Théorie de la mesure/Exercices/Algèbres et tribus

Exercice 1-1

À partir de ${ℰ}_0\mathcal{\subset }\Omega$, on définit la suite $({ℰ}_{𝓃}\mathcal{)}$ par récurrence : ${ℰ}_{2k+1}={ℰ}_{2k}\cup \{A^c\mid A\in {ℰ}_{2k}\}$, ${ℰ}_{2k+2}=\{$unions finies d'éléments de ${ℰ}_{2k+1}\}$.

1. Montrer que $\mathrm{\forall }n\ge 4{ℰ}_n={ℰ}_4$.
2. En déduire que l'algèbre sur $\mathrm{\Omega }$ engendrée par ${ℰ}_0$ est égale à ${ℰ}_4$.

Solution

1. ${ℰ}_4=\{$ unions finies d'intersections finies d'éléments de ${ℰ}_1\}$ est stable par complémentaires, car ${\cap }_{i\in I}({\cup }_{j\in J_i}{X}_{i,j})=$ (en posant $K=$ l'ensemble des familles $\bar{j}=(j_i{)}_{i\in I}$ telles que $\mathrm{\forall }i\in I,j_i\in J_i$) ${\cup }_{\bar{j}\in K}({\cap }_{i\in I}{X}_{i,j_i})$ (et $K$ est fini si $I$ et les $J_i$ le sont), donc ${ℰ}_5={ℰ}_4$, à la fois stable par unions finies (comme ${ℰ}_4$) et complémentaires (comme ${ℰ}_5$), d'où $\mathrm{\forall }n\ge 4{ℰ}_n={ℰ}_4$.
2. Donc $ℰ4$ est une algèbre. Or toute algèbre contenant ${ℰ}_0$ contient nécessairement ${ℰ}_4$, donc l'algèbre sur $\mathrm{\Omega }$ engendrée par ${ℰ}_0$ est égale à ${ℰ}_4$.

Remarques.

1. Pour certains ${ℰ}_0$, il peut arriver que la suite des ${ℰ}_n$ stationne avant $n=4$. Par exemple si ${ℰ}_0=\{\varnothing \}$ alors ${ℰ}_2={ℰ}_1$.
2. On aurait pu commencer la récurrence par les unions finies.
3. La construction analogue $ℰ{\text{'}}_n$ en remplaçant unions finies par unions dénombrables, n'est pas stationnaire en général, et la tribu engendrée risque même d'être plus grosse que la réunion croissante des $ℰ{\text{'}}_n$. Cette non stationnarité s'explique par le fait que pour $K=$ l'ensemble des familles $\bar{j}=(j_i{)}_{i\in I}$ telles que $\mathrm{\forall }i\in I,j_i\in J_i$, si $I$ et les $J_i$ sont (au plus) dénombrables, $K$ ne l'est pas forcément. Exemple : $I=\mathbb{N}$, $J_i=\{0,1\}$, $K=\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$.

 

Exercice 1-2

Déterminer $liminf{A}_n$ et $limsup{A}_n$ dans chacun des cas suivants :

1. $A_n=[(-1{)}^n,n]$ ($n\ge 1$) ;
2. $A_n=[1/n,1+1/n]$ ($n\ge 1$) ;
3. $A_n=[n,n+1]$ ($n\ge 0$) ;
4. $A_n=](-1{)}^n/n,1+(-1{)}^{n+1}/n[$ ($n\ge 1$) ;
5. $A_{2n}=G$, $A_{2n+1}=H$ ($n\ge 0$), où $G,H$ sont deux ensembles arbitraires.

Solution

1. $liminf{A}_n={\cup }_{n\ge 1}[1,n]=[1,+\mathrm{\infty }[$, $limsup{A}_n={\cap }_{n\ge 1}[-1,+\mathrm{\infty }[=[-1,+\mathrm{\infty }[$.
2. $liminf{A}_n={\cup }_{n\ge 1}[1/n,1]=]0,1]$, $limsup{A}_n={\cap }_{n\ge 1}]0,1+1/n]=]0,1]$.
3. $liminf{A}_n={\cup }_{n\ge 0}\varnothing =\varnothing$, $limsup{A}_n={\cap }_{n\ge 0}[n,+\mathrm{\infty }[=\varnothing$.
4. $liminf{A}_n={\cup }_{n\ge 1,n\text{ pair}}[1/n,1-1/n]=]0,1[$, $limsup{A}_n={\cap }_{n\ge 1,n\text{ impair}}[-1/n,1+1/n]=[0,1]$.
5. $liminf{A}_n=G\cap H$, $limsup{A}_n=G\cup H$.

