Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

Effet Doppler

......Une onde sinusoïdale de fréquence $\;f\;$ se propage dans la direction $\;(Ox)\;$ dans le sens des $\;x\nearrow \;$ avec la célérité $\;c$ ; un observateur $\;O'\;$ se déplace à la vitesse $\;{\vec {v}}=v\,{\vec {u}}_{x}\;$ où $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est le vecteur unitaire de l'axe $\;(Ox)\;$ dans le sens des $\;x\nearrow$.

Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t

......Expliciter le signal $\;s(x,\,t)\;$ associé à l'onde sinusoïdale au point $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;t$, on définira toutes les notations nécessaires.

Solution

......L'onde étant sinusoïdale de fréquence $\;f$, sa pulsation temporelle est $\;\omega =2\,\pi \,f\;$ et, notant son expression en $\;O\;$ selon $\;s(0,\,t)=a_{0}\,\cos(2\,\pi \,f\,t+\varphi )\;$ on en déduit $\;s(x,\,t)=$ $s\!\left(0,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)\;$ soit encore

$\;s(x,\,t)=a_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi \right]=a_{0}\,\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi \,f}{c}}\,x+\varphi \right)\;$ ou,
en introduisant la pulsation spatiale $\;k={\dfrac {\omega }{c}}=$ ${\dfrac {2\,\pi \,f}{c}}={\dfrac {2\,\pi }{\dfrac {c}{f}}}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}$, $\;\lambda \;$ étant la longueur d'onde du signal dans le milieu de propagation,
$\;s(x,\,t)=a_{0}\,\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x+\varphi \right)$.

 

Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t

......Pour l'observateur $\;O'\;$ en mouvement, le point $\;M\;$ est repéré par une abscisse $\;x'\;$ le long de l'axe $\;(O'x)\;$ en translation uniforme relativement à l'axe $\;(Ox)\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {v}}=v\,{\vec {u}}_{x}$ ; expliciter $\;x'\;$ en fonction de l'abscisse $\;x\;$ du point $\;M\;$ relativement à l'axe $\;(Ox)$, $\;v\;$ et $\;t\;$ puis

............réécrire l'expression du signal $\;s(x',t)\;$ au point $\;M\;$ d'abscisse $\;x'\;$ repérée relativement à l'axe $\;(O'x)\;$ et à l'instant $\;t$.

Solution

......Dans le référentiel en mouvement lié à l'observateur $\;O'$, le point $\;M$, d'abscisse $\;x\;$ sur l'axe fixe $\;(Ox)$, étant repéré par une abscisse $\;x'\;$ le long d'un axe $\;(O'x)\;$ en translation uniforme relativement à l'axe $\;(Ox)\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {v}}=v\,{\vec {u}}_{x}$, on en déduit la relation $\;x=x'+v\,t\;$ ou

$\;x'=x-v\,t\;$

et par suite $\;s(x',\,t)=s(x-v\,t,\,t)\;$ soit, en utilisant l'expression déterminée précédemment

$\;s(x',\,t)=a_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\left(x-v\,t\right)+\varphi \right]\;$ ou
$\;s(x',\,t)=$ $a_{0}\,\cos \!\left(2\,\pi \,f\,t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x+{\dfrac {2\,\pi \,v}{\lambda }}\,t+\varphi \right)$.

 

Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement

......De l'expression de $\;s(x',t)\;$ en déduire l'expression de la fréquence $\;f'\;$ pour l'observateur en mouvement.

............Comparer $\;f'\;$ et $\;f\;$ suivant le signe de $\;v$.

Solution

...... On peut réécrire le signal précédent sous la forme $\;s(x',\,t)=a_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \left(f+{\dfrac {v}{\lambda }}\right)t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x+\varphi \right]\;$ ou, en réintroduisant la fréquence dans le terme « longueur d'onde » par $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}\;$ et, en factorisant par $\;f$, on obtient l'expression $\;s(x',\,t)=a_{0}\,\cos \!\left[2\,\pi \,f\left(1+{\dfrac {v}{c}}\right)t-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x+\varphi \right]\;$ montrant que, pour l'observateur se déplaçant à la vitesse $\;v$, l'onde qu'il reçoit à l'instant $\;t\;$ et à l'abscisse $\;x\;$ de l'axe $\;(Ox)\;$ fixe est la même que celle qu'il recevrait en restant immobile au même point et au même instant avec une fréquence $\;f'=f\left(1+{\dfrac {v}{c}}\right)\;$  ;

• si <math\;>v > 0</math>, c'est-à-dire si l'observateur se déplace dans le sens de propagation de l'onde, la fréquence $\;f'\;$ qu'il perçoit est plus grande que celle émise $\;f$, $\;f'>f$ ;
• si $\;v<0$, c'est-à-dire si l'observateur se déplace dans le sens contraire de propagation de l'onde, la fréquence $\;f'\;$ qu'il perçoit est plus petite que celle émise $\;f$, $\;f'<f$.

