Théorie des groupes/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes
Apparence
Exercice 1
[modifier | modifier le wikicode]Soient et deux monoïdes.
- Montrer que dans , le seul élément idempotent simplifiable à gauche ou à droite est l'élément neutre.
- En déduire que si est régulier, tout morphisme de magmas de dans applique élément neutre sur élément neutre (donc est un morphisme de monoïdes).
Solution
- est évidemment idempotent et (inversible donc) simplifiable. Réciproquement, soit un idempotent de , simplifiable par exemple à gauche. Alors, et sont égaux (car tous deux égaux à ) donc .
- Soit un morphisme de magmas. Alors, est idempotent () donc si de plus il est simplifiable, il est égal à .
Exercice 2
[modifier | modifier le wikicode]Soient un morphisme de monoïdes, et un élément inversible de . Montrer que est inversible dans et que son inverse est .
Solution
Désignons par le neutre de G et par le neutre de H. Alors
et de même,
- .
Exercice 3
[modifier | modifier le wikicode]Soit M un monoïde, soient a et b deux éléments de M commutant entre eux, soit n un nombre naturel. Prouver que .
Solution
Le plus simple est de raisonner par récurrence sur n. La formule est banalement vraie pour n = 0. Supposons-la vraie pour un nombre naturel n. D'après une formule du chapitre théorique,
Par hypothèse de récurrence, le second membre peut s'écrire
- ,
donc
Puisque a commute avec b, il commute avec bn, donc notre résultat peut s'écrire
d'où la thèse par récurrence sur n.