 

Exercice 1-3

Décrire la tribu sur $ℝ$ engendrée par les ensembles de la forme $[-b,-a[\cup ]a,b]$ pour $0<a<b$.

Solution

C'est la tribu $\sigma (f^{-1}(𝒞\mathcal{)}\mathcal{)}$ pour $f=||:ℝ\to {ℝ}^{+}$, $𝒞\mathcal{=}$ l'ensemble des $]a,b]$ pour $0<a<b$.

D'après le lemme de transport, c'est donc la tribu $f^{-1}(𝒯\mathcal{)}$, où $𝒯\mathcal{=}\sigma \mathcal{(}𝒞\mathcal{)}\mathcal{=}{ℬ}_{{ℝ}^{\mathcal{+}}}$.

Cette tribu $f^{-1}(𝒯\mathcal{)}\mathcal{=}{𝒻}^{\mathcal{-}1}\mathcal{(}{ℬ}_{{ℝ}^{\mathcal{+}}}\mathcal{)}$ est l'ensemble des $f^{-1}(A)=-A\cup A$ pour $A$ borélien de ${ℝ}^{+}$, c'est-à-dire l'ensemble des boréliens symétriques de $ℝ$.

 

Exercice 1-4

1. Montrer que l'union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
2. Soit $\mathrm{\Omega }=\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ l'ensemble des suites $\omega =({\omega }_0,{\omega }_1,\dots )$ constituées de zéros et de uns. Pour $n\in \mathbb{N}$ fixé, soient ${\mathrm{\Omega }}_n=\{0,1{\}}^n$, ${\mathrm{\Pi }}_n:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Omega }}_n,\omega \mapsto ({\omega }_0,\dots ,{\omega }_{n-1})$ et ${ℱ}_n=\{{\mathrm{\Pi }}_n^{-1}(B)\mid B\in 𝒫({\mathrm{\Omega }}_n)\}$. Montrer que ${ℱ}_{𝓃}$ est une tribu sur $\mathrm{\Omega }$.
3. Montrer que la suite $({ℱ}_{𝓃}\mathcal{)}$ est croissante.
4. On veut montrer que la réunion $ℱ$ des ${ℱ}_{𝓃}$ n'est pas une tribu. Soit $A=\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\omega }_n=0\}$. Montrer que $A$ appartient à la tribu engendrée par $ℱ$. Montrer que tout $X$ non vide appartenant à $ℱ$ contient des suites n'appartenant pas à $A$. En déduire que $A\notin ℱ$. Conclure.

Solution

1. Soient $({𝒜}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante d'algèbres et $𝒜$ sa réunion. $𝒜$ est trivialement stable par complémentaires (peu importe ici que la suite soit croissante), mais aussi par réunion, car si $X\in A_p$ et $Y\in A_q$ alors $X,Y\in A_r$ pour $r=max(p,q)$, donc $X\cup Y$ aussi.
2. ${ℱ}_{𝓃}$ est la tribu induite par l'application ${\mathrm{\Pi }}_n$ et la tribu $𝒫\mathcal{(}{\Omega }_{𝓃}\mathcal{)}$.
3. ${\mathrm{\Pi }}_n^{-1}(B)={\mathrm{\Pi }}_{n+1}^{-1}(B\times \{0,1\})$.
4. $A=lim\; inf{B}_n$ où $B_n={\mathrm{\Pi }}_n^{-1}(\{0,1{\}}^{p-1}\times \{0\})\in {ℱ}_{𝓃}$, donc $A\in \sigma (ℱ\mathcal{)}$.
   $X={\mathrm{\Pi }}_n^{-1}(B)$ pour certains $n,B$ avec $B\ne \varnothing$. Si $(x_0,\dots ,x_{n-1})\in B$, alors par exemple $(x_0,\dots ,x_{n-1},1,1,1,\dots )\in X\setminus A$, donc $A\ne X$. Comme de plus $A\ne \varnothing$, on en déduit $A\notin ℱ$, donc $\sigma (ℱ\mathcal{)}\mathcal{\ne }ℱ$, donc $ℱ$ n'est pas une tribu. Conclusion : dans la question 1, on ne peut pas remplacer algèbres par tribus.

 

Exercice 1-5

Continuité presque partout $\Rightarrow$ mesurabilité :

Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boréliennes associées ${ℬ}_X$ et ${ℬ}_Y$, $\mu$ une mesure sur ${ℬ}_X$, ${\overline{ℬ}}_X$ la tribu complétée pour cette mesure et $f:X\to Y$ une application continue $\mu$-presque-partout, c'est-à-dire telle que l'ensemble $N=\{x\in X\mid f\text{ discontinue en }x\}$ soit $\mu$-négligeable.

