Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

Corde excitée de façon sinusoïdale

     L'extrémité $S$ d'une corde élastique maintenue horizontale en sa position de repos est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical sinusoïdal de fréquence «$f=100Hz$» et d'amplitude «$Y_m$».

     Chaque point $M$ de la corde est balisé par son abscisse horizontale «$x$» et son élongation verticale ascendante «$y$» dans le repère $(Oxyz)$, $O$ désignant la position d'équilibre de $S$ et $Ox$ étant orienté de $O$ vers l'autre extrémité de la corde.

     Le mouvement de $S$ débute à l'instant $t=0$.

     Un dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de $S$.

Explicitation de l'équation horaire de S connaissant son mouvement

     Sachant qu'à l'instant $t=0$, $S$ passe par sa position d'équilibre avec une vitesse «${\overrightarrow{V}}_0$ verticale ascendante de norme $V_0=2,5m\cdot s^{-1}$», expliciter l'équation horaire du mouvement de $S$, notée «$y_S(t)$», en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres.

Solution

     Compte-tenu des données, l'équation horaire de l'extrémité $S$ de la corde est de la forme «$y_S(t)=Y_m\cos (2\pi ft+\phi )$» avec $Y_m$ et $\phi$ à déterminer en utilisant les C.I. suivantes :

• «$y_S(0)=0$» soit «$Y_m\cos (\phi )=0$» dont on tire «$\phi =\pm \frac{\pi }{2}$»,
• «${\dot{y}}_S(0)=V_{0,y}=V_0=2,5m\cdot s^{-1}$», ce qui nécessite d'évaluer «${\dot{y}}_S(t)=-2\pi f{Y}_m\sin (2\pi ft+\phi )$» d'où «$-2\pi f{Y}_m\sin (\phi )=V_0$» dont on tire «$Y_m=-\frac{V_0}{2\pi f\sin (\phi )}$» ;

     pour avoir «$Y_m=-\frac{V_0}{2\pi f\sin (\phi )}>0$» on choisit «$\phi =-\frac{\pi }{2}$» $\Rightarrow$ «$Y_m=\frac{V_0}{2\pi f}=\frac{2,5}{2\times \pi \times 100}$ en $m$» soit «$Y_m\simeq 3,9810^{-3}m$» c'est-à-dire une amplitude de vibration verticale de «$Y_m\simeq 4,0mm$» ;

     l'équation horaire du mouvement de $S$ s'écrit donc «$y_S(t)=4,0\cos (2\pi ft-\frac{\pi }{2})$ en $mm$» ou
     l'équation horaire du mouvement de $S$ s'écrit donc «$y_S(t)=4,0\sin (2\pi ft)$ en $mm$».

 

Détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase

     La plus petite distance entre deux points de la corde vibrant en opposition de phase étant «$d=6,0cm$», en déduire

• la longueur d'onde «$\lambda$» des ondes le long de la corde ainsi que
• la célérité «$c$» de propagation des ondes le long de cette corde.

Solution

     L'élongation transversale de la corde en $M$ d'abscisse $x$ se déduit de celle du point d'attache $S$ par «$y_M(t)=y_S(t-\frac{x}{c})$»,
     L'élongation transversale de la corde en $M$ d'abscisse $x$ «$\tau (M)=\frac{x}{c}$ représentant le retard temporel de la vibration sur le point d'attache $S$» soit «$y_M(t)=4,0\sin \left[2\pi f(t-\frac{x}{c})\right]$ en $mm$» ou
     L'élongation transversale de la corde en $M$ d'abscisse $x$ avec la fréquence spatiale $($ou nombre d'onde$\sigma )$ inverse de la période spatiale $($ou longueur d'onde$\lambda )$ c.-à-d. «$\sigma =\frac{f}{c}=\frac{1}{\lambda }$» dont on déduit
     L'élongation transversale de la corde en $M$ d'abscisse $x$ avec la pulsation spatiale «$k=2\pi \sigma =\frac{2\pi f}{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$» $\Rightarrow$ la phase “ initiale ” à l'abscisse $x$ «$\phi (x)=-\frac{2\pi f}{c}x=-kx=-\frac{2\pi }{\lambda }x$» ,
     L'élongation transversale de la corde en $M$ d'abscisse $x$ se déduit de celle du point d'attache $S$ par «$y(x,t)=4,0\sin (2\pi ft-2\pi \frac{x}{\lambda })$ en $mm$» ;

• sur cette expression on vérifie qu'à un instant $t$ fixé « deux points voisins vibrent en opposition de phase $\Delta \phi =\pm \pi$ s'ils sont séparés de $\frac{\lambda }{2}$ $($car $-2\pi \frac{\Delta x}{\lambda }=\pm \pi )$» soit «$d=6,0cm=\frac{\lambda }{2}$» $\Rightarrow$ «$\lambda =2d=12,0cm$» ;
• on en déduit la célérité des ondes le long de la corde par «$\lambda =\frac{c}{f}$» $\Rightarrow$ «$c=\lambda f=0,12\times 100$ en $m$» soit «$c=12m\cdot s^{-1}$».

 

Comparaison du mouvement d'un point M₁ d'abscisse fixée à celui du point S lié au vibreur

     On considère maintenant un point $M_1$ de la corde, d'abscisse «$x_1=21cm$».

• Préciser son équation horaire «$y_{M_1}(t)$», en particulier déterminer la valeur numérique de son retard temporel par rapport à $S$ ;
• Comparer les mouvements des points $S$ et $M_1$ $($on calculera, en particulier, les élongations des points $S$ et $M_1$ à l'instant de date «$t_1=40ms$»$)$.

