Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Howson

Problème 1

Dans un exercice de la série Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, on a vu que le dérivé d'un groupe libre de rang 2 est de rang infini. En déduire, à l'aide du théorème de Howson, que le dérivé d'un groupe libre de rang au moins égal à 2 est de rang infini.
(Indication. X étant un ensemble de cardinal $\geq 2$, choisir dans X une partie Y de cardinal 2 et appliquer le théorème de Howson à l'intersection

$F(Y)\cap F'(X),$

où $F'(X)$ désigne le dérivé de F(X).)

Solution

Soient X un ensemble et Y une partie de X.
On a vu dans un exercice de la série Groupes libres, premiers éléments qu'un élément

$((x_{1},\epsilon _{1}),\ldots ,(x_{n},\epsilon _{n}))$

de F(X) appartient au dérivé $F'(X)$ de F(X) si et seulement, pour tout élément x de X,

$\sum _{1\leq i\leq n,\ x_{i}=x}\epsilon _{i}=0.$

De même, un élément

$((y_{1},\lambda _{1}),\ldots ,(y_{r},\lambda _{r}))$

du sous-groupe F(Y) de F(X) appartient à $F'(Y)$ si et seulement si, pour tout élément y de Y,

$\sum _{1\leq j\leq n,\ y_{j}=y}\lambda _{j}=0.$

On en tire facilement que

(1) $F'(Y)=F(Y)\cap F'(X).$

Supposons maintenant $\vert X\vert \geq 2.$
Choisissons une partie Y de cardinal 2 de X.
D'après un exercice de la série Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier, $F'(Y)$ est de rang infini, ce qui, d'après (1), revient à dire que

(2) $F(Y)\cap F'(X)$ est de rang infini.

Puisque F(Y) est de rang 2 et donc de rang fini, il résulte de (2) et du théorème de Howson que $F'(X)$ est de rang infini. Puisque tout groupe libre de rang $\geq 2$ est isomorphe à un groupe F(X) avec $\vert X\vert \geq 2,$ l'énoncé en résulte.