Leçons de niveau 16

Théorie de la mesure/Introduction: Mesure sur un ensemble fini

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Introduction: Mesure sur un ensemble fini
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Chapitre no 1
Leçon : Théorie de la mesure
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Définition[modifier | modifier le wikicode]


Autrement dit, est une fonction définie de l’ensemble des parties de , vers . De plus la fonction possède la propriété dite d'additivité.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

La fonction vérifie également . Ces deux propriétés constituent la définition d'une mesure.


Quelques exemples[modifier | modifier le wikicode]

Outre l'exemple introductif, on définit la mesure de comptage sur par . Il s'agit en fait du cardinal de . On a bien évidemment pour deux sous-parties disjointes et , et . Avec les notations précédentes, la mesure de comptage est en fait , où est la fonction identiquement égale à 1.

La fonction identiquement nulle constitue un exemple trivial de mesure, qui correspond à , la fonction identiquement nulle sur .

Considérons désormais un contre-exemple. Posons , et on associe à la valeur . Alors on a , , mais, bien que ces deux parties soient disjointes,

Caractérisation[modifier | modifier le wikicode]

Tous les exemples de mesures présentées s'écrivent sous la forme pour une certaine fonction positive . On a en fait la réciproque:

Début d’un théorème
Fin du théorème


Posons . La fonction est bien définie sur et à valeur positive. De plus on a bien pour tout ensemble de , , puisque est l'union disjointe des singletons le composant.