Solution

• L'équation horaire d'un point $M$ de la corde $($dans la mesure où le front d'onde a atteint le point $M)$ a déjà traité en question « détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase » plus haut dans cet exercice $\Rightarrow$ «$y(x_1,t)=4,0\sin (2\pi ft-2\pi \frac{x_1}{\lambda })$ en $mm$» soit,
    L'équation horaire d'un point $M$ de la corde avec «$\frac{x_1}{\lambda }=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$» $\Rightarrow$ «$y(x_1,t)=4,0\sin (2\pi ft-\frac{7\pi }{2})$ en $mm$» s'écrivant encore «$y(x_1,t)=4,0\sin (2\pi ft+\frac{\pi }{2})$ en $mm$» soit finalement
    L'équation horaire d'un point $M$ de la corde avec «$\frac{x_1}{\lambda }=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$» $\Rightarrow$ «$y(x_1,t)=4,0\cos (2\pi ft)$ en $mm$» $($dans la mesure où le front d'onde a atteint le point $M_1)$ ou
    L'équation horaire d'un point $M$ de la corde avec «$\frac{x_1}{\lambda }=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$» $\Rightarrow$ «$y(x_1,t)=0$» $($si le front d'onde n'a pas atteint le point $M_1)$ ;
  remarque : le front d'onde issue de $S$ atteint le point $M_1$ pour tout instant «$t⩾\tau (M_1)=\frac{x_1}{c}=\frac{0,21}{12}=0,0175s=17,5ms$» ainsi «$y(x_1,t)=\left\{\begin{array}{cc}4,0\cos (2\pi ft)\text{en}mm& \text{pour}t⩾17,5ms\\ 0& \text{pour}t⩽17,5ms\end{array}\right\}$» ;
  le retard temporel de $M_1$ par rapport à $S$ vaut donc «$\tau (M_1)=\frac{x_1}{c}\stackrel{\cdots }{=}17,5ms$» ;
• de $\left\{\begin{array}{cccc}{y}_S(t)& =& 4,0\sin (2\pi ft)& \text{en}mm\\ y_{M_1}(t)& =& 4,0\sin (2\pi ft+\frac{\pi }{2})& \text{en}mm\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ les mouvements sont en quadrature de phase, le mouvement du point$M_1$étant « physiquement » en quadrature avance sur celui de la source$S$ ;
  à l'instant de date «$t_1=40ms$», «$y_S(t_1)=4,0\sin (2\pi f{t}_1)$ en $mm$» avec «$f{t}_1=100\times 4010^{-3}=4$» soit «$y_S(t_1)=4,0\sin (8\pi )=0$» ;
  à l'instant de date «$t_1=40ms$», $S$ passant par sa position d'équilibre en $\nearrow$ et $M_1$ vibrant en quadrature avance sur $S$ atteint sa valeur maximale à l'instant $t_1$ soit «$y_{M_1}(t_1)=4,0mm$».

 

Détermination de l'aspect de la corde à un instant t₁ fixé

     On étudie maintenant la corde globalement à l'instant «$t_1=40ms$».

• Préciser la fonction «$y_{t_1}(x)$» décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant «$t_1=40ms$», en particulier déterminer la valeur numérique de sa période spatiale ;
• représenter précisément l'aspect de la corde à cet instant «$t_1=40ms$».

Solution

• L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant $t$ a déjà traité en question « détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase » plus haut dans cet exercice $\Rightarrow$ «$y(x,t_1)=4,0\sin (2\pi f{t}_1-2\pi \frac{x}{\lambda })$ en $mm$» soit,
  L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant $t$ avec «$f{t}_1=100\times 4010^{-3}=4$» $\Rightarrow$ «$y(x,t_1)=4,0\sin (8\pi -2\pi \frac{x}{\lambda })$ en $mm$» s'écrivant finalement
  L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant $t$ avec «$f{t}_1=100\times 4010^{-3}=4$» $\Rightarrow$ «$y_{t_1}(x)=-4,0\sin \left(2\pi \frac{x}{\lambda }\right)$ en $mm$» $($dans la mesure où le point $M$ est atteint par la vibration$)$ ou
  L'équation de la partie de la corde en vibration à un instant $t$ avec «$f{t}_1=100\times 4010^{-3}=4$» $\Rightarrow$ «$y_{t_1}(x)=0$» $($si le point $M$ ne vibre pas encore à l'instant $t_1)$ ;
  remarque : la corde vibre au point $M$ à l'instant $t_1$ si l'abscisse du front d'onde à cet instant «$x_{\text{front},t_1}=c{t}_1=12\times 4010^{-3}=0,48$ en $m$» est «$⩽$ à l'abscisse $x$ de $M$» ainsi
  remarque : «$y_{t_1}(x)=\left\{\begin{array}{cc}-4,0\sin \left(2\pi \frac{x}{\lambda }\right)\text{en}mm& \text{pour}x⩽48cm\\ 0& \text{pour}x⩾48cm\end{array}\right\}$» ;
  remarque : la période spatiale pour la partie vibrante $($c.-à-d. $x⩽48cm)$ vaut «$\lambda =\frac{c}{f}\stackrel{\cdots }{=}12cm$» $\{$voir la solution de la question « détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase » plus haut dans cet exercice$\}$ ;

Aspect de la corde vibrante à l'instant $t_1=40ms$ correspondant à une vibration sur les $4$ périodes spatiales

• l'aspect de la corde, à l'instant «$t_1=40ms$», est représenté ci-contre,
  l'aspect de la corde, à l'instant «$t_1=40ms$», on y observe la vibration de la corde sur les $4$ 1^ères périodes spatiales,
  l'aspect de la corde, à l'instant «$t_1=40ms$», le front d'onde à «$t_1=40ms$» ayant pour abscisse «$x_{\text{front},t_1}\stackrel{\cdots }{=}48cm$»
  l'aspect de la corde, à l'instant «$t_1=40ms$», le front d'onde à «$t_1=40ms$» ayant pour abscisse c'est-à-dire $4\times 12cm$
  l'aspect de la corde, à l'instant «$t_1=40ms$», le front d'onde à «$t_1=40ms$» correspondant à $4$ longueurs d'onde
  l'aspect de la corde, à l'instant «$t_1=40ms$», $($le restant de la corde étant encore en sa position de repos$)$.

 

Effet Doppler

     Une onde sinusoïdale de fréquence $f$ se propage dans la direction $(Ox)$ dans le sens des $x\nearrow$ avec la célérité $c$ ;
     un observateur $O^{\prime }$ se déplace à la vitesse $\overrightarrow{V}=V{\overrightarrow{u}}_x$ où ${\overrightarrow{u}}_x$ est le vecteur unitaire de l'axe $(Ox)$ dans le sens des $x\nearrow$.

Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t

     Expliciter le signal $s(x,t)$ associé à l'onde sinusoïdale au point $M$ d'abscisse $x$ et à l'instant $t$, on définira toutes les notations nécessaires.

Solution

     L'onde étant sinusoïdale de fréquence $f$, sa pulsation temporelle est $\omega =2\pi f$ et, notant son expression en $O$ selon «$s(0,t)=a_0\cos (2\pi ft+\phi )$» on en déduit «$s(x,t)=$ $s(0,t-\frac{x}{c})$» soit encore
     «$s(x,t)=a_0\cos [2\pi f(t-\frac{x}{c})+\phi ]$
                                  $=a_0\cos (2\pi ft-\frac{2\pi f}{c}x+\phi )$» ou,      en introduisant la « pulsation spatiale $k=\frac{\omega }{c}=$ $\frac{2\pi f}{c}=\frac{2\pi }{\frac{c}{f}}=\frac{2\pi }{\lambda }$», «$\lambda$ étant la longueur d'onde du signal dans le milieu de propagation »,           «$s(x,t)=a_0\cos (2\pi ft-\frac{2\pi }{\lambda }x+\phi )$».

