Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

**Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Exercices n^o2
Chapitre du cours :	Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Oscillateur harmonique
Exo suiv. :	Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Détermination du spectre d'un produit de deux fonctions sinusoïdales

On considère le signal formé du produit de deux fonctions sinusoïdales^[1] « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$ » où « $\;A\;$ » et « $\;\varphi \;$ » sont des constantes réelles et

on se propose d'en faire une analyse spectrale dans le cas où les fréquences peuvent être incommensurables^[2] puis dans le cas où elles sont égales.

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de fréquences, a priori, incommensurables

Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales^[1] « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$ » avec $\;f_{1}\;$ et $\;f_{2}\;$ incommensurables^[2] n'est pas périodique et par suite
Vérifier que le produit de fonctions sinusoïdales « $\;\color {transparent}{s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )}\;$ » avec $\;\color {transparent}{f_{1}}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}}\;$ incommensurables n'est pas éligible à l'application du théorème de Fourier^[3] ;

malgré cela, comme « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$ » peut être linéarisé en une somme de deux fonctions sinusoïdales^[1], il est possible d'en faire une analyse spectrale^[4] ;

malgré cela déterminer les harmoniques contenus dans « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$ » et

malgré cela représenter son spectre d'amplitude ainsi que

malgré cela représenter son spectre de phase.

Solution

Pour établir que «

\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;

» n'est pas périodique, il faut établir qu'« il n'existe aucune grandeur temporelle

\;\Delta t\;

telle que

\;s(t+\Delta t)=s(t)\;\;\forall \;t\;

» et pour cela,
Pour établir que «

\;\color {transparent}{s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )}\;

» n'est pas périodique, il faut linéariser le signal en utilisant la formule de trigonométrie «

\;\cos(a)\,\cos(b)={\dfrac {1}{2}}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\;

», soit «

\;s(t)=

A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )={\dfrac {A}{2}}\left\lbrace \cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]+\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t-\varphi \right]\right\rbrace \;

» ; «

\;s(t)\;

» étant la somme de deux fonctions périodiques «

\;s_{1}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]\;

» de fréquence

\;f_{h,\,1}=f_{1}+f_{2}\;

donc de période «

\;T_{h,\,1}={\dfrac {1}{f_{1}+f_{2}}}\;

» et
«

\;\color {transparent}{s(t)}\;

» étant la somme de deux fonctions périodiques «

\;s_{2}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t-\varphi \right]\;

» de fréquence

\;f_{h,\,2}=\vert f_{1}-f_{2}\vert \;

donc de période «

\;T_{h,\,2}={\dfrac {1}{\vert f_{1}-f_{2}\vert }}\;

»,
la condition pour que «

\;s(t)\;

» soit périodique est que les périodes «

\;T_{h,\,1}={\dfrac {1}{f_{1}+f_{2}}}\;

» et «

\;T_{h,\,2}={\dfrac {1}{\vert f_{1}-f_{2}\vert }}\;

» soient commensurables^[5] c'est-à-dire

\;\exists \;\left(p\,,\,q\right)\;\in \;\left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;

tel que

\;{\dfrac {T_{h,\,1}}{T_{h,\,2}}}={\dfrac {p}{q}}\;

\Leftrightarrow

\;{\dfrac {\vert f_{1}-f_{2}\vert }{f_{1}+f_{2}}}={\dfrac {p}{q}}\;

ou, en élargissant le domaine des valeurs possibles de

\;q\;

à

\;\mathbb {Z} ^{*}

, «

\;{\dfrac {f_{1}-f_{2}}{f_{1}+f_{2}}}={\dfrac {p}{q}}\;

»

\Leftrightarrow

\;q\left(f_{1}-f_{2}\right)=p\left(f_{1}+f_{2}\right)\;

ou

\;f_{1}\left(q-p\right)=f_{2}\left(q+p\right)\;

soit finalement «

\;{\dfrac {f_{1}}{f_{2}}}={\dfrac {q+p}{q-p}}\;\in \;\mathbb {Q} ^{*}\;

» impossible compte-tenu de l'incommensurabilité^[2] des fréquences

\;f_{1}\;

et

\;f_{2}\;

d'où «

\;s(t)\;

» n'est pas périodique et n'est donc pas éligible à l'application du théorème de Fourier^[3].

