Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Loi de composition interne

Définition : loi de composition interne

Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est une application : $\star :X\times X\rightarrow X$. Au lieu d’utiliser une notation fonctionnelle $\star (x,y)$ on utilise une notation en loi : $x\star y$.

Définition : magma

Si $\star$ est une loi de composition interne sur un ensemble E, le couple (E, $\star$) est appelé un magma.

En toute rigueur, le magma (E, $\star$) est distinct de l’ensemble sous-jacent E, mais on commet souvent l'abus de langage de les identifier.

Définition : morphisme de magmas

Soient E et F deux magmas. Commettons l'abus de noter leurs lois de composition par le même symbole $\star$. Un homomorphisme, ou encore morphisme, du magma E dans le magma F est une application f de E dans F telle que pour tous éléments x, y de E, on ait

$\ f(x\star y)=f(x)\star f(y).$

Si le morphisme f est bijectif, on dit que c’est un isomorphisme. S'il existe un isomorphisme entre deux magmas, on dit que ces deux magmas sont isomorphes.

On verra plus loin des exemples de morphismes entre des magmas d'un type particulier, les monoïdes. En fait, la notion générale de magma servira très peu dans ce cours et uniquement dans la situation suivante : devant prouver qu'un ensemble G muni d'une loi de composition interne est un groupe (notion encore à définir), on prouvera que, comme magma, G est isomorphe à un groupe, ce qui entraîne que G est un groupe.

Définition : commutativité

Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est dite commutative si, pour tous éléments x, y de X, $x\star y=y\star x.$

Définition : associativité

Une loi de composition interne $\star$ sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments x, y et z de X, $\ (x\star y)\star z=x\star (y\star z).$

On voit que si une loi est associative, les parenthèses peuvent être omises sans ambiguïté : on écrit $x\star y\star z$ plutôt que $(x\star y)\star z$ ou $x\star (y\star z).$

Une loi associative est souvent notée multiplicativement, c'est-à-dire qu'on écrit $xy$ au lieu de $x\star y$. On peut aussi la noter additivement, c'est-à-dire écrire $x+y$ au lieu de $x\star y$, mais on préfère en général réserver la notation additive aux lois associatives et commutatives.

Définition : élément neutre

Soit $\star$ une loi de composition interne sur un ensemble X. On dit qu'un élément e de X est neutre pour cette loi si, pour tout élément x de X, $x\star e=e\star x=x$.

Un élément neutre pour une loi notée multiplicativement est généralement noté 1. Un élément neutre pour une loi notée additivement est généralement noté 0.

Une loi de composition interne admet au plus un élément neutre.

Définition : élément symétrique

Soit $\star$ une loi de composition interne sur un ensemble X, admettant un (unique) élément neutre e. On dit que deux éléments x et y de X sont symétriques l'un de l'autre si $x\star y=y\star x=e$. Pour une loi notée multiplicativement, on dit plutôt inverses — et l'on dit qu'un élément est inversible s'il possède un inverse — et pour une loi notée additivement, on dit plutôt opposés.

Définition : élément simplifiable

Soit $\star$ une loi de composition interne sur un ensemble E. On dit qu'un élément a de E est simplifiable à gauche (ou encore régulier à gauche) si, pour tous éléments x, y de E, la relation $a\star x=a\star y$ entraîne $x=y$. On dit que a est simplifiable à droite (ou encore régulier à droite) si, pour tous éléments x, y de E, la relation $x\star a=y\star a$ entraîne $x=y$. On dit que a est simplifiable (ou encore régulier) s'il est simplifiable à gauche et à droite.

Monoïdes

Définition : monoïde

Un monoïde est un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et admettant un élément neutre.

Dans la suite, E désigne un monoïde et sa loi de composition est notée sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons $xy$ pour désigner le composé noté plus haut $x\star y$. L'élément neutre est alors désigné par 1. Remarquons que E est non vide.

Début d’un théorème

Théorème

Dans un monoïde, tout élément admet au plus un symétrique.

Fin du théorème

Démonstration

Soient y et z deux symétriques de x (ou même seulement : y un symétrique à gauche et z un symétrique à droite), alors $z=1z=(yx)z=y(xz)=y1=y$.

 

On dit donc « le » symétrique de x. Il est clair que le symétrique du symétrique de x est x lui-même. En notation multiplicative : $(x^{-1})^{-1}=x.$

Début d’un théorème

Théorème

Dans un monoïde, tout élément inversible (c'est-à-dire admettant un symétrique) est simplifiable.

Fin du théorème

Démonstration

Montrons plus précisément tout élément $a$ inversible à gauche est simplifiable à gauche. Supposons donc que $ba=1$. Alors, pour tout élément $x$ de E, $b(ax)=(ba)x=1x=x$, donc si deux éléments $x$ et $y$ de E vérifient $ax=ay$ alors ils sont égaux (car $x=b(ax)=b(ay)=y$). De même, tout élément inversible à droite est simplifiable à droite.

