l'ensemble des éléments Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n})) } de F(X) tels que, pour tout x dans X,

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \sum _{1 \leq i \leq n,\ x_{i} = x} \epsilon_{i} = 0,}

autrement dit l'ensemble des éléments w de F(X) tels que, pour tout x dans X,

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) = 0.}

Solution

Désignons par H l'ensemble des éléments w de F(X) tels que, pour tout x dans X, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) = 0.} Il s'agit de prouver que H = F'(X).
H est le noyau de l'homomorphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi défini au point a), à savoir l'homomorphisme

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi : F(X) \mapsto \mathbb{Z}^{(X)} : w \mapsto (n_{x}(w))_{x \in X}.}

Donc H est un sous-groupe (normal) de F(X). Puisque le groupe d'arrivée de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi , à savoir le groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} , est abélien, le noyau H de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi contient le dérivé F'(X) de F(X).
Il reste à prouver que H est contenu dans F'(X).
Notons Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda} l'homomorphisme de F(X) sur F(X)/F'(X).
Pour tout élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n}))} de F(X), nous avons

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda (w) = \lambda (\overline{x_{1}})^{\epsilon_{1}} \cdots \lambda (\overline{x_{n}})^{\epsilon_{n}},}

où, pour y dans X, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \overline{y}} désigne la lettre signée Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((y, 1)).} Puisque le groupe F(X)/F'(X) est abélien, cela peut s'écrire

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda (w) = \prod _{x \in X} \ \prod _{1 \leq i \leq n ,\ x_{i} = x} \lambda (\overline {x})^{\epsilon_{i}}.}

Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) = \sum _{1 \leq i \leq n,\ x_{i} = x} \epsilon_{i},} le résultat peut s'écrire

(1) Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \qquad \lambda (w) = \prod _{x \in X} \lambda (\overline {x})^{n_{x}(w)}.}

Si w appartient à H, alors, par définition de H, le membre droit égale l'élément neutre du groupe F(X)/F'(X), donc (1) montre que si w appartient à H, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda (w)} est l'élément neutre de F(X)/F'(X). Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda } est l'homomorphisme canonique de F(X) sur F'(X), cela revient à dire que tout élément w de H appartient à F'(X), autrement dit H est contenu dans F'(X). Comme on l'a vu, cela achève de prouver l'énoncé.

 

c) Prouver que l'abélianisé F(X)/F'(X) de F(X) est isomorphe au groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}.}

Solution

On a vu dans la solution du point b) que F'(X) est le noyau de l'homomorphisme

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi : F(X) \mapsto \mathbb{Z}^{(X)} : w \mapsto (n_{x}(w))_{x \in X}.}

D'après le premier théorème d'isomorphisme, il suffit donc de prouver que l'homomorphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi est surjectif.

Pour tout élément x de X, notons Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \delta_x} , comme au point a), l'élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\delta_x(y))_{y \in X}} de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb Z^{(X)}.} On vérifie facilement que les Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \delta_x} , pour Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): x parcourant X, engendrent le groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}.} Donc, pour prouver que l'homomorphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi est surjectif, il suffit de prouver que pour tout élément x de X, il existe un élément w de F(X) tel que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi(w) =\delta_x.} Il suffit évidemment de prendre w égal à ((x, 1)).

 

d) Soient L un groupe libre et X une base de L. Prouver que l'abélianisé L/L' de L est isomorphe au groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}.}

Solution

D'après le chapitre théorique, L est isomorphe à F(X). Comme un isomorphisme d'un groupe G sur un groupe H applique le dérivé de G sur le dérivé de H, il en résulte que L/L' est isomorphe à F(X)/F'(X) et donc, d'après le point c), à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}.}

 

Problème 6 (facile)

a) Soient X un ensemble non vide et n un nombre naturel non nul. Notons H l'ensemble des éléments Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , ((x_{r}, \epsilon_{r}))} de F(X) tels que

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \epsilon_{1} + \cdots + \epsilon_{r} \equiv 0 \pmod{n}.}

Prouver que H est un sous-groupe normal d'indice n de F(X).