 

Application à un exemple de la vie courante

......Vous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?

Solution

......Marchant dans la rue, un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse :

• tant qu'il est derrière vous, vous vous déplacez dans le même sens que celui de la propagation, la fréquence reçue est donc plus élevée que la fréquence émise, le son apparaît plus aigu que celui émis,
• mais dès qu'il vous a dépassé, l'onde que vous recevez se propageant en sens inverse de celui de votre marche, la fréquence reçue est donc plus basse que la fréquence émise, le son apparaît plus grave que celui émis.

 

Célérité des ondes sismiques

Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle

......On modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie (voir figure ci-contre). Les atomes sont assimilés à des points matériels de même masse $\;m$, reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur $\;k$, susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe $\;(Ox)$.
......Ces ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse $\;x_{n}^{0}=n\,a\;$ sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
......On repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses $\;x_{n}(t)=x_{n}^{0}+\xi _{n}(t)\;$ où leurs déplacements $\;\xi _{n}(t)\;$ sont supposés faibles devant $\;a$.

Équation différentielle du mouvement du n^e atome

......Établir l'équation différentielle du mouvement de l'atome $\;(n)$, on la mettra sous la forme suivante $\;{\ddot {\xi }}_{n}(t)=\omega _{0}^{2}\left[\xi _{n+1}(t)+\xi _{n-1}(t)-2\,\xi _{n}(t)\right]\;$ et

............exprimer $\;\omega _{0}\;$ en fonction des données ;

............quelle est sa signification concrète ?

Solution

Forces agissant sur un atome lors de la modélisation des interactions de ses voisins par un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle

......Le n^e atome subit l’action des tensions des ressorts modélisant l'interaction avec ses voisins c'est-à-dire $\;{\vec {T}}_{n\leftarrow n-1}\;$ et $\;{\vec {T}}_{n\leftarrow n+1}$ :

• $\;{\vec {T}}_{n\leftarrow n-1}=-k\,(a+\xi _{n}-\xi _{n-1})\,{\vec {u}}_{x}\;$ car la distance $\;O_{n-1}O_{n}=a\;$ longueur à l'équilibre du ressort de gauche est aussi son allongement à l’équilibre dans la mesure où la longueur à vide est supposée nulle, il faut lui ajouter $\;\xi _{n}-\xi _{n-1}\;$  pour avoir l’allongement total ;
• $\;{\vec {T}}_{n\leftarrow n+1}=k\,(a+\xi _{n+1}-\xi _{n})\,{\vec {u}}_{x}\;$ car la distance $\;O_{n}O_{n+1}=a\;$ longueur à l'équilibre du ressort de droite est aussi son allongement à l’équilibre dans la mesure où la longueur à vide est supposée nulle, il faut lui ajouter $\;\xi _{n+1}-\xi _{n}\;$  pour avoir l’allongement total,

......Appliquant la r.f.d.n. à l’atome $\;(n)\;$ nous obtenons, en projection sur $\;x'x$ :
............$m\,{\ddot {x}}_{n}=-k\,(a+\xi _{n}-\xi _{n-1})+k\,(a+\xi _{n+1}-\xi _{n})\;$ ou, en utilisant $\;x_{n}=n\,a+\xi _{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {x}}_{n}={\ddot {\xi }}_{n}$, $\;m\,{\ddot {\xi }}_{n}=k\,(\xi _{n+1}+\xi _{n-1}-2\,\xi _{n})\;$ soit, en normalisant

$\;{\ddot {\xi }}_{n}={\dfrac {k}{m}}\,(\xi _{n+1}+\xi _{n-1}-2\,\xi _{n})$ ;

............posant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, l'équation différentielle se réécrit selon $\;{\ddot {\xi }}_{n}=\omega _{0}^{2}\,(\xi _{n+1}+\xi _{n-1}-2\,\xi _{n})$, $\;\omega _{0}\;$ étant la « pulsation propre d'oscillation d'un atome qui serait soumis à l'action d'un seul voisin » .

 

Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente

......Une onde sismique harmonique de pulsation $\;\omega \;$ étant décrite par une solution de la forme $\;\xi _{n}(t)=A\,\sin(\omega \,t-\alpha \,x_{n}^{0})\;$ où $\;A\;$ et $\;\alpha \;$ sont des constantes, vérifier qu'une telle solution n'est possible que si $\;{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\;$ et $\;\alpha \,a\;$ sont reliés par une condition $\;(C)\;$ .