 

Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t

     Pour l'observateur $O^{\prime }$ en mouvement, le point $M$ est repéré par une abscisse $x^{\prime }$ le long de l'axe $(O^{\prime }x)$ en translation uniforme relativement à l'axe $(Ox)$ de vecteur vitesse $\overrightarrow{V}=V{\overrightarrow{u}}_x$ ;
     expliciter $x^{\prime }$ en fonction de l'abscisse $x$ du point $M$ relativement à l'axe $(Ox)$, $V$ et $t$ puis

     réécrire l'expression du signal $s(x^{\prime },t)$ au point $M$ d'abscisse $x^{\prime }$ repérée relativement à l'axe $(O^{\prime }x)$ et à l'instant $t$.

Solution

     Dans le référentiel en mouvement lié à l'observateur $O^{\prime }$, le point $M$, d'abscisse $x$ sur l'axe fixe $(Ox)$, étant repéré par une abscisse $x^{\prime }$ le long d'un axe $(O^{\prime }x)$ en translation uniforme relativement à l'axe $(Ox)$ de vecteur vitesse $\overrightarrow{V}=V{\overrightarrow{u}}_x$, on en déduit la relation «$x=x^{\prime }+Vt$» ou
«$x^{\prime }=x-Vt$»             et par suite «$s(x^{\prime },t)$ se réécrivant $s(x-Vt,t)$» on obtient, en utilisant l'expression de $s(x,t)$ déterminée dans la solution de la question « explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t » plus haut dans cet exercice «$s(x^{\prime },t)=a_0\cos [2\pi ft-\frac{2\pi }{\lambda }(x-Vt)+\phi ]$» ou
«$s(x^{\prime },t)=a_0\cos (2\pi ft-\frac{2\pi }{\lambda }x+\frac{2\pi V}{\lambda }t+\phi )$».

 

Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement

     De l'expression de $s(x^{\prime },t)$ en déduire l'expression de la fréquence $f^{\prime }$ pour l'observateur en mouvement.

     Comparer $f^{\prime }$ et $f$ suivant le signe de $V$.

Solution

     D'après la solution de la question « réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t » plus haut dans cet exercice, on peut réécrire le signal reçu par l'observateur mobile selon «$s(x^{\prime },t)=a_0\cos [2\pi (f+\frac{V}{\lambda })t-\frac{2\pi }{\lambda }x+\phi ]$»      ou, en réintroduisant la fréquence dans le terme « longueur d'onde » par $\lambda =\frac{c}{f}$ et, en factorisant par $f$, on obtient l'expression «$s(x^{\prime },t)=a_0\cos [2\pi f(1+\frac{V}{c})t-\frac{2\pi }{\lambda }x+\phi ]$» montrant que,      pour l'observateur mobile se déplaçant à la vitesse $V$, l'onde qu'il reçoit à l'instant $t$ et à l'abscisse $x$ de l'axe $(Ox)$ fixe est la même que
       pour l'observateur mobile se déplaçant à la vitesse $V$, celle qu'il recevrait en restant immobile au même point et au même instant avec une fréquence «$f^{\prime }=f(1+\frac{V}{c})$»  ;

• « si $V>0$», c'est-à-dire « si l'observateur se déplace dans le sens de propagation de l'onde », la fréquence $f^{\prime }$ qu'il perçoit est plus grande que celle émise $f$, «$f^{\prime }>f$» ;
• « si $V<0$», c'est-à-dire « si l'observateur se déplace dans le sens contraire de propagation de l'onde », la fréquence $f^{\prime }$ qu'il perçoit est plus petite que celle émise $f$, «$f^{\prime }<f$».

 

Application à un exemple de la vie courante

     Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?

Solution

     Marchant dans la rue, un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse :

• « tant qu'il est derrière vous », vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, « la fréquence reçue est donc plus élevée que la fréquence émise »,
  « tant qu'il est derrière vous », vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, « le son apparaît plus aigu que celui émis » mais,
• « dès qu'il vous a dépassé », l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, « la fréquence reçue est donc plus basse que la fréquence émise »,
  « dès qu'il vous a dépassé », l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, « le son apparaît plus grave que celui émis ».

     Ce phénomène observable dans le cadre de la cinématique newtonienne est connu sous le nom d'effet Doppler.

 

Mesure de distance et de vitesse par radar

     Un « radar » est un appareil utilisant des ondes « radio » pour détecter la présence d'objets mobiles, et pouvant également déterminer leur distance et leur vitesse.

     On présente ici le principe de ces deux mesures.

     Le « radar » comporte une antenne qui émet, avec une période $T$, des impulsions, c'est-à-dire des signaux sinusoïdaux de « durée limitée $\tau$», la durée des impulsions $\tau$ étant petite relativement à la période $T$ de leur émission $($mais toutefois $\tau \ll ̸T)$.

     Ces impulsions sont envoyées dans toutes les directions de l'espace.
     Lorsque l'une d'elles rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l'antenne, laquelle est réceptrice entre deux émissions $($l'antenne ne pouvant être simultanément émettrice et réceptrice$)$.

     Cela fait alors apparaître un point lumineux sur l'écran, indiquant la direction de la cible, et l'analyse du signal reçu permet d'effectuer les mesures souhaitées.

Étude de trois échos renvoyés par des objets mobiles sur un même intervalle de non émission de l'antenne

     Un « radar » émet des impulsions de fréquence «$f=2,90GHz$» et de durée «$\tau =1,0\mu s$», avec une période d'émission «$T=100,0\mu s$».

     On considère un 1^er enregistrement entre deux impulsions successives émises par le « radar », la 1^ère impulsion débutant à l'instant «$t_0=0,0\mu s$» et la 2^nde à l'instant «$t_1=100,0\mu s$» ;
     on y observe trois échos renvoyés par des objets, $\succ$le début du 1^er écho commençant à l'instant «$t_A=3,0\mu s$» $($l'amplitude de l'écho étant plus faible que celle de chaque impulsion incidente$)$,
     on y observe trois échos renvoyés par des objets, $\succ$le début du 2^ème écho d'amplitude plus faible que celle du précédent à l'instant «$t_B=80,0\mu s$» et
     on y observe trois échos renvoyés par des objets, $\succ$le début du 3^ème écho d'amplitude encore plus faible que celle du précédent à l'instant «$t_C=90,0\mu s$».

Longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion et nombre d'oscillations dans chaque impulsion

     Calculer la longueur d'onde $\lambda$ des ondes émises pendant une impulsion sachant que la célérité des ondes radio dans l'air vaut «$c=3,0010^{8}m\cdot s^{-1}$» et

     Calculer le nombre $N$ d'oscillations dans chaque impulsion.

Solution

     La célérité des ondes radio dans l'air étant «$c=3,0010^{8}m\cdot s^{-1}$» et la fréquence de ces ondes «$f=2,90GHz=2,9010^{9}Hz$», nous en déduisons la longueur d'onde de ces ondes radio «$\lambda =\frac{c}{f}=$ $\frac{3,0010^8}{2,9010^9}\simeq 0,103m$» soit «$\lambda \simeq 10,3cm$» ;

     chaque oscillation à l'intérieur d'une impulsion ayant une durée égale à leur période d'oscillation «$T_{\text{oscillation}}=\frac{1}{f}=\frac{1}{2,9010^9}\simeq 3,4510^{-10}s=0,345ns$» et la durée d'une impulsion étant «$\tau =$ $1,0\mu s$», nous en déduisons le nombre d'oscillations dans une impulsion «$N=\frac{\tau }{T_{\text{oscillation}}}=\tau f=1,010^{-6}\times 2,9010^9$» soit «$N\simeq 2900$».

