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À partir de , on définit la suite par récurrence : , unions finies d'éléments de .
Montrer que .
En déduire que l'algèbre sur engendrée par est égale à .
Solution
unions finies d'intersections finies d'éléments de est stable par complémentaires, car (en posant l'ensemble des familles telles que ) (et est fini si et les le sont), donc , à la fois stable par unions finies (comme ) et complémentaires (comme ), d'où .
Donc est une algèbre. Or toute algèbre contenant contient nécessairement , donc l'algèbre sur engendrée par est égale à .
Remarques.
Pour certains , il peut arriver que la suite des stationne avant . Par exemple si alors .
On aurait pu commencer la récurrence par les unions finies.
La construction analogue en remplaçant unions finies par unions dénombrables, n'est pas stationnaire en général, et la tribu engendrée risque même d'être plus grosse que la réunion croissante des . Cette non stationnarité s'explique par le fait que pour l'ensemble des familles telles que , si et les sont (au plus) dénombrables, ne l'est pas forcément. Exemple : , , .
Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
Soit l'ensemble des suites constituées de zéros et de uns. Pour fixé, soient , et . Montrer que est une tribu sur .
Montrer que la suite est croissante.
On veut montrer que la réunion des n'est pas une tribu. Soit . Montrer que appartient à la tribu engendrée par . Montrer que tout non vide appartenant à contient des suites n'appartenant pas à . En déduire que . Conclure.
Solution
Soient une suite croissante d'algèbres et sa réunion. est trivialement stable par complémentaires (peu importe ici que la suite soit croissante), mais aussi par réunion, car si et alors pour , donc aussi.
est la tribu induite par l'application et la tribu .
.
où , donc . pour certains avec . Si , alors par exemple , donc . Comme de plus , on en déduit , donc , donc n'est pas une tribu. Conclusion : dans la question 1, on ne peut pas remplacer algèbres par tribus.
Soient et deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées et , une mesure sur , la tribu complétée pour cette mesure et une application continue -presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble soit -négligeable.
Démontrer que est mesurable de dans .
Indication : pour tout ouvert de , construire un ouvert de tel que
et montrer qu'alors, .
Solution
La tribu étant engendrée par les ouverts de , il suffit de montrer que pour un tel ouvert , on a .
Soit .
Pour tout , est continue en et est un voisinage de , donc il existe un ouvert contenant tel que . Soit .
On a et (puisque pour chaque ) .
Posons (ainsi, ).
De on déduit ,
et de on déduit , d'où l'égalité : .
Or est ouvert (comme réunion d'ouverts) donc appartient à ,
Montrer que la tribu produit est la plus grande tribu sur telle que si et sont mesurables alors aussi.
Montrer que est la plus petite tribu sur telle que les projections et soient mesurables.
Montrer que la propriété précédente, pour une tribu sur , équivaut à : si est mesurable alors et aussi.
Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de .
Solution
Soient et mesurables alors l'est aussi lorsque est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus petite), car . Réciproquement, soit muni de la tribu , alors les projections et sont mesurables. Or est mesurable si et seulement si .
On a déjà dit que sont mesurables lorsque est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus grosse). Réciproquement, si sont mesurables lorsque est muni d'une tribu , alors doit contenir les pour et les pour , donc leurs intersections , donc la tribu produit.
par composition, car et . Réciproquement, en prenant muni de la tribu et .