Leçons de niveau 16

Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus

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Algèbres et tribus
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Exercices no1
Leçon : Théorie de la mesure
Chapitre du cours : Tribus

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Mesures
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Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

À partir de , on définit la suite par récurrence : , unions finies d'éléments de .

  1. Montrer que .
  2. En déduire que l'algèbre sur engendrée par est égale à .

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer et dans chacun des cas suivants :

  1. () ;
  2. () ;
  3. () ;
  4. () ;
  5. , (), où sont deux ensembles arbitraires.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Décrire la tribu sur engendrée par les ensembles de la forme pour .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
  2. Soit l'ensemble des suites constituées de zéros et de uns. Pour fixé, soient , et . Montrer que est une tribu sur .
  3. Montrer que la suite est croissante.
  4. On veut montrer que la réunion des n'est pas une tribu. Soit . Montrer que appartient à la tribu engendrée par . Montrer que tout non vide appartenant à contient des suites n'appartenant pas à . En déduire que . Conclure.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Continuité presque partout mesurabilité :

Soient et deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées et , une mesure sur , la tribu complétée pour cette mesure et une application continue -presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble soit -négligeable.

Démontrer que est mesurable de dans .

Indication : pour tout ouvert de , construire un ouvert de tel que

et montrer qu'alors, .

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux espaces mesurables.

  1. Montrer que la tribu produit est la plus grande tribu sur telle que si et sont mesurables alors aussi.
  2. Montrer que est la plus petite tribu sur telle que les projections et soient mesurables.
  3. Montrer que la propriété précédente, pour une tribu sur , équivaut à : si est mesurable alors et aussi.
  4. Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de .