 

Détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho

     Déterminer la distance à laquelle se trouve chaque objet détecté par l'un des trois échos $($les ondes radio réfléchies se propageant à la même célérité que les ondes incidentes «$c=3,0010^{8}m\cdot s^{-1}$»$)$ ;

     proposer une explication à la différence d'amplitude entre les impulsions incidentes et les échos ainsi qu'à
     proposer une explication à la différence d'amplitude entre chaque écho.

Solution

     La 1^ère impulsion envoyée ayant débuté à la date «$t_0=0,0\mu s$», la durée écoulée entre l'instant de début de détection de chaque écho et cette date de début de 1^ère impulsion représente
          La 1^ère impulsion envoyée ayant débuté à la date «$t_0=0,0\mu s$», la durée nécessaire pour que les oscillations de cette 1^ère impulsion fassent l'aller - retour entre l'antenne émettrice et la même antenne réceptrice après s'être réfléchi sur l'objet, soit en notant «$d_A$, $d_B$ et $d_C$» les distances respectives entre l'antenne du « radar » et les objets ayant renvoyé un écho dont la réception a commencé aux instants «$t_A=3,0\mu s$, $t_B=80,0\mu s$ et $t_C=90,0\mu s$», nous en déduisons :

     $\succ$«$t_A-t_0=\frac{2d_A}{c}$» $\iff$ «$d_A=\frac{c(t_A-t_0)}{2}=\frac{3,0010^8\times 3,010^{-6}}{2}=4,5010^{2}m$» soit «$d_A=450m$»,

     $\succ$«$t_B-t_0=\frac{2d_B}{c}$» $\iff$ «$d_B=\frac{c(t_B-t_0)}{2}=\frac{3,0010^8\times 80,010^{-6}}{2}=1,2010^{4}m$» soit «$d_A=12,0km$» et

     $\succ$«$t_C-t_0=\frac{2d_C}{c}$» $\iff$ «$d_C=\frac{c(t_C-t_0)}{2}=\frac{3,0010^8\times 90,010^{-6}}{2}=1,3510^{4}m$» soit «$d_A=13,5km$».

     Explication de la diminution d'amplitude entre l'impulsion incidente et chaque impulsion écho : Il y a absorption partielle des ondes par l'air, ce qui explique que,
                Explication de la diminution d'amplitude entre l'impulsion incidente et chaque impulsion écho : plus la distance parcourue entre les dates d'émission et de réception est grande, plus l'amplitude de l'écho est faible.

 

Détermination des distances extrémales séparant un objet du radar en dessous et au-dessus de laquelle l'objet ne peut pas être détecté sur l'enregistrement étudié

     Montrer qu'il existe une distance minimale séparant un objet du « radar » en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un objet $\{$on calculera sa valeur numérique$\}$ et

     Montrer qu'il existe une distance maximale séparant un objet du « radar » au-dessus de laquelle on ne peut pas détecter un objet sur l'enregistrement étudié $\{$on calculera aussi sa valeur numérique$\}$.

Solution

     L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le 1^er écho détectable le sera à l'instant «$t_{1^{\text{er}}\text{écho}}=t_0+\tau =1,0\mu s$»
          L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance minimale de détection «$d_{\text{min}}$» telle que «$t_{1^{\text{er}}\text{écho}}-t_0=\frac{2d_{\text{min}}}{c}$» $\iff$ $d_{\text{min}}=\frac{c(t_{1^{\text{er}}\text{écho}}-t_0)}{2}$ ou
          L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance minimale de détection «$d_{\text{min}}=\frac{c\tau }{2}=\frac{3,0010^8\times 1,010^{-6}}{2}=1,5010^{2}m$» c.-à-d. «$d_{\text{min}}=150m$».

     L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le dernier écho détectable sur l'enregistrement de l'intervalle «$[t_0=0,0\mu s,t_1=t_0+T=100,0\mu s]$»
         L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, aussi le dernier écho détectable le sera à l'instant «$t_{\text{dern. écho}}=t_1=t_0+T=100,0\mu s$»
          L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance maximale de détection «$d_{\text{max}}$» telle que «$t_{\text{dern. écho}}-t_0=\frac{2d_{\text{max}}}{c}$» $\iff$ $d_{\text{max}}=\frac{c(t_{\text{dern. écho}}-t_0)}{2}$ ou
          L'antenne du « radar » ne peut pas détecter les échos tant qu'elle est émettrice, soit une distance maximale de détection «$d_{\text{max}}=\frac{cT}{2}=\frac{3,0010^8\times 100,010^{-6}}{2}=1,5010^{4}m$» ou «$d_{\text{max}}=15,0km$».

     Remarque : en théorie il n'est pas exclu qu'un objet séparé de l'antenne du « radar » d'une distance plus grande que «$d_{\text{max}}=15,0km$» renvoie un écho capté sur l'enregistrement suivant c'est-à-dire l'enregistrement de l'intervalle «$[t_1=100,0\mu s,t_2=t_1+T=200,0\mu s]$» mais
     Remarque : en pratique l'amplitude de l'écho serait suffisamment faible pour être quasi-inobservable, si toutefois l'observation était possible, on démontrerait que
     Remarque : en théorie seuls les objets séparés de l'antenne du « radar » d'une distance comprise entre $d_{max}+d_{min}=15,15km$ et $2d_{max}=30,0km$ seraient détectables d'où
     Remarque : en théorie en plus de la boule centrée sur l'antenne du « radar » et de rayon $150m$ à l'intérieur de laquelle les objets sont « passivement furtifs », on observe que
     Remarque : en théorie en plus de l'espace compris entre les sphères centrées sur l'antenne du « radar » et de rayons respectifs $15,0km$ et $15,15km$ est aussi une zone d'objets « passivement furtifs ».

 

1^ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler

     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », une 1^ère possibilité consiste à utiliser l'effet Doppler à savoir
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$»
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence $<$ à celle des oscillations de l'impulsion incidente selon «$f_{\text{écho}}=f(1-\frac{V}{c})$» ou
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », dans la mesure où l'objet « se rapproche du “ radar ” avec une vitesse $V$»
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », les oscillations de l'écho ont une fréquence $>$ à celle des oscillations de l'impulsion incidente selon «$f_{\text{écho}}=f(1+\frac{V}{c})$».

     Rappeler la raison du décalage en fréquence puis

     déterminer la variation relative de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ et

     conclure sur la précision de cette méthode.

