Théorie de la mesure/Introduction: Mesure sur un ensemble fini

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Définition

Définition

Soit $X=\{x_1,\dots ,x_n\}$ un ensemble fini. Soit $\mu$ une fonction de $X$ dans ${ℝ}^{+}$. Étant donné $A\subset X$ un sous-ensemble de $X$, on appelle $\mu -$mesure de $A$ la quantité :

$m_{\mu }(A)=\sum _{x\in A}\mu (x)$.

Autrement dit, $m_{\mu }$ est une fonction définie de l’ensemble des parties de $X$, $𝒫(X)$ vers ${ℝ}^{+}$. De plus la fonction $m_{\mu }$ possède la propriété dite d'additivité.

Propriété d'additivité

Si $A$ et $B$ sont deux sous-ensembles disjoints de $X$, $m_{\mu }(A\cup B)=m_{\mu }(A)+m_{\mu }(B)$.

Début d'une démonstration

Démonstration

En effet, on a :

$m_{\mu }(A\cup B)=\sum _{x\in A\cup B}\mu (x)=\sum _{x\in A}\mu (x)+\sum _{x\in B}\mu (x)=m_{\mu }(A)+m_{\mu }(B)$.

Fin de la démonstration

La fonction $m_{\mu }$ vérifie également $m_{\mu }(\mathrm{\varnothing })=0$. Ces deux propriétés constituent la définition d'une mesure.

Définition

Soit $X$ un ensemble fini. On appelle mesure sur $X$ toute fonction

$\begin{array}{ccccc}m& :& 𝒫(X)& \to & {ℝ}^{+}\\ & & A& \mapsto & m(A)\end{array}$

telle que $m$ soit additive et vérifie $m(\mathrm{\varnothing })=0$.

Quelques exemples

Outre l'exemple introductif, on définit la mesure de comptage sur $X$ par $m(X)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(X)$. Il s'agit en fait du cardinal de $X$. On a bien évidemment $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)+\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)$ pour deux sous-parties disjointes $A$ et $B$, et $\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\mathrm{\varnothing })=0$. Avec les notations précédentes, la mesure de comptage est en fait $m=m_{\mathrm{𝟏}}$, où $\mathrm{𝟏}(x)=1$ est la fonction identiquement égale à 1.

La fonction identiquement nulle $m(A)=0$ constitue un exemple trivial de mesure, qui correspond à $m_{\mathrm{𝟎}}$, la fonction identiquement nulle sur $X$.

Considérons désormais un contre-exemple. Posons $X=\{1,\dots ,10\}$, et on associe à $A\subseteq X$ la valeur $m(A)=max(x:x\in A)$. Alors on a $m(\{2,3\})=3$, $m(\{1,4\})=4$, mais, bien que ces deux parties soient disjointes, $m(\{2,3\}\cup \{1,4\})=m(\{1,2,3,4\})=4\ne 3+4.$

Caractérisation

Tous les exemples de mesures présentées s'écrivent sous la forme $m=m_{\mu }$ pour une certaine fonction positive $\mu$. On a en fait la réciproque:

Début d’un théorème

Théorème

Soit $m$ une mesure sur $X$. Alors il existe une fonction positive $\mu$ sur $X$ telle que $m=m_{\mu }.$

Fin du théorème

Posons $\mu (x)=m(\{x\})$. La fonction $\mu$ est bien définie sur $X$ et à valeur positive. De plus on a bien pour tout ensemble $A$ de $X$, $m(A)=\sum _{x\in A}\mu (x)$, puisque $A$ est l'union disjointe des singletons le composant.