Solution

Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \tilde{X}} la base canonique de F(X). Désignons par f l'application constante de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \tilde{X}} dans le groupe (additif) Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}} qui envoie tout élément ((x, 1)) de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \tilde {X}} sur l'élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 1 + n \mathbb{Z}} de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}.}

Puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \tilde {X}} est une base de F(X), il existe un (et un seul) homomorphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi de F(X) dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}} qui prolonge f.

Si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda} désigne l'homomorphisme canonique de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb{Z} sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, \varphi} applique tout élément ((x, 1)) de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \tilde {X}} sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \lambda(1)} , donc, puisque Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi} est un homomorphisme, il applique tout élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , ((x_{r}, \epsilon_{r})) = (x_{1},1)^{\epsilon_{1}} \cdots (x_{r},1)^{\epsilon_{r}}} de F(X) sur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \epsilon_{1} \lambda(1) + \cdots + \epsilon_{r} \lambda(1) = \lambda (\epsilon_{1} + \cdots + \epsilon_{r}).}

Donc l'ensemble H est le noyau de l'homomorphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi et est donc un sous-groupe normal de F(X).

Puisque l'ensemble X est supposé non vide, f, d'après sa définition, prend la valeur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 1 + n \mathbb{Z}} , donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi , qui prolonge f, prend lui aussi la valeur Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 1 + n \mathbb{Z}.} Puisque l'élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 1 + n \mathbb{Z}} engendre le groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, \varphi} est donc surjectif, donc, d'après le premier théorème d'isomorphisme, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle F(X)/Ker(\varphi),} autrement dit F(X)/H, est isomorphe à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}.} En particulier, H est d'indice n dans F(X).

 

b) Soient L un groupe libre non trivial et n un nombre naturel non nul. Prouver que L contient au moins un sous-groupe normal d'indice n.

Solution

Choisissons une base X de L. Puisque L est non trivial, X n'est pas vide. Donc, d'après le point a), F(X) contient un sous-groupe normal d'indice n. Puisque, d'après le chapitre théorique, L est isomorphe à F(X), il en résulte que L contient au moins un sous-groupe normal d'indice n.

 

Problème 7

Soient L un groupe et X une partie de L. Montrer que X est une base de L si et seulement si toute application de X dans le groupe symétrique d'un ensemble A se prolonge de façon unique en une action de L sur A.

Solution

Cette solution est rédigée en termes d'actions à gauche, mais on pourrait en faire autant à droite : cf. (en) Benjamin Steinberg, « An elementary proof that subgroups of free groups are free », arXiv, 2010 [texte intégral].

Si X est une base de L alors toute application de X dans un groupe symétrique Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle S_A} se prolonge de façon unique en un morphisme de L dans ce groupe.

Réciproquement, supposons que (X, L) vérifie cette propriété, et considérons une application f de X dans un groupe G quelconque. Par composition avec le plongement canonique de G dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle S_G} (théorème de Cayley), on obtient une application F de X dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle S_G} . D'après l'hypothèse, F se prolonge de façon unique en un morphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi:L\to S_G} , et il s'agit juste de vérifier que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi est en fait à valeurs dans le sous-groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle G\subset S_G} (ce sera alors le seul prolongement de f en un morphisme de L dans G, par unicité de la composée d'un tel morphisme par l'inclusion de G dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle S_G} ).

Nous devons donc démontrer que pour tout Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w\in L} , la permutation Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi(w)\in S_G} est la translation par un élément de G (qui est alors nécessairement Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi(w)(1)} ), ou encore que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \forall w\in L\quad\forall g,h\in G\quad\varphi(w)(gh)=(\varphi(w)(g))h} . Pour cela, fixons h et posons Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi(w)(g)=(\varphi(w)(gh))h^{-1}} . On vérifie sans peine que ceci définit un morphisme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi:L\to S_G} qui prolonge F, donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \psi=\varphi} , cqfd.