De la linéarisation de « $\;s(t)\;$ » selon « $\;s(t)={\dfrac {A}{2}}\left\lbrace \cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]+\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t+\varphi \right]\right\rbrace \;$ » nous en déduisons que le signal « $\;s(t)\;$ » contient deux harmoniques

De la linéarisation de « $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ » $\succ \;$ « $\;s_{1}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}+f_{2})\,t+\varphi \right]\;$ » de « fréquence $\;f_{h,\,1}=f_{1}+f_{2}\;$ », d'« amplitude $\;{\dfrac {A}{2}}\;$ » et de « phase à l'origine $\;\varphi \;$ » et
De la linéarisation de « $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ » $\succ \;$ « $\;s_{2}(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[2\,\pi \,(f_{1}-f_{2})\,t-\varphi \right]\;$ » de « fréquence $\;f_{h,\,2}=\vert f_{1}-f_{2}\vert \;$ », d'« amplitude $\;{\dfrac {A}{2}}\;$ » et de « phase à l'origine $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}-\varphi \;\;{\text{si }}\;f_{1}>f_{2}\\+\varphi \;\;{\text{si }}\;f_{1}<f_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;

ci-dessous à gauche, le spectre d'amplitude du signal « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$ » composé de deux raies de « même hauteur $\;{\dfrac {A}{2}}\;$ » aux fréquences « $\;\vert f_{1}-f_{2}\vert \;$ et $\;f_{1}+f_{2}\;$ »,

     ci-dessous à droite, les deux spectres de phase du signal « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f_{1}\,t)\;\cos(2\,\pi \,f_{2}\,t\,+\,\varphi )\;$ » suivant $\;f_{1}>f_{2}\;$ à gauche ou $\;f_{1}<f_{2}\;$ à droite ;
     ci-dessous à droite, le 1^er $\;{\big (}$ à gauche pour $\;f_{1}>f_{2}{\big )}\;$ est composé de deux raies de « hauteurs opposées $\;\varphi \;$ pour la fréquence $\;f_{1}+f_{2}\;$ et $\;-\varphi \;$ pour la fréquence $\;\vert f_{1}-f_{2}\vert =f_{1}-f_{2}\;$ »,
     ci-dessous à droite, le 2^ème $\;{\big (}$ à droite pour $\;f_{1}<f_{2}{\big )}\;$ est composé de deux raies de « même hauteur $\;\varphi \;$ pour les fréquence $\;f_{1}+f_{2}\;$ et $\;\vert f_{1}-f_{2}\vert =f_{2}-f_{1}\;$ ».

Analyse spectrale du produit de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence

Reprendre les questions précédentes dans le cas où « $\;f_{1}=f_{2}\;$ ».

Solution

Dans le cas où « $\;f_{1}=f_{2}\;$ » $\;{\big (}$ fréquence commune notée « $\;f\;$ » par la suite ${\big )}$ , on vérifie que « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f\,t)\;\cos(2\,\pi \,f\,t\,+\,\varphi )\;$ » est périodique en linéarisant le signal par nouvelle utilisation de la formule de trigonométrie « $\;\cos(a)\,\cos(b)={\dfrac {1}{2}}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\;$ », soit « $\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f\,t)\;\cos(2\,\pi \,f\,t\,+\,\varphi )={\dfrac {A}{2}}\left\lbrace \cos \left[4\,\pi \,f\,t+\varphi \right]+\cos \left[-\varphi \right]\right\rbrace \;$ » $\;{\big \{}$ une conséquence de la périodicité de $\;s(t)\;$ est que ce signal est éligible à l'application du théorème de Fourier^[3] même s'il s'avérera inutile de l'appliquer ${\big \}}$ .