Solution

     Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», la distance à parcourir par chaque oscillation d'une même impulsion avant d'être réfléchie sur l'objet $\nearrow$ avec le temps $t$ ;
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», notant «$t_{\text{émis}}$» l'instant générique d'émission des oscillations de l'impulsion envoyée à l'instant initial «$t_0=0$» tel que «$t_{\text{émis}}\in [0,\tau ]$» et
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», notant «$t_{\text{réfl}}$» l'instant générique de réflexion des oscillations de cette impulsion envoyée à l'instant initial «$t_0=0$», oscillations réfléchies sur l'objet mobile initialement à la distance $d_0$ de l'antenne et s'en éloignant à la vitesse $V$ $\Rightarrow$ «$c(t_{\text{réfl}}-t_{\text{émis}})=d_0+V(t_{\text{réfl}}-t_0)$» ou «$(1-\frac{V}{c})t_{\text{réfl}}=\frac{d_0}{c}+t_{\text{émis}}$» soit finalement
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», notant «$t_{\text{réfl}}\in [\frac{d_0}{c(1-\frac{V}{c})},\frac{d_0}{c(1-\frac{V}{c})}+\frac{\tau }{1-\frac{V}{c}}]$» ou «$t_{\text{réfl}}\in [\frac{d_0}{c}(1+\frac{V}{c}),(\frac{d_0}{c}+\tau )(1+\frac{V}{c})]$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» ,
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», la distance entre l'objet et le “ radar ” à la date générique «$t_{\text{réfl}}$» étant «$d_0+V(t_{\text{réfl}}-t_0)$» $\Rightarrow$ un retard temporel de l'oscillation au niveau de l'objet relativement à l'oscillation incidente de «$\frac{d_0+V(t_{\text{réfl}}-t_0)}{c}=\frac{d_0+V{t}_{\text{réfl}}}{c}$»,
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», nous en déduisons l'équation du signal incident à l'instant «$t_{\text{réfl}}$» «$a(t_{\text{réfl}})\cos \left\{2\pi f[t_{\text{réfl}}-\frac{d_0+V{t}_{\text{réfl}}}{c}]\right\}$» et
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», ce signal se réfléchissant sur l'objet et repartant en sens contraire est détecté par l'antenne devenue réceptrice à «$t_{\text{récept}}$» l'instant générique de réception des oscillations de cette impulsion envoyée à l'instant initial «$t_0=0$» et réfléchie par l'objet mobile $\Rightarrow$ «$c(t_{\text{récept}}-t_{\text{réfl}})=d_0+V(t_{\text{réfl}}-t_0)$» ou «$t_{\text{récept}}=\frac{d_0}{c}+(1+\frac{V}{c})t_{\text{réfl}}$» ou encore «$t_{\text{récept}}$ $=\frac{d_0}{c}+(1+\frac{V}{c})[\frac{d_0}{c(1-\frac{V}{c})}+\frac{t_{\text{émis}}}{(1-\frac{V}{c})}]$» ou «$t_{\text{récept}}=\frac{d_0}{c}+(1+2\frac{V}{c})[\frac{d_0}{c}+t_{\text{émis}}]$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» » soit finalement
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», notant «$t_{\text{récept}}\in [\frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c}),\frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c})+\tau (1+2\frac{V}{c})]$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» ou, compte-tenu de la petitesse de $\tau$,
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», notant «$t_{\text{récept}}\underset{\sim }{\in }[\frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c}),\frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c})+\tau ]$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$»  ;
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», la durée de propagation du signal jusqu'à l'antenne réceptrice après réflexion sur l'objet mobile est égale à celle écoulée entre l'émission par l'antenne et la réflexion par l'objet, c.-à-d. «$t_{\text{récept}}-t_{\text{réfl}}=t_{\text{réfl}}-t_{\text{émis}}$» $\Rightarrow$ «$2t_{\text{réfl}}=t_{\text{récept}}+t_{\text{émis}}$»,
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», nous en déduisons l'équation du signal écho à l'instant «$t_{\text{récept}}$» «$a(t_{\text{récept}})\cos \left[2\pi f(t_{\text{récept}}-\frac{2d_0+V{t}_{\text{récept}}}{c})\right]$» ou
           Si l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$», nous en déduisons l'équation du signal écho à l'instant «$t_{\text{récept}}$» «$a(t_{\text{récept}})\cos [2\pi f(1-\frac{V}{c})t_{\text{récept}}-4\pi f\frac{d_0}{c}]$» qui s'interprète comme un signal écho de « fréquence $f_{\text{écho}}=f(1-\frac{V}{c})$» qui se serait réfléchi sur un objet fixe situé initialement à la distance $d_0$ de l'antenne.

     La variation de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ serait de «$\Delta f=f_{\text{écho}}-f=-\frac{V}{c}f$» ce qui, numériquement, donnerait
     La variation de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ serait de «$\Delta f=-\frac{150}{310^8}\times 2,9010^9$ en $Hz$» soit «$\Delta f=1450Hz$» ne représentant que «$\frac{1450}{2,9010^9}\simeq 510^{-7}=$ $0,00005\mathrm{\%}$ de la fréquence des ondes » et nécessiterait une précision difficilement réalisable avec des appareils de « classe » usuelle.

 

2^ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du décalage temporel des échos de deux impulsions successives renvoyés par l'objet

     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », une 2^ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions successives renvoyé par le même objet mobile,
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le décalage temporel entre ces échos.

     Calculer le décalage temporel entre les échos de deux impulsions successives renvoyés par l'avion précédent s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ et
     commenter.

Solution

     Deux impulsions successives étant séparées d'une durée «$T=100,0\mu s$», nous pouvons affirmer les propriétés suivantes :

• une 1^ère impulsion émise à «$t_0=0$» se réfléchit sur l'avion créant un écho reçu par l'antenne $($réceptrice$)$ à l'instant «${t^{\prime }}_0=\frac{2d}{c}$», «$d$ étant la distance séparant le “ radar ” de l'avion à l'instant de la réflexion »,
• une 2^ème impulsion émise à «$t_1=T$» se réfléchit sur l'avion créant un écho reçu par l'antenne $($réceptrice$)$ à l'instant «${t^{\prime }}_1=\frac{2(d+VT)}{c}$», « l'avion s'étant éloigné de «$VT$» pendant la durée séparant ces deux impulsions »,
• etc. $\dots$

     On en déduit la durée séparant la réception des échos de deux impulsions successives «$\Delta t^{\prime }={t^{\prime }}_1-{t^{\prime }}_0=2\frac{V}{c}T$»,
     On en déduit la mesure de ce décalage temporel «$\Delta t^{\prime }$» permettant effectivement d'en déduire la vitesse $V$ d'éloignement de l'avion suivant «$V=c\frac{\Delta t^{\prime }}{2T}$» ;

     On en déduit numériquement un avion s'éloignant du « radar » à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ conduit à un décalage temporel de l'écho de deux impulsions successives «$\Delta t^{\prime }=2\times \frac{150}{310^8}\times 10010^{-6}$ $\simeq 10^{-10}$ en $s$» soit «$\Delta t^{\prime }=0,100ns$» représentant «$\frac{0,10010^{-3}}{100,0}\simeq 1,010^{-6}=0,0001\mathrm{\%}$ de l'intervalle séparant deux impulsions successives » ;
     On en déduit numériquement le fait que le décalage temporel de l'écho de deux impulsions successives renvoyé par l'avion ne représente que «$0,0001\mathrm{\%}$ de l'intervalle $T$ séparant ces deux impulsions » nécessite, pour être détecté, une très grande précision tout aussi difficilement réalisable que celle sur la mesure de la différence de fréquence due à l'effet Doppler même si, dans le cas présent, il a une amélioration par rapport à la méthode de l'effet Doppler d'un facteur $2$.