Démontrer que $f$ est mesurable de $(X,{\overline{ℬ}}_X)$ dans $(Y,{ℬ}_Y)$.

Indication : pour tout ouvert $O$ de $Y$, construire un ouvert $V$ de $X$ tel que

$f^{-1}(O)\cap (X\setminus N)\subset V\subset f^{-1}(O)$ et montrer qu'alors, $f^{-1}(O)=V\cup (f^{-1}(O)\cap N)$.

Solution

La tribu ${ℬ}_Y$ étant engendrée par les ouverts de $Y$, il suffit de montrer que pour un tel ouvert $O$, on a $f^{-1}(O)\in {\overline{ℬ}}_X$.

Soit $Z=f^{-1}(O)\cap (X\setminus N)$. Pour tout $x\in Z$, $f$ est continue en $x$ et $O$ est un voisinage de $f(x)$, donc il existe un ouvert $V_x$ contenant $x$ tel que $V_x\subset f^{-1}(O)$. Soit $V={\cup }_{x\in Z}{V}_x$.

On a $V\subset f^{-1}(O)$ et (puisque $x\in V_x$ pour chaque $x\in Z$) $Z\subset V$.

Posons $Z^{\prime }=f^{-1}(O)\cap N$ (ainsi, $f^{-1}(O)=Z\cup Z^{\prime }$).

De $V\subset f^{-1}(O)$ on déduit $V\cup Z^{\prime }\subset f^{-1}(O)$,

et de $Z\subset V$ on déduit $f^{-1}(O)\subset V\cup Z^{\prime }$, d'où l'égalité : $f^{-1}(O)=V\cup Z^{\prime }$.

Or $V$ est ouvert (comme réunion d'ouverts) donc appartient à ${ℬ}_X$,

et $Z^{\prime }$ est $\mu$-négligeable (car inclus dans $N$).

Donc $f^{-1}(O)\in {\overline{ℬ}}_X$.

 

Exercice 1-6

Soient $(Y,{𝒯}_Y)$ et $(Z,{𝒯}_Z)$ deux espaces mesurables.

1. Montrer que la tribu produit ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$ est la plus grande tribu sur $Y\times Z$ telle que si $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ sont mesurables alors $(f,g):X\to Y\times Z$ aussi.
2. Montrer que ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$ est la plus petite tribu sur $Y\times Z$ telle que les projections $p:Y\times Z\to Y$ et $q:Y\times Z\to Z$ soient mesurables.
3. Montrer que la propriété précédente, pour une tribu $𝒯$ sur $Y\times Z$, équivaut à : si $(f,g):X\to (Y\times Z,𝒯)$ est mesurable alors $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ aussi.
4. Déduire de tout ce qui précède une caractérisation de ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$.

Solution

1. Soient $f:X\to Y$ et $g:X\to Z$ mesurables alors $(f,g):X\to Y\times Z$ l'est aussi lorsque $Y\times Z$ est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus petite), car $(f,g{)}^{-1}(A\times B)=f^{-1}(A)\cap g^{-1}(B)$. Réciproquement, soit $X=Y\times Z$ muni de la tribu ${𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$, alors les projections $p:X\to Y$ et $q:X\to Z$ sont mesurables. Or $(p,q)=id:X\to (Y\times Z,𝒯)$ est mesurable si et seulement si $𝒯\subset {𝒯}_Y\otimes {𝒯}_Z$.
2. On a déjà dit que $p,q$ sont mesurables lorsque $Y\times Z$ est muni de la tribu produit (ou a fortiori d'une tribu plus grosse).
   Réciproquement, si $p,q$ sont mesurables lorsque $Y\times Z$ est muni d'une tribu $𝒯$, alors $𝒯$ doit contenir les $p^{-1}(A)=A\times Z$ pour $A\in {𝒯}_Y$ et les $q^{-1}(B)=Y\times B$ pour $B\in {𝒯}_Z$, donc leurs intersections $A\times B$, donc la tribu produit.
3. $2\Rightarrow 3$ par composition, car $f=p\circ (f,g)$ et $g=q\circ (f,g)$. Réciproquement, $3\Rightarrow 2$ en prenant $X=Y\times Z$ muni de la tribu $𝒯$ et $(f,g)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$.
4. C'est l'unique tribu $𝒯$ sur $Y\times Z$ telle que $\mathrm{\forall }f:X\to Y\mathrm{\forall }g:X\to Z[f,g\text{ mesurables }\iff (f,g)\text{ mesurable}]$.