Solution

......On souhaite vérifier qu'une onde sismique de la forme $\;\xi _{n}(t)=A\,\sin(\omega \,t-\alpha \,x_{n}^{0})\;$ ou encore $\;\xi _{n}(t)=A\,\sin(\omega \,t-\alpha \,n\,a)\;$ est solution de l'équation différentielle précédemment écrite et pour cela
......on introduit la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {\xi _{n}}}(t)={\underline {A_{n}}}\,\exp(i\,\omega \,t)\;$ où $\;{\underline {A_{n}}}=A\,\exp(-i\,\alpha \,n\,a)\;$ est l'amplitude complexe, l'équation différentielle à laquelle la grandeur instantanée complexe $\;{\underline {\xi _{n}}}(t)\;$ obéit étant $\;{\ddot {\underline {\xi _{n}}}}=\omega _{0}^{2}\,({\underline {\xi _{n+1}}}+{\underline {\xi _{n-1}}}-2\,{\underline {\xi _{n}}})\;$ se réécrit, avec $\;{\ddot {\underline {\xi _{n}}}}=(i\,\omega )^{2}\,{\underline {\xi _{n}}}=-\omega ^{2}\,{\underline {\xi _{n}}}$, $\;{\underline {\xi _{n+1}}}\;{\text{et}}\;{\underline {\xi _{n-1}}}\;$ s'exprimant en fonction de $\;{\underline {\xi _{n}}}\;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {\xi _{n+1}}}(t)={\underline {\xi _{n}}}(t)\,\exp(-i\,\alpha \,a)\\{\text{et}}\\{\underline {\xi _{n-1}}}(t)={\underline {\xi _{n}}}(t)\,\exp(i\,\alpha \,a)\end{array}}\right\rbrace$, $\;-\omega ^{2}\,{\underline {\xi _{n}}}(t)=$ $\omega _{0}^{2}\left[\exp(-i\,\alpha \,a)+\exp(i\,\alpha \,a)-2\right]{\underline {\xi _{n}}}(t)\;$ ou, en simplifiant par $\;\exp(i\,\omega \,t)$, $\;-\omega ^{2}\,{\underline {A_{n}}}=\omega _{0}^{2}\left[\exp(-i\,\alpha \,a)+\exp(i\,\alpha \,a)-2\right]{\underline {A_{n}}}\;$ qui admet une autre solution que $\;{\underline {A_{n}}}=0\;$ si

$\;-\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}\left[2\,\cos(\alpha \,a)-2\right]\;$ ou $\;\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!2}=2\left[1-\cos(\alpha \,a)\right]$,
second membre que l'on peut réécrire sous forme d'un carré en utilisant la formule de trigonométrie suivante $\;1-\cos(2\,x)=2\,\sin ^{2}(x)\;$ , soit
$\;\left({\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{\!2}=4\,\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\alpha \,a}{2}}\right)\;$ et
finalement la condition $\;(C)\;$ pour que l'onde sismique $\;\xi _{n}(t)=$ $A\,\sin(\omega \,t-\alpha \,n\,a)\;$ soit solution de l'équation différentielle $\;{\ddot {\xi }}_{n}=\omega _{0}^{2}\,(\xi _{n+1}+\xi _{n-1}-2\,\xi _{n})$,
$\;{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}=2\,\left\vert \sin \!\left({\dfrac {\alpha \,a}{2}}\right)\right\vert$.

 

Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus

......On se place maintenant dans l'approximation des milieux continus c'est-à-dire que la distance $\;a\;$ séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant, plus précisément on suppose $\;a\ll {\dfrac {1}{\alpha }}\Leftrightarrow \alpha \,a\ll 1$ ;

......montrer que la condition $\;(C)\;$ se simplifie en $\;{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}=\alpha \,a$.

............Dans toute la suite, on admet que $\;{\dfrac {\omega }{\alpha }}\;$ est la célérité « c » des ondes sismiques .

Solution

......Dans l'approximation des milieux continus où $\;a\;$ est suffisamment petite pour l'onde sismique c'est-à-dire telle que $\;a\ll {\dfrac {1}{\alpha }}\Leftrightarrow \alpha \,a\ll 1$, le produit $\;\alpha \,a\;$ peut être considéré comme infiniment petit et par suite $\;\sin \!\left({\dfrac {\alpha \,a}{2}}\right)\simeq {\dfrac {\alpha \,a}{2}}\;$ d'où la réécriture de la condition $\;(C)\;$ sous la forme

$\;{\dfrac {\omega }{\omega _{0}}}\simeq 2\,{\dfrac {\alpha \,a}{2}}=\alpha \,a\;$ ou encore $\;{\dfrac {\omega }{\alpha }}\simeq \omega _{0}\,a$ ;

............admettant que $\;{\dfrac {\omega }{\alpha }}=c\;$ c'est-à-dire la célérité de propagation des ondes sismiques dans le milieu constitué de la chaîne d'atomes, on en déduit,

dans l'approximation des milieux continus, $\;c\simeq \omega _{0}\,a$.

