En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
......Une onde sinusoïdale de fréquence
se propage dans la direction
dans le sens des
avec la célérité
; un observateur
se déplace à la vitesse
où
est le vecteur unitaire de l'axe
dans le sens des
.
Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]
......Expliciter le signal
associé à l'onde sinusoïdale au point
d'abscisse
et à l'instant
, on définira toutes les notations nécessaires.
Solution
......L'onde étant sinusoïdale de fréquence

, sa pulsation temporelle est

et, notant son expression en

selon

on en déduit

soit encore
![{\displaystyle \;s(x,\,t)=a_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi \right]=a_{0}\,\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi \,f}{c}}\,x+\varphi \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded909c61cc7ab6fbd3b039d8a48205b0cc5a275)
ou,
en introduisant la pulsation spatiale

,

étant la longueur d'onde du signal dans le milieu de propagation,

.
Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]
......Pour l'observateur
en mouvement, le point
est repéré par une abscisse
le long de l'axe
en translation uniforme relativement à l'axe
de vecteur vitesse
; expliciter
en fonction de l'abscisse
du point
relativement à l'axe
,
et
puis
............réécrire l'expression du signal
au point
d'abscisse
repérée relativement à l'axe
et à l'instant
.
Solution
......Dans le référentiel en mouvement lié à l'observateur

, le point

, d'abscisse

sur l'axe fixe

, étant repéré par une abscisse

le long d'un axe

en translation uniforme relativement à l'axe

de vecteur vitesse

, on en déduit la relation

ou

et par suite

soit, en utilisant l'expression déterminée précédemment
![{\displaystyle \;s(x',\,t)=a_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\left(x-v\,t\right)+\varphi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f100d6b00b0a91fa236fe423b184295bcc1d0b)
ou

.
Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement[modifier | modifier le wikicode]
......De l'expression de
en déduire l'expression de la fréquence
pour l'observateur en mouvement.
............Comparer
et
suivant le signe de
.
Solution
...... On peut réécrire le signal précédent sous la forme
ou, en réintroduisant la fréquence dans le terme « longueur d'onde » par
et, en factorisant par
, on obtient l'expression
montrant que, pour l'observateur se déplaçant à la vitesse
, l'onde qu'il reçoit à l'instant
et à l'abscisse
de l'axe
fixe est la même que celle qu'il recevrait en restant immobile au même point et au même instant avec une fréquence
[1] ;
- si <math\;>v > 0</math>, c'est-à-dire si l'observateur se déplace dans le sens de propagation de l'onde, la fréquence
qu'il perçoit est plus grande que celle émise
,
;
- si
, c'est-à-dire si l'observateur se déplace dans le sens contraire de propagation de l'onde, la fréquence
qu'il perçoit est plus petite que celle émise
,
.
......Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?
Solution
......Marchant dans la rue, un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse :
- tant qu'il est derrière vous, vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, la fréquence reçue est donc plus élevée que la fréquence émise, le son apparaît plus aigu que celui émis,
- mais dès qu'il vous a dépassé, l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, la fréquence reçue est donc plus basse que la fréquence émise, le son apparaît plus grave que celui émis.
Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle
......On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie (voir figure ci-contre). Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse
, reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur
, susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe
.
......Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse
sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
......On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses
où leurs déplacements
sont supposés faibles devant
.
......Établir l'équation différentielle du mouvement de l'atome
, on la mettra sous la forme suivante
et
............exprimer
en fonction des données ;
............quelle est sa signification concrète ?
Solution
Forces agissant sur un atome lors de la modélisation des interactions de ses voisins par un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle
......Le ne atome subit l’action des tensions des ressorts modélisant l'interaction avec ses voisins c'est-à-dire
et
:
car la distance
longueur à l'équilibre du ressort de gauche est aussi son allongement à l’équilibre dans la mesure où la longueur à vide est supposée nulle, il faut lui ajouter
[2] pour avoir l’allongement total ;
[3] car la distance
longueur à l'équilibre du ressort de droite est aussi son allongement à l’équilibre dans la mesure où la longueur à vide est supposée nulle, il faut lui ajouter
[4] pour avoir l’allongement total,
......Appliquant la r.f.d.n. à l’atome

nous obtenons, en projection sur

:
............
ou, en utilisant

,

soit, en normalisant

;
............posant
, l'équation différentielle se réécrit selon
,
étant la « pulsation propre d'oscillation d'un atome qui serait soumis à l'action d'un seul voisin » [5].
Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente[modifier | modifier le wikicode]
......Une onde sismique harmonique de pulsation
étant décrite par une solution de la forme
où
et
sont des constantes, vérifier qu'une telle solution n'est possible que si
et
sont reliés par une condition
[6].
Solution
......On souhaite vérifier qu'une onde sismique de la forme

ou encore

est solution de l'équation différentielle précédemment écrite et pour cela
......on introduit la grandeur instantanée complexe

où

est l'amplitude complexe, l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe

obéit étant

se réécrit, avec

,

s'exprimant en fonction de

selon

,
![{\displaystyle \omega _{0}^{2}\left[\exp(-i\,\alpha \,a)+\exp(i\,\alpha \,a)-2\right]{\underline {\xi _{n}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd261f88466319d82581df6e6754e953af74f7e)
ou, en simplifiant par

