Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence

Leçons de niveau 14
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Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
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Exercices no5
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
Exo suiv. :Propagation d'un signal : Battements
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
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Interférences sur une cuve à ondes[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide cuve à ondes
Surface de la cuves à ondes en éclairage stroboscopique, lignes d'interférences constructives et destructives avec contraste

     La figure ci-contre à droite représente ce qui est vu sur l'écran dépoli vertical d'une cuve à ondes sous éclairage stroboscopique dont le schéma est rappelé ci-contre à gauche.
     Deux pointes, distantes de , frappent en même temps, à intervalles réguliers, la surface de l'eau, générant deux ondes qui interfèrent.
     Les zones d'interférences constructives sont claires là où la surface de l'eau est convexe c'est-à-dire pour des crêtes et sombres là elle est concave c'est-à-dire pour des creux ;
     les zones d'interférences destructives ressortent en lumière peu intense et sans contraste.


Condition d'interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

     On suppose, pour simplifier, que des ondes sinusoïdales partent des deux points et où les pointes frappent la surface de l'eau.
     En notant la longueur d'onde, donner la condition pour que l'interférence en un point situé aux distances et respectivement de et , soit destructive.

Lieu d'interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

     Chaque lieu des points vérifiant cette condition est une courbe que l'on appelle dans la suite « ligne d'interférences destructives ».
     Les lignes d'interférences destructives sont représentées en gris sur la « figure de droite d'introduction de cet exercice ».

     Les demi-droites de l'axe définies par et étant des lignes d'interférences destructives, en déduire un « renseignement sur »,

     Les demi-droites de l'axe définies par et étant des lignes d'interférences destructives, quel est l'intervalle de variation de sur le segment  ?

     Les demi-droites de l'axe définies par et étant des lignes d'interférences destructives, Déduire de la figure la « valeur de ».

Explication du contraste au voisinage de l'axe de symétrie ne passant pas par les sources[modifier | modifier le wikicode]

     Expliquer pourquoi l'image est bien contrastée au voisinage de l'axe .

Explication de l'alternance zones claires, zones sombres[modifier | modifier le wikicode]

     On observe sur la « figure de droite d'introduction de cet exercice » que les zones claires et sombres sont alternées en opposition de phase de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives.

     On observe Le but de cette question est de comprendre pourquoi.

Expression des phases instantanées en M des ondes issues de chaque source[modifier | modifier le wikicode]

     On suppose la phase initiale de chacune des ondes nulle à la source ;
     exprimer les « phases instantanées et en des ondes et provenant respectivement des sources et » ;

     en déduire la « phase moyenne en , en fonction de , , , et » ;

     quelle est la nature d'une « courbe définie par la condition à fixé »[5] ?

Représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M d'une ligne d'interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

     On se place en un point d'une ligne d'interférences destructives .

     Représenter les vecteurs de Fresnel[7] correspondant aux ondes et en  ;

     faire apparaître, sur la figure, la phase moyenne .

Représentation des vecteurs de Fresnel associés aux ondes émises par chaque source en un point M' ou M’’, de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

     Que devient cette figure si l'on se place en un point proche de , du même côté de que [9] ou,

     Que devient cette figure si l'on se place en un point proche de , situé du même côté de que [9] ?

Conséquences sur les vibrations en M' et M’’ situés de part et d'autre d'une ligne d'interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

     Que peut-on dire des vibrations en et [11] ?

Interprétation d'expériences d'interférences ultrasonores[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental d'expériences d'ondes ultrasonores avec repérage angulaire du point d'observation

     Une expérience d'interférences d'ondes ultrasonores est réalisée comme rappelé ci-contre,
     la fréquence d'émission est égale à , ceci correspond à une longueur d'onde  [14] ;
     sauf dans la dernière question, les sources et émettent des ondes acoustiques en phase.

     On note le point milieu du segment joignant les deux émetteurs distants de et
     On note l'axe situé sur la médiatrice du segment et orienté vers la droite axe non représenté sur le schéma ci-contre.

     On déplace le microphone sur un grand cercle de rayon et
     on relève l'évolution de l'amplitude en fonction de l'angle que fait la direction avec l'axe .

Distance « angulaire » interfrange[modifier | modifier le wikicode]

     Faire une figure faisant apparaître les points , , positions des deux émetteurs supposés ponctuels et position du récepteur supposé ponctuel, pour un petit angle non nul, étant situé du même côté de la médiatrice de que le point .

     Tracer les arcs de cercle de centre passant par et de centre passant par on notera respectivement et leur intersection avec la droite .

     Que représente pour le phénomène d'interférences ?

     Puisque , on peut assimiler respectivement et avec les projetés orthogonaux de et de sur .

     En déduire une expression du déphasage entre les ondes reçues en en fonction de , et .

     Quelles sont, dans l'intervalle , les valeurs de où on observe un maximum d'amplitude résultante ?

Minima d'amplitude[modifier | modifier le wikicode]

     Sur l'intervalle d'étude précédent, quelles sont les positions où un minimum d'amplitude est attendu ?

     Si les ondes reçues ont même amplitude, quelle valeur d'amplitude minimale est prévue par la théorie ?