 

3^ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du déphasage des échos de deux impulsions successives en phase renvoyés par l'objet

     Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », une 3^ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions successives en phase renvoyé par le même objet mobile,
           Pour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », en mesurant simplement le déphasage entre ces échos.

     Exprimer ce déphasage entre les échos de deux impulsions successives en phase, renvoyés par un objet s'éloignant du « radar » à une vitesse $V$, en fonction de $V$, de la durée $T$ entre les impulsions et de la longueur d'onde $\lambda$ des oscillations ;

     calculer ce déphasage dans le cas de l'avion précédent s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ et
     commenter.

Solution

     Les oscillations de la 1^ère impulsion émise à $t_0=0$ débutent leur réflexion sur l'objet mobile, initialement distant du “ radar ” de $d_0$, à «$t_{\text{réfl},i,1}\simeq \frac{d_0}{c}(1+\frac{V}{c})$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» puis
           Les oscillations de la 1^ère impulsion émise à $t_0=0$ se propagent en sens inverse et commencent leur détection par l'antenne $($réceptrice$)$ à «$t_{\text{récept},i,1}\simeq \frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c})$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$»,
           Les oscillations de la 1^ère impulsion émise à $t_0=0$ le signal écho reçu s'écrivant «$a(t_{\text{récept},1})\cos \left[2\pi f(t_{\text{récept},1}-\frac{2d_0+V{t}_{\text{récept},1}}{c})\right]$» dans lequel $t_{\text{récept},1}$ est l'instant générique des oscillations de l'écho de la 1^ère impulsion c.-à-d. tel que $t_{\text{récept},1}\in [t_{\text{récept},i,1},t_{\text{récept},f,1}]$ avec «$t_{\text{récept},f,1}\simeq \frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c})+\tau$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» ;

     les oscillations de la 2^ème impulsion émise à $t_1=T$ débutent leur réflexion sur l'objet mobile $\{$lequel s'est déplacé de $VT$ sur $[t_0=0,t_1=T]\}$, à l'instant «$t_{\text{réfl},i,2}\simeq \frac{d_0+VT}{c}(1+\frac{V}{c})\simeq$ $\frac{d_0}{c}(1+\frac{V}{c})+\frac{VT}{c}$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» puis
          Les oscillations de la 2^ème impulsion émise à $t_1=T$ se propagent en sens inverse et commencent leur détection par l'antenne $($réceptrice$)$ à l'instant «$t_{\text{récept},i,2}\simeq \frac{2(d_0+VT)}{c}(1+\frac{V}{c})\simeq$ $\frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c})+\frac{2VT}{c}$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$»,
          Les oscillations de la 2^ème impulsion émise à $t_1=T$ le signal écho reçu s'écrivant «$a(t_{\text{récept},2})\cos \left[2\pi f(t_{\text{récept},2}-\frac{2(d_0+VT)+V(t_{\text{récept},2}-t_1)}{c})\right]$» dans lequel $t_{\text{récept},2}$ est l'instant générique des oscillations de l'écho de la 2^ème impulsion c'est-à-dire tel que $t_{\text{récept},2}\in [t_{\text{récept},i,2},t_{\text{récept},f,2}]$ avec «$t_{\text{récept},f,2}\simeq \frac{2d_0}{c}(1+\frac{V}{c})+\frac{2VT}{c}+\tau$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» ;

     de ce qui précède nous déduisons le décalage temporel entre les échos de ces impulsions successives lors de leur début de réception par l'antenne $($réceptrice$)$ «$\Delta t_{\text{récept}}=t_{\text{récept},i,2}-t_{\text{récept},i,1}\simeq \frac{2VT}{c}$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» $\{$décalage temporel constant à l'ordre un en $\frac{V}{c}$ pendant toute la réception, «$t_{\text{récept},f,2}-t_{\text{récept},f,1}\simeq \frac{2VT}{c}$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$»$\}$, puis

     de ce qui précède nous déduisons leur déphasage initial «$\Delta {\phi }_{\text{echos success}}\simeq -2\pi f\frac{2VT}{c}=-2\pi \frac{2VT}{\frac{c}{f}}$ à l'ordre un en $\frac{V}{c}$» soit, avec la « longueur d'onde $\lambda =\frac{c}{f}$», «$\Delta {\phi }_{\text{echos success}}\simeq -\frac{4\pi VT}{\lambda }$» ;

     numériquement, avec l'avion s'éloignant à la vitesse «$V=150m\cdot s^{-1}$» on a «$\Delta {\phi }_{\text{echos success}}=-\frac{4\times \pi \times 150,0\times 10010^{-6}}{0,103}$» soit
     numériquement, avec l'avion s'éloignant à la vitesse «$V=150m\cdot s^{-1}$» on a «$\Delta {\phi }_{\text{echos success}}\simeq -1,83rad\simeq -105\text{°}$» largement mesurable.

 

Détermination de la vitesse d'éloignement (ou d'approche) d'un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée

     Un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée de l'antenne du “ radar ” a une « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» décomposable en

• une vitesse longitudinale $V_{\text{longitudinale}}$ déterminable par l'une des trois méthodes exposées précédemment et
• une vitesse transversale $V_{\text{transversale}}$ inéligible à l'utilisation de l'une des trois méthodes exposées précédemment.

     Proposer un moyen de déterminer cette composante transversale de la « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» $\{$on pensera à utiliser la détermination des positions de l'objet lors d'envoi successif d'impulsions$\}$ ;

     en déduire la détermination de la norme de la « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» $V$ de l'objet.

Solution

     Pour déterminer la composante transversale de la « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» de l'objet relativement à l'antenne du “ radar ”, il suffit

• de repérer, sur l'écran, les différentes positions successives de la cible pour en déduire la distance ${\delta }_{\perp }$ parcourue perpendiculairement à la ligne de visée et
• de diviser la distance ${\delta }_{\perp }$ parcourue perpendiculairement à la ligne de visée par la durée écoulée entre les impulsions extrêmes ayant permis de positionner la cible d'où la vitesse transversale «$V_{\text{transversale}}=\frac{{\delta }_{\perp }}{(n-1)T}$» avec
  $n$ le nombre d'impulsions extrêmes ayant permis de positionner la cible ;

     ayant déterminé la vitesse longitudinale «$V_{\text{longitudinale}}$» par l'une des trois méthodes exposées précédemment, on en déduit la norme de la « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» de l'objet relativement à l'antenne du “ radar ” par «$V=\sqrt{V_{\text{longitudinale}}^2+V_{\text{transversale}}^2}$».

 

Célérité des ondes sismiques

Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide nulle

     On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie $($voir figure ci-contre$)$.

     Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse $m$, reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur $k$, susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe $(Ox)$.
     Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse $x_n^0=na$ sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
     On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses $x_n(t)=x_n^0+{\xi }_n(t)$ où leurs déplacements ${\xi }_n(t)$ sont supposés faibles devant $a$.

Équation différentielle du mouvement du n^ème atome

     Établir l'équation différentielle en ${\xi }_n(t)$ du mouvement de l'atome $(n)$,
     la mettre sous la forme «${\ddot{\xi }}_n(t)={\omega }_0^2[{\xi }_{n+1}(t)+{\xi }_{n-1}(t)-2{\xi }_n(t)]$» et

     exprimer ${\omega }_0$ en fonction des données ;

     quelle est sa signification concrète ?

Solution

Forces agissant sur un atome lors de la modélisation des interactions de ses voisins par un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide nulle

     Le n^ème atome subit l’action des tensions des ressorts modélisant l'interaction avec ses voisins c'est-à-dire ${\overrightarrow{T}}_{n\leftarrow n-1}$ et ${\overrightarrow{T}}_{n\leftarrow n+1}$ :

• «${\overrightarrow{T}}_{n\leftarrow n-1}=-k(a+{\xi }_n-{\xi }_{n-1}){\overrightarrow{u}}_x$», $O_{n-1}{O}_n=a$ étant la longueur à l'équilibre du ressort de gauche et aussi son allongement à l’équilibre $($la longueur à vide étant supposée nulle$)$, il faut lui « ajouter ${\xi }_n-{\xi }_{n-1}$  pour avoir l’allongement total » ;
• «${\overrightarrow{T}}_{n\leftarrow n+1}=k(a+{\xi }_{n+1}-{\xi }_n){\overrightarrow{u}}_x$», $O_n{O}_{n+1}=a$ étant la longueur à l'équilibre du ressort de droite et aussi son allongement à l’équilibre $($la longueur à vide étant supposée nulle$)$, il faut lui « ajouter ${\xi }_{n+1}-{\xi }_n$  pour avoir l’allongement total »,

     Appliquant la r.f.d.n. $($relation fondamentale de la dynamique newtonienne$)$ à l’atome $(n)$ nous obtenons, en projection sur $x^{\prime }x$ :
          «$T_{n\leftarrow n-1,x}+T_{n\leftarrow n+1,x}=m{\ddot{x}}_n$» soit encore «$-k(a+{\xi }_n-{\xi }_{n-1})+k(a+{\xi }_{n+1}-{\xi }_n)=m{\ddot{x}}_n$» ou,
          en utilisant «$x_n=na+{\xi }_n$ $\Rightarrow$ ${\ddot{x}}_n={\ddot{\xi }}_n$» et
          en simplifiant après développement du membre de gauche «$k({\xi }_{n+1}+{\xi }_{n-1}-2{\xi }_n)=m{\ddot{\xi }}_n$» soit enfin, après normalisation «${\ddot{\xi }}_n=\frac{k}{m}({\xi }_{n+1}+{\xi }_{n-1}-2{\xi }_n)$» ;      posant «${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$», l'équation différentielle se réécrit selon «${\ddot{\xi }}_n={\omega }_0^2({\xi }_{n+1}+{\xi }_{n-1}-2{\xi }_n)$»,      «${\omega }_0$ étant la pulsation propre d'oscillation d'un atome qui ne serait soumis qu'à l'action d'un seul voisin » .

 

Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente

     Une onde sismique harmonique de pulsation $\omega$ étant décrite par une solution de la forme «${\xi }_n(t)=A\sin (\omega t-\alpha x_n^0)$» où $A$ et $\alpha$ sont des constantes,
     vérifier qu'une telle solution n'est possible que « si $\frac{\omega }{{\omega }_0}$ et $\alpha a$ sont reliés par une condition $(C)$» .

Solution

     On souhaite vérifier qu'une onde sismique de la forme «${\xi }_n(t)=A\sin (\omega t-\alpha x_n^0)=A\sin (\omega t-\alpha na)$» est solution de l'équation différentielle «${\ddot{\xi }}_n={\omega }_0^2({\xi }_{n+1}+{\xi }_{n-1}-2{\xi }_n)$» et pour cela
     on introduit la grandeur instantanée complexe «$\underset{\_}{{\xi }_n}(t)=\underset{\_}{A_n}\exp (i\omega t)$» avec «$\underset{\_}{A_n}=A\exp (-i\alpha na)$ l'amplitude complexe »,
     on introduit l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe $\underset{\_}{{\xi }_n}(t)$ obéit étant celle à laquelle la grandeur instantanée sinusoïdale ${\xi }_n(t)=\mathrm{\Im }[\underset{\_}{{\xi }_n}(t)]$ obéit soit «$\ddot{\underset{\_}{{\xi }_n}}={\omega }_0^2(\underset{\_}{{\xi }_{n+1}}+\underset{\_}{{\xi }_{n-1}}-2\underset{\_}{{\xi }_n})$»      on introduit l'équation différentielle se réécrivant, avec «$\ddot{\underset{\_}{{\xi }_n}}=(i\omega {)}^2\underset{\_}{{\xi }_n}=-{\omega }^2\underset{\_}{{\xi }_n}$», «$\underset{\_}{{\xi }_{n+1}}\text{et}\underset{\_}{{\xi }_{n-1}}$ s'exprimant en fonction de $\underset{\_}{{\xi }_n}$ selon $\left\{\begin{array}{c}\underset{\_}{{\xi }_{n+1}}(t)=\underset{\_}{{\xi }_n}(t)\exp (-i\alpha a)\\ \text{et}\\ \underset{\_}{{\xi }_{n-1}}(t)=\underset{\_}{{\xi }_n}(t)\exp (i\alpha a)\end{array}\right\}$»,
     on introduit l'équation différentielle se réécrivant, «$-{\omega }^2\underset{\_}{{\xi }_n}(t)={\omega }_0^2[\exp (-i\alpha a)+\exp (i\alpha a)-2]\underset{\_}{{\xi }_n}(t)$» ou, avec $\underset{\_}{{\xi }_n}(t)=\underset{\_}{A_n}\exp (i\omega t)$ et en simplifiant par $\exp (i\omega t)$,
     on introduit l'équation différentielle se réécrivant, «$-{\omega }^2\underset{\_}{A_n}={\omega }_0^2[\exp (-i\alpha a)+\exp (i\alpha a)-2]\underset{\_}{A_n}$» admettant une autre solution que $\underset{\_}{A_n}=0$ à condition que «$-{\omega }^2={\omega }_0^2[2\cos (\alpha a)-2]$» ou
«${\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2=2[1-\cos (\alpha a)]$
     «${\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2$ $=4{\sin }^2\left(\frac{\alpha a}{2}\right)$» ,
soit «$\frac{\omega }{{\omega }_0}=2|\sin \left(\frac{\alpha a}{2}\right)|$» ;      finalement la « condition $(C)$ pour que l'onde sismique ${\xi }_n(t)=A\sin (\omega t-\alpha na)$ soit solution de l'équation différentielle ${\ddot{\xi }}_n={\omega }_0^2({\xi }_{n+1}+{\xi }_{n-1}-2{\xi }_n)$» est «$\frac{\omega }{{\omega }_0}=2|\sin \left(\frac{\alpha a}{2}\right)|$».