De la linéarisation de « $\;s(t)\;$ » selon « $\;s(t)={\dfrac {A}{2}}\;\cos(\varphi )+{\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[4\,\pi \,f\,t+\varphi \right]\;$ » nous en déduisons que le signal « $\;s(t)\;$ » contient deux harmoniques

De la linéarisation de « $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ » $\succ \;$ « $\;s_{0}={\dfrac {A}{2}}\;\cos(\varphi )\;$ » composante permanente $\;{\big \{}$ ou harmonique de rang $\;0{\big \}}\;$ et

De la linéarisation de « $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ » $\succ \;$ « $\;s_{1}={\dfrac {A}{2}}\;\cos \left[4\,\pi \,f\,t+\varphi \right]\;$ » de « fréquence $\;2\;f\;$ », d'« amplitude $\;{\dfrac {A}{2}}\;$ » et de « phase à l'origine $\;\varphi \;$ » $\;{\big \{}$ harmonique fondamental ou de rang $\;1{\big \}}$ ;

le spectre d'amplitude^[6] est composé de deux raies, l'une de « hauteur $\;{\dfrac {A}{2}}\;\cos(\varphi )\;$ » à « fréquence nulle » et l'autre de « hauteur $\;{\dfrac {A}{2}}\;$ » à la « fréquence $\;2\;f\;$ » ;

le spectre de phase^[6] est composé d'une raie de « hauteur $\;\varphi \;$ » à la « fréquence $\;2\;f\;$ ».

Détermination de la représentation fréquentielle d'un signal périodique construit à partir de deux signaux périodiques dont les représentations fréquentielles sont connues

Diagramme temporel d'un signal $\;T$ -périodique, $\;\nearrow \;$ linéairement de $\;0\;$ à $\;U_{m}\;$ sur $\;\left[0\,,\,{\dfrac {T}{4}}\right[$ , avec un saut de $\;-2\;U_{m}\;$ à $\;{\dfrac {T}{4}}$ , $\;\nearrow \;$ linéairement de $\;-U_{m}\;$ à $\;0\;$ puis $\;\searrow \;$ linéairement de $\;0\;$ à $\;-U_{m}\;$ sur $\;\left]{\dfrac {T}{4}}\,,\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right[$ , avec un saut de $\;+2\;U_{m}\;$ à $\;{\dfrac {3\,T}{4}}\;$ et $\;\searrow \;$ linéairement de $\;U_{m}\;$ à $\;0\;$ sur $\;\left]{\dfrac {3\,T}{4}}\,,\,T\right[$

Connaissant la représentation fréquentielle^[7] d'un signal créneau symétrique^[8] pair^[9] d'amplitude $\;U_{m}\;$ et de fréquence $\;f$ : « $\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{créneau}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$ »^[10]^,^[11] et

Connaissant la représentation fréquentielle celle d'un signal triangulaire symétrique^[8] pair^[12] d'amplitude $\;U_{m}\;$ et de fréquence $\;f$ : « $\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}}}={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$ »^[10]^,^[13],

on se propose d'en déduire la représentation fréquentielle^[7] du signal $\;s(t)\;$ périodique, de fréquence $\;f$ , dont le diagramme temporel est donné ci-contre et pour cela

trouver le lien entre ce signal $\;s(t)\;$ et les signaux créneau symétrique^[8] pair^[9] et triangulaire symétrique^[8] pair^[12] $\;{\big \{}$ pour justifier ce lien, on représentera sur un même diagramme temporel les trois signaux et on conclura ${\big \}}\;$ puis,
en déduire le lien entre la représentation fréquentielle^[7] du signal $\;s(t)\;$ et celles des signaux créneau symétrique^[8] pair^[9] et triangulaire symétrique^[8] pair^[12] ensuite,
expliciter la représentation fréquentielle^[7] du signal $\;s(t)$ ,
préciser le spectre d'amplitude de ce signal $\;s(t)$ $\;{\big \{}$ on pourra se contenter d'évaluer les hauteurs des 1^ères raies ${\big \}}\;$ et
estimer le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $\;s(t)\;$ en comparant les vitesses de décroissance de hauteur des raies du spectre d'amplitude de ce signal à celles des raies des spectres d'amplitude des signaux créneau et triangulaire composants .

Solution

Diagramme temporel d'un signal $\;T$ -périodique $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , $\;\nearrow \;$ linéairement de $\;0\;$ à $\;U_{m}\;$ sur $\;\left[0\,,\,{\dfrac {T}{4}}\right[$ , avec un saut de $\;-2\;U_{m}\;$ à $\;{\dfrac {T}{4}}$ , $\;\nearrow \;$ linéairement de $\;-U_{m}\;$ à $\;0\;$ puis $\;\searrow \;$ linéairement de $\;0\;$ à $\;-U_{m}\;$ sur $\;\left]{\dfrac {T}{4}}\,,\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right[$ , avec un saut de $\;+2\;U_{m}\;$ à $\;{\dfrac {3\,T}{4}}\;$ et $\;\searrow \;$ linéairement de $\;U_{m}\;$ à $\;0\;$ sur $\;\left]{\dfrac {3\,T}{4}}\,,\,T\right[$ , construit par somme d'un signal triangulaire symétrique^[8] pair^[12] $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et d'un signal créneau symétrique^[8] pair^[9] $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}$

      $\succ \;$ On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que le signal $\;T$ -périodique « $\;s(t)\;$ » $\;{\big (}$ en noir ${\big )}\;$ est la somme
      $\color {transparent}{\succ }\;$ On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que du signal triangulaire symétrique^[8] pair^[12] « $\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$ » $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que du signal créneau symétrique^[8] pair^[9] « $\;s_{\text{créneau}}(t)\;$ » $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}$ ,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, le passage du signal triangulaire « $\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$ » au signal étudié « $\;s(t)\;$ » étant obtenu par ajout du signal créneau « $\;s_{\text{créneau}}(t)\;$ », ajout matérialisé par des flèches grises ; on constate aussi que
      $\color {transparent}{\succ }\;$ On constate, sur le diagramme temporel ci-contre, que le signal étudié « $\;s(t)\;$ » récupère les deux discontinuités de 1^ère espèce^[14] du signal créneau « $\;s_{\text{créneau}}(t)\;$ » sur tout intervalle large d'une période $\;T$ $\;{\big \{}$ le signal triangulaire « $\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$ » étant, quant à lui, continu sur le même intervalle d'une période $\;T{\big \}}$ .

$\succ \;$ Compte-tenu de la définition du 2^ème développement en série de Fourier^[15] d'un signal périodique comme somme infinie des harmoniques de ce dernier, nous en déduisons aisément que le 2^ème développement en série de Fourier^[15] d'un signal somme est la somme des 2^èmes développements en série de Fourier^[15] de chaque composante de la somme.

$\succ \;$ À partir de la représentation fréquentielle^[7] du signal triangulaire « $\;s_{\text{triangulaire}}(t)\;$ » écrite avec l'amplitude complexe^[10] de ses harmoniques « $\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}}}={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$ »^[13] on détermine sa réponse fréquentielle^[7] sous forme classique « $\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,\left[C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}={\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(2\,p+1)^{2}}}\,,\,\varphi _{2\,p+1,\,{\text{triang}}}=\pi \right]_{p\,\in \,\mathbb {N} }\right\rbrace \;$ » puis son 2^ème développement en série de Fourier^[15] « $\;s_{\text{triangulaire}}(t)=\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{triang}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t+\varphi _{2\,p+1,\,{\text{triang}}}\right]\right\rbrace \;$ » ou « $\;s_{\text{triangulaire}}(t)=$ $\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(2\,p+1)^{2}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t+\pi \right]\right\rbrace =\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {-1}{(2\,p+1)^{2}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$ » ; de même

