Leçons de niveau 14

Ensemble (mathématiques)/Définitions

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre
Définitions
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Ensemble (mathématiques)
Retour au Sommaire
Chap. suiv. : Opérations
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Ensemble (mathématiques) : Définitions
Ensemble (mathématiques)/Définitions
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ensembles[modifier | modifier le wikicode]

Définitions : ensemble, élément et notion d'appartenance[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Appartenance ».

Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.

Soit un ensemble, quand est un élément de , nous disons que est dans ou que appartient à et nous écrivons , ce qui se lit «  appartient à  ». Quant au contraire n’est pas élément de , nous disons que n'appartient pas à et nous écrivons , ce qui se lit «  n'appartient pas à  ».

Définition/Notation : ensemble vide[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Ensemble vide ».

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide ou plus souvent .

Remarque
Retenons qu'une chose est un ensemble, si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n’est pas élément de cette chose ; concernant l’ensemble vide nous pouvons dire qu'aucun objet n'est élément de cette chose.

Exemples d'ensembles[modifier | modifier le wikicode]

  1. Les entiers naturels forment un ensemble qui se note .
  2. Les entiers relatifs forment un ensemble qui se note .
  3. Les nombres rationnels (de la forme et ) forment un ensemble noté .
  4. Les points du plan forment un ensemble.

Définition d’un ensemble en extension et en compréhension[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Singleton ».
descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Paire ».

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

  • L' ordre des éléments ne revêt aucune importance ; par exemple, {1, 2} = {2, 1}.
  • La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble ; par exemple, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l’ensemble des entiers naturels se définit par : = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l’ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5, … , 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l’ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x | P(x)}. Par exemple, {x | x est un nombre réel} désigne l’ensemble des nombres réels. Cette notation est appelée « notation de définition d’un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d’un ensemble en compréhension sont :

  • {xA | P(x)} désigne l’ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si est l’ensemble des entiers, alors {x | x est pair} est l’ensemble de tous les entiers pairs.
  • {F(x) | xA} désigne l’ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l’ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x | x.} est encore l’ensemble de tous les entiers pairs.
  • {F(x) | P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x | x est un chien} est l’ensemble de tous les propriétaires de chiens.

Définition : égalité de deux ensembles[modifier | modifier le wikicode]

Deux ensembles et sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments. signifie donc : .

Sous-ensemble, partie d’un ensemble[modifier | modifier le wikicode]

Inclusion[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple