Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
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Effet Doppler[modifier | modifier le wikicode]

......Une onde sinusoïdale de fréquence se propage dans la direction dans le sens des avec la célérité  ; un observateur se déplace à la vitesse est le vecteur unitaire de l'axe dans le sens des .

Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

......Expliciter le signal associé à l'onde sinusoïdale au point d'abscisse et à l'instant , on définira toutes les notations nécessaires.

Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

......Pour l'observateur en mouvement, le point est repéré par une abscisse le long de l'axe en translation uniforme relativement à l'axe de vecteur vitesse  ; expliciter en fonction de l'abscisse du point relativement à l'axe , et puis

............réécrire l'expression du signal au point d'abscisse repérée relativement à l'axe et à l'instant .

Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement[modifier | modifier le wikicode]

......De l'expression de en déduire l'expression de la fréquence pour l'observateur en mouvement.

............Comparer et suivant le signe de .

Application à un exemple de la vie courante[modifier | modifier le wikicode]

......Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?

Célérité des ondes sismiques[modifier | modifier le wikicode]

Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle

......On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie (voir figure ci-contre). Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse , reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur , susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe .
......Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
......On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses où leurs déplacements sont supposés faibles devant .

Équation différentielle du mouvement du ne atome[modifier | modifier le wikicode]

......Établir l'équation différentielle du mouvement de l'atome , on la mettra sous la forme suivante et

............exprimer en fonction des données ;

............quelle est sa signification concrète ?


Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente[modifier | modifier le wikicode]

......Une onde sismique harmonique de pulsation étant décrite par une solution de la forme et sont des constantes, vérifier qu'une telle solution n'est possible que si  et sont reliés par une condition  [6].

Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus[modifier | modifier le wikicode]

......On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus c'est-à-dire que la distance séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant, plus précisément on suppose  ;

......montrer que la condition se simplifie en .

............Dans toute la suite, on admet que est la célérité « c » des ondes sismiques [9].

Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche à évaluer un ordre de grandeur de dans le fer. On donne la masse molaire atomique du Fer ainsi que sa masse volumique et on rappelle :
......un électronvolt et le nombre d'Avogadro .

............Calculer la distance séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est .

............Rappeler sans démonstration l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur et d'allongement  ;

..................En identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à , calculer .

............En déduire un ordre de grandeur de et

..................commenter.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Cette expression n'est correcte que dans le cadre cinématique classique (ou newtonienne) nécessitant que reste petite par rapport à la vitesse de la lumière soit et en pratique .
  2. Quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de gauche augmente de et quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de gauche diminue de .
  3. Quand le ressort de droite est allongé il est dans le sens de .
  4. Quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de droite diminue de et quand l'atome se déplace de l'allongement du ressort de droite augmente de .
  5. Comme par exemple dans une molécule diatomique.
  6. Pour résoudre cette question on associera à la solution harmonique , la grandeur instantanée complexe est l'amplitude complexe, l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe obéit étant la même que celle dont est solution, puis on exprimera cette équation différentielle en fonction de après simplification par  ; cette dernière équation admet pour seule solution (évidemment à rejeter) sauf si une certaine condition sur est réalisée d'où la condition demandée.
  7. On a utilisé la formule d'Euler relative au cosinus .
  8. On rappelle les trois expressions équivalentes de , .
  9. Ainsi est la pulsation spatiale des ondes sismiques et la phase à l'instant et à l'abscisse de l'onde sismique progressive sinusoïdale.
  10. En effet si un angle (en est infiniment petit la valeur de son sinus peut être confondu avec la valeur de l'angle (en  ; il en serait de même pour la valeur de sa tangente.
  11. Ayant 1 atome pour un volume exprimé en , pour un volume de on a atomes soit une densité atomique par unité de volume exprimée en .
  12. Le rayon d'un atome d'hydrogène dans son état fondamental étant .