     Quels défauts peuvent expliquer un écart entre prévision et observation ?

Inversion de phase[modifier | modifier le wikicode]

     Le dispositif permet d'« inverser » [25] le signal émis par l'un des émetteurs ce qui revient à le déphaser de .

     Quel est l'état d'interférences sur l'axe  ?

     Quelles sont les positions des nouveaux points de maximum et de minimum d'amplitude ?

     Qu'advient-il si l'on inverse également l'autre signal ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Le déphasage «» avec fréquence spatiale est qualifié de « mathématique » appellation personnelle pour le distinguer du déphasage réel le seul observable qualifié de « physique » également appellation personnelle.
  2. En effet il suffit d'identifier «» à «» ce qui est réalisé pour .
  3. Sinon nous observerions deux lignes d'interférences destructives d'ordre coupant le segment .
  4. « Sur », , la de l'« amplitude de chaque onde due à l'étalement de la puissance sur la ride se propageant » est la même en donnant une d'amplitude résultante amplitude résultante égale au double de l'amplitude de chaque onde également en  ;
       « sur la ligne d'interférences destructives voisine », restant proche de , la différence de de l'« amplitude de chaque onde due à l'étalement de la puissance sur la ride se propageant » reste petite, donnant une amplitude résultante égale à la valeur absolue de la différence des amplitudes de chaque onde de valeur effectivement quasi nulle.
  5. 5,0 et 5,1 C.-à-d. que dépend de mais ne dépend pas du point , est donc une fonction de seule.
  6. Une ellipse de « foyers et , points distants de », est l'« ensemble des points du plan tel que », l'excentricité de l'ellipse étant définie par « » ;
       l'ellipse possède un 1er axe de symétrie appelé « grand axe » ou « axe focal », un centre de symétrie , milieu de et un 2nd axe de symétrie à en appelé petit axe ou « axe non focal », les deux points de l'ellipse appartenant au grand axe ou axe focal étant à la distancedu centre, étant le demi grand axe, les deux autres points de l'ellipse appartenant au petit axe ou axe non focal étant à une distance du centre , étant le demi petit axe ;
       ceci constitue la définition « bifocale » d'une ellipse, cas particulier de coniques vues dans le paragraphe « définition bifocale d'une ellipse » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 et 7,10 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  8. 8,0 8,1 et 8,2 Voir le paragraphe « vecteur de Fresnel (tournant) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. 9,0 et 9,1 On supposera que a la même valeur en et .
  10. Ce sont aussi les foyers, centre de symétrie, axe focal et axe non focal des branches d'hyperboles correspondant aux lignes d'interférences destructives.
  11. On supposera pour simplifier que les deux ondes ont même amplitude.
  12. 12,0 et 12,1 Revoir le calcul d'amplitude d'onde résultante par diagramme de Fresnel quand les deux ondes composantes ont même amplitude dans le chap. Détermination directe de l'amplitude résultante par diagramme de Fresnel dans le cas de même amplitude de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  13. L'angle étant de valeur absolue légèrement il faut prendre la valeur absolue du cosinus ou multiplier par .
  14. La connaissance de la longueur d'onde simultanément à celle de la fréquence permettrait d'en déduire la célérité du son selon .
  15. La différence de marche peut être définie comme la différence de parcours de n'importe quelle onde relativement à l'autre, la définition adoptée ici est inversée relativement à celle exposée dans le paragraphe « notion de différence de marche » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  16. 16,0 et 16,1 Non représenté pour éviter la surcharge.
  17. Ce qui nécessite que .
  18. Selon la propriété : « deux angles à côtés respectivement sont égaux ».
  19. On définit le déphasage comme l'avance de phase de l'onde sur l'onde ce qui supprime le signe , la différence de marche ayant été définie comme la différence de distance parcourue par l'onde moins celle parcourue par l'onde .
  20. On regarde dans la direction de l'axe .
  21. À noter que l'on utilise l'échelle angulaire uniquement pour , pour les autres ordres entiers non nuls on calcule directement les directions angulaires à partir de la différence de marche ou du déphasage selon , on remarque néanmoins que , ce qui fait que le nom de distance « angulaire » interfrange que l'on pourrait donner à garde un sens même si ce sens n'est qu'approché.
  22. Par contre si le domaine d'étude englobait ces franges d'interférences constructives d'ordre , l'approximation deviendrait fausse car ces angles deviennent trop grands pour confondre le sinus et son angle en rad ;
       pour ces valeurs non petites le nom de distance « angulaire » interfrange que l'on pourrait donné à perd alors sa signification car .
  23. Compte tenu de la valeur de l'échelle angulaire, on remarque que .
  24. Car la puissance émise par une source se retrouve, à la distance , répartie sur la sphère de centre la source et de rayon , la puissance étant au carré de l'amplitude, cette dernière est à la racine carrée de l'aire de la sphère laquelle vaut voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (aire d'une sphère) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. On rappelle qu'« inverser » en électronique est multiplier par.
  26. C'est aussi la différence de marche mais attention le lien entre déphasage et différence de marche n'est plus celui cité jusqu'à présent, il faut le remplacer par «» en définissant la phase de la source en avance de sur celle de la source .