 

Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus

     On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus ce qui correspond dans le cas présent à
     On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle « la distance $a$ séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant » soit
     On se place maintenant dans l'hypothèse dans laquelle «$a\ll \frac{1}{|\alpha |}\iff |\alpha |a\ll 1$» ;

          On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus en déduire que la condition $(C)$ se simplifie en «$\frac{\omega }{{\omega }_0}=|\alpha |a$».

     Dans toute la suite, on admet que «$\frac{\omega }{|\alpha |}$ est la célérité $c$ des ondes sismiques ».

Solution

     Dans l'approximation des milieux continus où «$a$ est suffisamment petite pour l'onde sismique » c.-à-d. telle que «$a\ll \frac{1}{\alpha }\iff \alpha a\ll 1$», le « produit $\alpha a$ peut être considéré comme infiniment petit » et par suite
          Dans l'approximation des milieux continus «$\sin \left(\frac{\alpha a}{2}\right)\simeq \frac{\alpha a}{2}$» d'où la réécriture de la condition $(C)$ «$\frac{\omega }{{\omega }_0}=2|\sin \left(\frac{\alpha a}{2}\right)|$» sous la forme «$\frac{\omega }{{\omega }_0}\simeq 2\left|\frac{\alpha a}{2}\right|=|\alpha |a$»
ou encore «$\frac{\omega }{|\alpha |}\simeq {\omega }_{0}a$» ;      admettant que «$\frac{\omega }{|\alpha |}=c$» c'est-à-dire définissant « la célérité de propagation des ondes sismiques dans le milieu constitué de la chaîne d'atomes », on en déduit que, dans l'approximation des milieux continus, «$c\simeq {\omega }_{0}a$».

 

Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer

     On cherche à évaluer un ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques $c_{Fe}$ dans le fer et pour cela,
     On cherche à évaluer on donne la « masse molaire atomique du Fer $M_{Fe}=56g\cdot mo{l}^{-1}$» ainsi que « sa masse volumique ${\mu }_{Fe}=7,9l{0}^{3}kg\cdot m^{-3}$» et
     On cherche à évaluer on rappelle les valeurs suivantes : « un électronvolt $=1eV=1,610^{-19}J$» et la « constante d'Avogadro $𝒩=$ $6,0210^{23}mo{l}^{-1}$».

     Calculer la distance $a$ séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est $a^3$.

     Rappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur $k$ et d'allongement $a$ ;

     Rappeler, sans démonstration, en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à $2eV$, calculer $k$ ;

     Rappeler, sans démonstration, en déduire un ordre de grandeur de $c_{Fe}$ et

     Rappeler, sans démonstration, commenter.

Solution

     Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : le « volume moyen disponible par atome étant $a^3$», la « densité d’atomes par unité de volume est $N_V=\frac{1}{a^3}$»  ;
     Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse $m_{\text{atome},Fe}$ d'un atome » se déduit de la « masse molaire atomique $M_{Fe}$» et de la « constante d'Avogadro $𝒩$» par
     Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse $m_{\text{atome}}$ d'un atome » «$m_{\text{atome},Fe}=\frac{M_{Fe}}{𝒩}$» ; enfin
     Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : la « masse volumique ${\mu }_{Fe}$ est liée à la densité volumique d'atomes $N_V$ par ${\mu }_{Fe}=m_{\text{atome},Fe}{N}_V$» d'où
     Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : «$N_V=\frac{{\mu }_{Fe}}{m_{\text{atome},Fe}}=\frac{{\mu }_{Fe}𝒩}{M_{Fe}}$» $\Rightarrow$ «$a^3=\frac{1}{N_V}=\frac{M_{Fe}}{{\mu }_{Fe}𝒩}$» et par suite «$a=\sqrt[3]{\frac{M_{Fe}}{{\mu }_{Fe}𝒩}}$» soit numériquement
     Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer : «$a=\sqrt[3]{\frac{5610^{-3}}{7,910^3\times 6,0210^{23}}}\simeq 2,27510^{-10}m$» ou, en unité adaptée «$a\simeq 0,227nm$» .

     Calcul de «$k$» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : l'« énergie potentielle associée à un ressort de raideur $k$ et d'allongement $a$ étant $U_{\text{élast}}=\frac{1}{2}k{a}^2$»
     Calcul de «$k$» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : l'« énergie potentielle avec « choix de la référence lorsque le ressort est au repos », et
     Calcul de «$k$» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : en identifiant cette énergie à l'énergie de liaison ${ℰ}_{\text{liaison}}$ entre deux atomes soit «$U_{\text{élast}}={ℰ}_{\text{liaison}}$» ou «$\frac{1}{2}k{a}^2={ℰ}_{\text{liaison}}$» on en déduit
     Calcul de «$k$» raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique : «$k=\frac{2{ℰ}_{\text{liaison}}}{a^2}$» soit numériquement «$k=\frac{2\times (2\times 1,610^{-19})}{(0,22710^{-9}{)}^2}$ en $N\cdot m^{-1}$» ou «$k\simeq 12,37N\cdot m^{-1}$».

     Ordre de grandeur de «$c_{Fe}$» célérité des ondes sismiques dans le fer : admettant «$c_{Fe}={\omega }_{0}a$» avec «${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m_{\text{atome},Fe}}}$» soit, en y reportant «$m_{\text{atome},Fe}=\frac{M_{Fe}}{𝒩}$», «${\omega }_0=\sqrt{\frac{k𝒩}{M_{Fe}}}$» on en déduit
     Ordre de grandeur de «$c_{Fe}$» célérité des ondes sismiques dans le fer : «$c_{Fe}=a\sqrt{\frac{k𝒩}{M_{Fe}}}$» soit numériquement «$c_{Fe}=0,22710^{-9}\times \sqrt{\frac{12,37\times 6,0210^{23}}{5610^{-3}}}$ en $m\cdot s^{-1}$» ou «$c_{Fe}\simeq 2623m\cdot s^{-1}$» ;

     Ordre de grandeur de «$c_{Fe}$» célérité des ondes sismiques dans le fer : il s'agit effectivement de l'ordre de grandeur de la célérité des ondes dans les solides.