Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments

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Groupes libres, premiers éléments
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Exercices no45
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes libres, premiers éléments

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Caractères irréductibles de quelques groupes
Exo suiv. :Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments
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Problème 1 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, X une base de G, x et y deux différents éléments de X. Prouver que x et y ne commutent pas.

Remarque. L'énoncé de ce problème montre que tout groupe libre de rang Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \geq 2} est non abélien. On a noté dans le chapitre théorique que les groupes libres de rang 0 sont les groupes triviaux et que les groupes libres de rang 1 sont les groupes isomorphes à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\mathbb Z,+)} , donc si un groupe abélien n'est ni trivial ni isomorphe à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\mathbb Z,+)} , ce n'est pas un groupe libre. (Attention : comme signalé dans le chapitre théorique, l'expression « groupe abélien libre » ne signifie pas « groupe libre abélien ».) Le problème 1 fournit donc des exemples de groupes n'admettant pas de bases.

Problème 2 (Centre d'un groupe libre)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe libre de rang Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \geq 2} . Prouver que le centre de G est trivial (c'est-à-dire réduit à l'élément neutre).

b) Soient X un ensemble, y un élément de X et w un élément de F(X) commutant avec ((y, 1)) dans le groupe F(X). Prouver que w est une puissance (d'exposant entier rationnel) de ((y, 1)) dans le groupe F(X).

Remarques.

  • Plus généralement, si deux éléments v et w d'un groupe libre F commutent entre eux, ils sont puissances (à exposants entiers relatifs) d'un même élément de F. On le démontrera dans les exercices du chapitre sur le théorème de Nielsen-Schreier.
  • La question a) peut se déduire de la b).

Problème 3 (très facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit X une partie libre d'un groupe G. (On ne suppose pas que le groupe G est libre.) Prouver que X ne comprend pas l'élément neutre de G.

Problème 4 (Tout groupe libre est sans torsion)[modifier | modifier le wikicode]

Un groupe sans torsion est par définition un groupe dont le seul élément d'ordre fini est l'élément neutre. On va prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.
Soit X un ensemble, soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots (x_{n}, \epsilon_{n}))} un mot réduit sur X (avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n \geq 0} ).
On dit[1] que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} est cycliquement réduit si n = 0 ou que les lettres signées Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}))} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{n}, \epsilon_{n}))} ne sont pas inverses l'une de l'autre. En d'autres termes, on dit que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w} est cycliquement réduit si n = 0 ou (n > 0 et (Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{1} \not= x_{n}} ou Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \epsilon_{1} \not= - \epsilon_{n}} )).
Il est clair que si w n'est pas cycliquement réduit, long(w) > 1.
On vérifie facilement que w est cycliquement réduit si et seulement si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w^{2}) = 2\ \mathrm{long}(w) } (où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w^{2}} désigne le carré de w dans le groupe F(X) ).

a) Prouver que si w est un élément cycliquement réduit de X, alors, pour tout nombre naturel r,

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathrm{long}(w^{r}) = r\ \mathrm{long}(w)}

(où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w^{r}} désigne la r-ième puissance de w dans le groupe F(X) ).

b) Prouver que tout élément de F(X) est conjugué dans le groupe F(X) à un élément cycliquement réduit.

c) Prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.

Remarque. Des raisonnements semblables permettent de prouver l'énoncé suivant : si F est un groupe libre, si a et b sont des éléments de F, s'il existe un nombre naturel Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n \geq 1} tel que an = bn, alors a = b. En faisant b = 1, on obtient l'énoncé c) comme cas particulier.

Problème 5 (Dérivé du groupe F(X))[modifier | modifier le wikicode]

Soient X un ensemble et F(X) le groupe libre construit sur X. Pour tout élément Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n})) = x_{1}^{ \epsilon_{1}} \cdots x_{n}^{ \epsilon_{n}}} de F(X) et pour tout élément x de X, posons

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) = \sum _{1 \leq i \leq n,\ x_{i} = x} \epsilon_{i}.}

(On pourrait appeler Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w)} l'exposant total de x dans w.)

Pour un élément donné w de F(X), les éléments x de X tels que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) \not= 0} sont en nombre fini; en effet, un tel élément x doit être égal à un des Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{i}} apparaissant dans l'écriture Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n}))} de w.

(En revanche, évidemment, un Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle x_{i}} apparaissant dans l'écriture Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n}))} de w n'est pas forcément un x tel que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) \not= 0}  : prendre par exemple w = ((a, 1), (b, 1), (a, -1)), avec a et b distincts; alors Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{a}(w) = 0.} )

Désignons par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb{Z} le groupe additif de entiers rationnels et par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} la somme directe (ou encore somme restreinte) de la famille Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (\mathbb{Z})_{x \in X}} , indexée par X, de groupes tous égaux à Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \mathbb{Z} . Autrement dit, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} est l'ensemble des familles à support fini d'entiers rationnels indexées par X, cet ensemble étant muni de la loi de groupe « addition composante par composante ». (Le groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}} est appelé le groupe abélien libre construit sur X, où le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre ».)

D'après ce qui précède, nous pouvons considérer l'application

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \varphi : F(X) \to \mathbb{Z}^{(X)} : w \mapsto (n_{x}(w))_{x \in X}.}

a) Prouver que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): \varphi est un homomorphisme de groupes.

b) Prouver que le dérivé F'(X) du groupe F(X) est l'ensemble des éléments Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle w = ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , (x_{n}, \epsilon_{n})) } de F(X) tels que, pour tout x dans X,

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \sum _{1 \leq i \leq n,\ x_{i} = x} \epsilon_{i} = 0,}

autrement dit l'ensemble des éléments w de F(X) tels que, pour tout x dans X,

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle n_{x}(w) = 0.}

c) Prouver que l'abélianisé F(X)/F'(X) de F(X) est isomorphe au groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}.}

d) Soient L un groupe libre et X une base de L. Prouver que l'abélianisé L/L' de L est isomorphe au groupe Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{Z}^{(X)}.}

Problème 6 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient X un ensemble non vide et n un nombre naturel non nul. Notons H l'ensemble des éléments Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle ((x_{1}, \epsilon_{1}), \ldots , ((x_{r}, \epsilon_{r}))} de F(X) tels que

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \epsilon_{1} + \cdots + \epsilon_{r} \equiv 0 \pmod{n}.}

Prouver que H est un sous-groupe normal d'indice n de F(X).

b) Soient L un groupe libre non trivial et n un nombre naturel non nul. Prouver que L contient au moins un sous-groupe normal d'indice n.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient L un groupe et X une partie de L. Montrer que X est une base de L si et seulement si toute application de X dans le groupe symétrique d'un ensemble A se prolonge de façon unique en une action de L sur A.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. A I.148, exerc. 26, a).