Discussion:Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes

Décembre 2006

On dit aussi "loi de composition" tout court pour "loi de composition interne" non ? (je le mets pas car c’est très trompeur). Mettre "0 ou e" direct dans la définition de groupe induit en erreur, surtout avec le x^-1 et -x. On pourrait croire qu'on peut concilier x^-1 et e par exemple, ou 0 et x^-1 (qui est en général non utilisé [sauf pour le groupe trivial…]). J’ai enlevé 0 et -x, et après on peut mettre : si le groupe est abélien, on note quelquefois la loi la loi + et de noter l'élément neutre 0, et de noter l'inverse -x. Souvent, on note . ou x la loi de groupe et 1 l'élément neutre. J’ai mis les démonstrations de l'unicité horriblement, j'apprendrais l’utilisation de math plus tard :) a+ Egatop 27 décembre 2006 à 22:56

il faut bien préciser respectivement.. sinon comme on a généralement + ou . il faut bien mettre les deux cas. ce qu’il faut retenir la structure de groupe qqsoit la loi --DN 4 janvier 2007 à 21:18

Mathématiciens et dates

1. Ce théorème est dû à Cauchy dans le cas abélien, puis à McKay en 1959 pour le cas non abélien.
2. Ce théorème est un cas particulier des théorèmes de Sylow, qui seront vus ultérieurement.

Les théorèmes de Sylow ont été faits en 1872. Est-ce vraiment 1959 pour le cas particulier de Sylow trouvé par McKay ?

Cette objection (non signée et pas de moi…) est pertinente. Je me suis permis de mettre que le théorème (général) est dû à Cauchy et que McKay en a donné une démonstration particulièrement élégante.. Par parenthèse, il me semble avoir lu que la démonstration donnée par Cauchy n'était pas au point, mais je n'ai pas de référence sous la main. De toute façon, il n'en résulte pas que la démontration du cas général est due à McKay, puisque, comme noté, le théorème de Cauchy peut se déduire d’un théorème de Sylow.
Marvoir 20 février 2008 à 14:50

Exemple de loi

"Une loi de composition interne plus simple à définir est l'intersection sur l’ensemble des parties d’un ensemble X."

N'est-il pas dangereux de présenter cette loi dans le chapitre sur la structure de groupe puisque (P(X), intersection) ne forme justement pas un groupe (risque de confusion)?

"Les premiers exemples de lois de composition internes rencontrés dans l'enseignement des mathématiques sont la somme et le produit des entiers naturels" c'est simple et didactique. suffisant ? Peut-être, simplement rajouter, " Il en existe de nombreuses autres, comme la composition des applications."

Laurent.bauer 5 janvier 2008 à 10:57

Propriétés élémentaires

"L'ensemble des sous-groupes d’un groupe G est ordonné par l'inclusion. Le plus petit sous-groupe est le singleton contenant l'élément neutre. "

Et si le groupe n’est pas ordonné

Laurent.bauer 5 janvier 2008 à 11:15

Pas d'importance. La relation d'inclusion entre sous-groupes est une relation d'ordre, que le groupe soit ordonné ou non.
Marvoir 20 février 2008 à 14:39

Groupes quotients non encore définis

Il est plusieurs fois question sur cette page de groupes $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. Or les groupes quotients ne seront définis que plus loin. Je me demande s'il ne serait pas préférable de ne parler de groupes monogènes et de l’ordre d’un élément qu'après avoir donné les premiers éléments sur les groupes quotients et le fait que l’image d’un homomorphisme est isomorphe au quotient du groupe de départ par le noyau. Cela permettrait de démontrer d’une façon plus élégante que maintenant que si un élément x d’un groupe G est d'ordre fini, son ordre est le plus petit des exposants > 0 qui l'appliquent sur 1. (Pour un x donné, considérer l'homomorphisme $n\mapsto x^{n}$ de $\mathbb {Z}$ dans G.)

C'est cette marche qui est suivie dans Bourbaki, Algèbre, ch. 1.

Marvoir 23 avril 2008 à 11:54

Groupe $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$

Si par * on entend groupe des inversibles de l'anneau, on peut se passer de p premier, d'autant plus qu'alors $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$ est cyclique et donc isomorphe au groupe $(\mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} )$ déjà mentionné juste au dessus. Là encore ce ne sont pas des notions supposées connues si l’on aborde pour la première fois les groupes…Alex 25 août 2008 à 20:53

Délestages

Bonjour Marvoir (d · c · b · s), j'ai un peu élagué dans ce chapitre (en laissant l'essentiel + des liens internes) et garni, avec ces extraits, des leçons courtes mais plus spécialisées (sur les lois de composition interne, magmas et monoïdes). J'espère que ça te convient (?). Et que dirais-tu de transformer aussi Théorie des groupes/Lois de composition internes, monoïdes#Composé d'une séquence (finie) d'éléments d'un monoïde en un chapitre 2 Monoïde/Composé d'une séquence de la leçon Monoïde (avec, de même, des liens vers là-bas, placés ici et /ou ailleurs dans ton cours sur les groupes) ? Anne 10/4/17 à 17 h 47

Bonjour Anne Bauval (d · c · b · s). Du moment que la substance se retrouve quelque part et qu'il y a un lien permettant au lecteur de la retrouver, je n'ai pas d'objection. Je crois qu'à l'époque, c'était moi qui avais créé ce chapitre "Lois de composition internes, monoïdes" dans le cours de théorie des groupes. La leçon "Monoïdes" n'existait pas encore. Si elle est complétée au point que toute la substance du chapitre "Lois de composition internes, monoïdes" de la leçon Groupes y passe (y compris les exercices), on pourrait peut-être supprimer ce chapitre "Lois de composition internes, monoïdes" de la leçon Groupes.

Je me suis dit souvent qu'il faudrait lancer un vaste chantier dans l'espoir d'avoir tout un cours d'algèbre sur Wikiversité : théorie de Galois, éléments d'algèbre non commutative (modules simples, semi-simples, et leurs applications à la théorie des représentations), mais je deviens vieux et, si cela se fait, ce sera sans doute sans moi. Marvoir (discussion) 10 avril 2017 à 18:18