$\color {transparent}{\succ }\;$ à partir de la représentation fréquentielle^[7] du signal créneau « $\;s_{\text{créneau}}(t)\;$ » écrite avec l'amplitude complexe^[10] de ses harmoniques « $\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{créneau}}}=0\,;\,{\underline {C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\;p\in \mathbb {N} \right\rbrace \;$ »^[11] on détermine sa réponse fréquentielle^[7] sous forme classique « $\;\left\lbrace C_{0,\,{\text{triang}}}=0\,;\,\left[C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{2\,p+1}}\,,\,\varphi _{2\,p+1,\,{\text{créneau}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c l}0\!\!&{\text{pour }}p\;{\text{nul ou pair}}\\\pi \!\!&{\text{pour }}p\;{\text{impair}}\end{array}}\right.\right]_{p\,\in \,\mathbb {N} }\right\rbrace \;$ » puis son 2^ème développement en série de Fourier^[15] « $\;s_{\text{créneau}}(t)=$ $\sum \limits _{p=0}^{\infty }\left\lbrace C_{2\,p+1,\,{\text{max}},\,{\text{créneau}}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(2\,p+1)\,f\,t+\varphi _{2\,p+1,\,{\text{créneau}}}\right]\right\rbrace \;$ » ou « $\;s_{\text{créneau}}(t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+1)\,f\,t\right]+{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+3)\,f\,t+\pi \right]\right\rbrace \;$ » ou encore « $\;s_{\text{créneau}}(t)=$ $\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+1)\,f\,t\right]-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+3)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$ » ;

\color {transparent}{\succ }\;

le 2^ème développement en série de Fourier^[15] de «

\;s(t)=s_{\text{triangulaire}}(t)+s_{\text{créneau}}(t)\;

» est la somme des 2^èmes développements en série de Fourier^[15] de chaque composante de la somme soit, en reportant ces derniers et en regroupant les termes «

\;s(t)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left\lbrace \left[{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+1)^{2}}}\right]\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+1)\,f\,t\right]-\left[{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}+{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+3)^{2}}}\right]\,\cos \!\left[2\,\pi \,(4\,k+3)\,f\,t\right]\right\rbrace \;

» expression dont nous déduisons aisément la représentation fréquentielle^[7] du signal «

\;s(t)\;

» écrite avec l'amplitude complexe^[10] de ses harmoniques «

\;\left\lbrace C_{0,\,s}=0\,;\,\left[{\begin{array}{c}{\underline {C_{4\,k+1,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+1)^{2}}}\\{\underline {C_{4\,k+3,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+3)^{2}}}\end{array}}\right]_{k\,\in \,\mathbb {N} }\right\rbrace \;

».

$\succ \;$ Pour en déduire le spectre d'amplitude du signal $\;T$ -périodique « $\;s(t)\;$ » il est nécessaire d'expliciter l'amplitude de chacun de ses harmoniques suivant le rang de ce dernier :