,
![{\displaystyle \;-\omega ^{2}\,{\underline {A_{n}}}=\omega _{0}^{2}\left[\exp(-i\,\alpha \,a)+\exp(i\,\alpha \,a)-2\right]{\underline {A_{n}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e82b61b8299608f76dec549ce95224e38fbc50)
qui admet une autre solution que

si
[7] ou
![{\displaystyle \;\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!2}=2\left[1-\cos(\alpha \,a)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937dceaaae92433ff0e83a99e8790a33ef3b6f02)
,
second membre que l'on peut réécrire sous forme d'un carré en utilisant la formule de trigonométrie suivante
[8], soit

et
finalement la condition

pour que l'onde sismique

soit solution de l'équation différentielle

,

.
Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus[modifier | modifier le wikicode]
......On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus c'est-à-dire que la distance
séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant, plus précisément on suppose
;
......montrer que la condition
se simplifie en
.
............Dans toute la suite, on admet que
est la célérité « c » des ondes sismiques [9].
Solution
......Dans l'approximation des milieux continus où

est suffisamment petite pour l'onde sismique c'est-à-dire telle que

, le produit

peut être considéré comme infiniment petit et par suite
[10] d'où la réécriture de la condition

sous la forme

ou encore

;
............admettant que

c'est-à-dire la célérité de propagation des ondes sismiques dans le milieu constitué de la chaîne d'atomes, on en déduit,
dans l'approximation des milieux continus,

.
Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer[modifier | modifier le wikicode]
......On cherche à évaluer un ordre de grandeur de
dans le fer. On donne la masse molaire atomique du Fer
ainsi que sa masse volumique
et on rappelle :
......un électronvolt
et le nombre d'Avogadro
.
............Calculer la distance
séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est
.
............Rappeler sans démonstration l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur
et d'allongement
;
..................En identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à
, calculer
.
............En déduire un ordre de grandeur de
et
..................commenter.
Solution
......Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer :
............le volume moyen disponible par atome étant
, la densité d’atomes par unité de volume est
[11] ;
............la masse
d'un atome se déduit de la masse molaire atomique
et du nombre d'Avogadro
par
;
............enfin la masse volumique
est liée à la densité volumique d'atomes
par
d'où
et par suite
soit numériquement
ou, en unité adaptée
[12].
......Calcul de « k » raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique :
............l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur
et d'allongement
étant
avec choix de la référence lorsque le ressort est au repos, et identifiant cette énergie à l'énergie de liaison entre deux atomes
on en déduit
soit numériquement
en
ou
.
......Ordre de grandeur de « c » célérité des ondes sismiques dans le fer :
............
avec
ou, en y reportant
,
d'où
............
soit numériquement
en
ou
;
..................il s'agit effectivement de l'ordre de grandeur de la célérité des ondes dans les solides.
- ↑ Cette expression n'est correcte que dans le cadre cinématique classique (ou newtonienne) nécessitant que
reste petite par rapport à la vitesse de la lumière soit
et en pratique
.
- ↑ Quand l'atome
se déplace de
l'allongement du ressort de gauche augmente de
et quand l'atome
se déplace de
l'allongement du ressort de gauche diminue de
.
- ↑ Quand le ressort de droite est allongé il est dans le sens de
.
- ↑ Quand l'atome
se déplace de
l'allongement du ressort de droite diminue de
et quand l'atome
se déplace de
l'allongement du ressort de droite augmente de
.
- ↑ Comme par exemple dans une molécule diatomique.
- ↑ Pour résoudre cette question on associera à la solution harmonique
, la grandeur instantanée complexe
où
est l'amplitude complexe, l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe obéit étant la même que celle dont
est solution, puis on exprimera cette équation différentielle en fonction de
après simplification par
; cette dernière équation admet pour seule solution
(évidemment à rejeter) sauf si une certaine condition sur
est réalisée d'où la condition
demandée.
- ↑ On a utilisé la formule d'Euler relative au cosinus
.
- ↑ On rappelle les trois expressions équivalentes de
,
.
- ↑ Ainsi
est la pulsation spatiale des ondes sismiques et
la phase à l'instant
et à l'abscisse
de l'onde sismique progressive sinusoïdale.
- ↑ En effet si un angle (en
est infiniment petit la valeur de son sinus peut être confondu avec la valeur de l'angle (en
; il en serait de même pour la valeur de sa tangente.
- ↑ Ayant 1 atome pour un volume
exprimé en
, pour un volume de
on a
atomes soit une densité atomique par unité de volume
exprimée en
.
- ↑ Le rayon d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant
.