 

Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde

Définissons récursivement le composé (« produit » dans notre notation) $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\ldots x_{n}$ d'un n-uplet $(x_{i})_{1\leq i\leq n}$ d'éléments de E pour tout entier naturel n ou plus généralement, le composé $\prod _{i\in I}x_{i}$ d'une séquence d'éléments de E, c'est-à-dire d'une famille $(x_{i})_{i\in I}$ indexée par un ensemble fini totalement ordonné :

• le produit indexé par l'ensemble vide est égal à 1 ;
• si $\beta$ est le plus grand élément de $I$, $\prod _{i\in I}x_{i}=\left(\prod _{i\in I\setminus \{\beta \}}x_{i}\right)x_{\beta }$.

Pour les n-uplets, cette condition s'écrit :

$\prod _{i=1}^{n+1}x_{i}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)x_{n+1}$

ou encore :

$x_{1}\ldots x_{n+1}=(x_{1}\ldots x_{n})x_{n+1}\quad (1)$.

La « généralisation » des n-uplets aux séquences n'est qu'un artifice de notation — si deux séquences $(x_{i})_{i\in I}$ et $(y_{j})_{j\in J}$ sont équivalentes (c'est-à-dire s'il existe un isomorphisme $\sigma$ d'ensembles ordonnés de $I$ sur $J$ tel que, pour tout $i\in I$, $y_{\sigma (i)}=x_{i}$) alors leurs composés sont égaux, or toute séquence est canoniquement équivalente à un n-uplet — mais elle aide à formuler le théorème d'associativité suivant :

Début d’un théorème

Théorème d'associativité

Soient E un monoïde, A et I deux ensembles finis totalement ordonnés, et $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ une famille de parties de A dont la réunion est A tout entier (on n'exclut pas que certains des ensembles considérés soient vides). On suppose que si i et j sont deux éléments de I tels que i < j, alors a < b pour tout $a\in A_{i}$ et tout $b\in A_{j}$. Pour toute séquence $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ d'éléments de E indexée par A, on a

$\prod _{a\in A}x_{a}=\prod _{i\in I}\prod _{a\in A_{i}}x_{a}$.

Fin du théorème

Un corollaire est que pour tout (n + 1)-uplet $(x_{1},\ldots ,x_{n+1})$ d'éléments de E,

$x_{1}\ldots x_{n+1}=x_{1}(x_{2}\ldots x_{n+1})\quad (2)$.

Cette formule (2), ou la formule (1) précédente, est couramment présentée — jointe à la définition du produit du 0-uplet comme étant égal à 1 — comme définition de $x_{1}\ldots x_{n}$ par récurrence sur n. Le corollaire permet de prouver l'équivalence de ces deux définitions, par récurrence sur le nombre de facteurs.

Si le monoïde E est commutatif, on peut définir le composé d'une famille finie d'éléments de E sans préciser un ordre sur l'index de cette famille, car on prouve que le composé, tel que défini ci-dessus, est alors indépendant de l'ordre choisi. Plus généralement, si E est un monoïde non forcément commutatif, si $(x_{i})_{i\in I}$ est une famille d'éléments de E dont tous les éléments commutent l'un avec l'autre, le produit des éléments de cette famille ne dépend pas de l'ordre choisi. C'est le « théorème de commutativité ». Ce théorème revient à dire que si $(x_{i})_{i\in I}$ est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si $\sigma$ est une permutation de l’ensemble $I$, $\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{i\in I}x_{\sigma (i)}$. Plus généralement, si $(x_{i})_{i\in I}$ est une famille finie d'éléments d'un monoïde qui commutent tous l'un avec l'autre, si $\sigma$ est une bijection d'un ensemble $J$ sur $I$, $\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{j\in J}x_{\sigma (j)}.$

Le lemme suivant nous servira au chapitre « Produit de groupes » :

Début d'un lemme

Lemme

Soient M un monoïde et x₁, … , x_n, y₁, … , y_n des éléments de M. Si, pour tous indices i > j, x_i commute avec y_j, alors

x₁…x_n y₁…y_n = x₁ y₁…x_n y_n.

Fin du lemme

Démonstration

Preuve par récurrence sur n. Si n = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à 1, donc la thèse est vraie dans ce cas. Supposons que n soit un nombre naturel > 0 et que la thèse soit vraie pour n – 1 au lieu de n, et prouvons que la thèse est vraie pour n.

Puisque x_n commute avec chacun des éléments y₁, … , y_n-1, nous pouvons remplacer, dans le premier membre de la thèse, x_n y₁…y_n-1 par y₁…y_n-1 x_n, donc

x₁…x_n y₁…y_n = x₁…x_n-1 y₁…y_n-1 x_n y_n.

Par hypothèse de récurrence, nous pouvons remplacer dans la second membre x₁…x_n-1 y₁…y_n-1 par x₁ y₁…x_n-1 y_n-1, d'où la thèse.

 

Remarque

C'est vrai a fortiori dans l'hypothèse plus forte où tous les éléments x₁, … , x_n, y₁, … , y_n commutent deux à deux. Dans ce cas, l'énoncé est un cas particulier du théorème de commutativité.