« rang $\;0\;$ » pas de composante permanente,
« rang $\;1\;$ » ou harmonique fondamental d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{1,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\left[\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{1,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(\pi -2)}{\pi ^{2}}}\simeq 0,463\;U_{m}\\\varphi _{1,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ »,
« rang $\;3\;$ » d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{3,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(3)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{9\,\pi ^{2}}}\left[3\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{3,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(3\,\pi +2)}{9\,\pi ^{2}}}\simeq 0,514\;U_{m}\\\varphi _{3,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ »,
« rang $\;5\;$ » d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{5,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{5}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(5)^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{25\,\pi ^{2}}}\left[5\;\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{5,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(5\,\pi -2)}{25\,\pi ^{2}}}\simeq 0,222\;U_{m}\\\varphi _{5,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ »,
« rang $\;7\;$ » d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{7,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{7}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(7)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{49\,\pi ^{2}}}\left[7\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{7,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(7\,\pi +2)}{49\,\pi ^{2}}}\simeq 0,198\;U_{m}\\\varphi _{7,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ »,
« rang $\;9\;$ » d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{9,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{9}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(9)^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{81\,\pi ^{2}}}\left[9\;\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{9,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(9\,\pi -2)}{81\,\pi ^{2}}}\simeq 0,131\;U_{m}\\\varphi _{9,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ »,
« rang $\;11\;$ » d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{11,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{11}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(11)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{121\,\pi ^{2}}}\left[11\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{11,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(11\,\pi +2)}{121\,\pi ^{2}}}\simeq 0,122\;U_{m}\\\varphi _{11,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ »,
$\;\ldots$
« rang $\;4\,k+1,\;\;k\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\setminus \,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ »^[16] d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{4\,k+1,\,k\,\in \,\mathbb {N} ,\,{\text{max}},\,s}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+1}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+1)^{2}}}=\left\lbrace {\dfrac {4\,U_{m}}{(4\,k+1)^{2}\,\pi ^{2}}}\,\left[(4\,k+1)\;\pi -2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{+}\;$ » dont on déduit « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{4\,k+1,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,[(4\,k+1)\,\pi -2]}{(4\,k+1)^{2}\,\pi ^{2}}}\\\varphi _{4\,k+1,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit par exemple le « rang $\;4\times 7+1=29\;$ » « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{29,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(29\,\pi -2)}{(29)^{2}\,\pi ^{2}}}\simeq 0,0429\;U_{m}\\\varphi _{29,\,s}\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ »,
« rang $\;4\,k+3,\;\;k\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\setminus \,\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ »^[16] d'amplitude complexe « $\;{\underline {C_{4\,k+3,\,k\,\in \,\mathbb {N} ,\,{\text{max}},\,s}}}=-{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\,{\dfrac {1}{4\,k+3}}-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}}}\,{\dfrac {1}{(4\,k+3)^{2}}}=\left\lbrace -{\dfrac {4\,U_{m}}{(4\,k+3)^{2}\,\pi ^{2}}}\,\left[(4\,k+3)\;\pi +2\right]\right\rbrace \,\in \,\mathbb {R} ^{-}\;$ » dont on déduit « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{4\,k+3,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,[(4\,k+3)\,\pi +2]}{(4\,k+3)^{2}\,\pi ^{2}}}\\\varphi _{4\,k+3,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ » soit par exemple le « rang $\;4\times 7+3=31\;$ » « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}C_{31,\,{\text{max}},\,s}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4\,U_{m}\,(31\,\pi +2)}{(31)^{2}\,\pi ^{2}}}\simeq 0,0419\;U_{m}\\\varphi _{31,\,s}\!\!&=&\!\!\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ »,
$\;\ldots$

$\succ \;$ On constate donc la lente $\;\searrow \;$ de l'amplitude des harmoniques de « $\;s(t)\;$ » $\;{\big \{}\searrow \;$ comparable à celle d'un signal créneau ${\big \}}\;$ et on induit que le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $\;s(t)\;$ est approximativement le même que celui nécessaire pour reconstruire le signal créneau c'est-à-dire « utiliser tous les harmoniques de rang $\;\lesssim 30\;{\text{ou}}\;50\;$ »^[17].