 

Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer

......On cherche à évaluer un ordre de grandeur de $\;c\;$ dans le fer. On donne la masse molaire atomique du Fer $\;M_{Fe}=56\;g\!\cdot \!mol^{-1}\;$ ainsi que sa masse volumique $\;\mu =7,9\;l0^{3}\;kg\!\cdot \!m^{-3}\;$ et on rappelle :
......un électronvolt $\;=1\;eV=1,6\;10^{-19}\;J\;$ et le nombre d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}=$ $6,02\;10^{23}\;mol^{-1}$.

............Calculer la distance $\;a\;$ séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est $\;a^{3}$.

............Rappeler sans démonstration l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur $\;k\;$ et d'allongement $\;a$ ;

..................En identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à $\;2\;eV$, calculer $\;k$.

............En déduire un ordre de grandeur de $\;c\;$ et

..................commenter.

Solution

......Distance moyenne d'équilibre séparant deux atomes consécutifs de fer :
............le volume moyen disponible par atome étant $\;a^{3}$, la densité d’atomes par unité de volume est $\;N_{V}={\dfrac {1}{a^{3}}}\;$  ;
............la masse $\;m_{\text{atome}}\;$ d'un atome se déduit de la masse molaire atomique $\;M_{Fe}\;$ et du nombre d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\;$ par $\;m_{\text{atome}}={\dfrac {M_{Fe}}{\mathcal {N}}}$ ;
............enfin la masse volumique $\;\mu \;$ est liée à la densité volumique d'atomes $\;N_{V}\;$ par $\;\mu =m_{\text{atome}}\,N_{V}\;$ d'où $\;N_{V}={\dfrac {\mu }{m_{\text{atome}}}}={\dfrac {\mu \,{\mathcal {N}}}{M_{Fe}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;a^{3}={\dfrac {1}{N_{V}}}={\dfrac {M_{Fe}}{\mu \,{\mathcal {N}}}}\;$ et par suite $\;a={\sqrt[{3}]{\dfrac {M_{Fe}}{\mu \,{\mathcal {N}}}}}\;$ soit numériquement $\;a={\sqrt[{3}]{\dfrac {56\;10^{-3}}{7,9\;10^{3}\times 6,02\;10^{23}}}}\simeq 2,275\;10^{-10}\;m\;$ ou, en unité adaptée $\;a\simeq 0,227\;nm\;$ .

......Calcul de « k » raideur du ressort traduisant l'interaction interatomique :
............l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur $\;k\;$ et d'allongement $\;a\;$ étant $\;U_{\text{élast}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\,k\,a^{2}\;$ avec choix de la référence lorsque le ressort est au repos, et identifiant cette énergie à l'énergie de liaison entre deux atomes $\;{\mathcal {E}}_{\text{liaison}}\;$ on en déduit $\;k=$ ${\dfrac {2\,{\mathcal {E}}_{\text{liaison}}}{a^{2}}}\;$ soit numériquement $\;k={\dfrac {2\times (2\times 1,6\;10^{-19})}{(0,227\;10^{-9})^{2}}}\;$ en $\;N\!\cdot \!m^{-1}\;$ ou $\;k\simeq 12,37\;N\!\cdot \!m^{-1}$.

......Ordre de grandeur de « c » célérité des ondes sismiques dans le fer :
............ $c=\omega _{0}\,a\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m_{\text{atome}}}}}\;$ ou, en y reportant $\;m_{\text{atome}}={\dfrac {M_{Fe}}{\mathcal {N}}}$, $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k\,{\mathcal {N}}}{M_{Fe}}}}\;$ d'où
............$c=a\,{\sqrt {\dfrac {k\,{\mathcal {N}}}{M_{Fe}}}}\;$ soit numériquement $\;c=0,227\;10^{-9}\times {\sqrt {\dfrac {12,37\times 6,02\;10^{23}}{56\,10^{-3}}}}\;$ en $\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$ ou $\;c\simeq 2623\;m\!\cdot \!s^{-1}$ ;

..................il s'agit effectivement de l'ordre de grandeur de la célérité des ondes dans les solides.