$\succ \;$ Complément : pour vérifier le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire le signal $\;s(t)\;$ nous avons utilisé un logiciel de calcul évaluant la somme des 1^ers harmoniques considérés puis superposant le graphe de la somme $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ au signal $\;s(t)$ $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ dans deux cas :

$\color {transparent}{\succ }\;$ Complément : $\blacktriangleright \;$ ci-dessous à gauche en tronquant la somme au rang $\;3\;$ inclus^[18] et

$\color {transparent}{\succ }\;$ Complément : $\blacktriangleright \;$ ci-dessous à droite en tronquant la somme au rang $\;31\;$ inclus^[19].

Superposition du signal $\;T$ -périodique $\;s(t)\;$ ${\big (}$ en noir ${\big )}\;$ et de sa tentative de reconstruction à l'aide de ses 1^ers harmoniques jusqu'au rang $\;3$ $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}$

Superposition du signal $\;T$ -périodique $\;s(t)\;$ ${\big (}$ en noir ${\big )}\;$ et de sa tentative de reconstruction à l'aide de ses 1^ers harmoniques jusqu'au rang $\;31$ $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}$

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 et ^1,2 En fait on devrait plutôt dire « produit de deux fonctions cosinusoïdales » mais l'usage veut qu'on parle de fonction sinusoïdale même quand elle est écrite sous forme d'un cosinus.
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2 C.-à-d. dont le rapport n'est pas entier ou rationnel.
↑ ^3,0 ^3,1 et ^3,2 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le signal n'étant pas périodique, la méthode systématique de détermination des harmoniques nécessiterait d'introduire les notions de transformée de Fourier, ce qui est hors programme de physique de PCSI $\;{\big \{}$ ceux qui souhaiteraient néanmoins quelques notions les trouveront dans le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique » ${\big \}}$ ; nous n'avons donc pas de méthode générale à utiliser pour faire une analyse spectrale et ne pouvons le faire que dans des cas très particuliers comme celui proposé ici.
Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$
↑ C.-à-d. dont le rapport est entier ou rationnel.
↑ ^6,0 et ^6,1 À représenter soi-même.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 ^7,5 ^7,6 ^7,7 et ^7,8 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^8,00 ^8,01 ^8,02 ^8,03 ^8,04 ^8,05 ^8,06 ^8,07 ^8,08 et ^8,09 Un signal alterné $\;{\big (}$ c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative ${\big )}\;$ est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 et ^9,4 Dans la mesure où le 1^er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur $\;\left]-{\dfrac {T}{4}}\,{,}\,0\right[\;$ est égale à celle sur $\;\left]0\,{,}\,{\dfrac {T}{4}}\right[\;$ et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1^er palier haut $\;{\Bigg \{}$ c'est-à-dire sur $\;\left]-{\dfrac {3\;T}{4}}\,{,}\,-{\dfrac {T}{4}}\right[\;$ et $\;\left]{\dfrac {T}{4}}\,{,}\,{\dfrac {3\;T}{4}}\right[{\Bigg \}}\;$ sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 et ^10,4 L'« harmonique de rang $\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ du 2^ème développement en série de Fourier d'un signal périodique $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « 2^ème développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ est usuellement noté, dans la représentation fréquentielle du signal, $\;\left\lbrace C_{n}\,,\,\varphi _{n}\right\rbrace _{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}\;$ », ici on utilise l'« amplitude complexe de l'harmonique considéré $\;{\underline {C_{n}}}$ $=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ » $\;{\big \{}$ voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe » et « amplitude complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ ,
la « grandeur instantanée complexe de l'harmonique de rang $\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ s'écrivant $\;{\underline {C_{n}}}\;\exp \!\left(i\,n\,2\,\pi \,f\,t\right)\;$ » avec, « pour expression physique, $\;C_{n}\;\cos \!\left(n\,2\,\pi \,f\,t+\varphi _{n}\right)=\Re \left[{\underline {C_{n}}}\;\exp \!\left(i\,n\,2\,\pi \,f\,t\right)\right]\;$ ».
↑ ^11,0 et ^11,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le créneau y était impair alors qu'ici il y est pair $\Rightarrow$ tous les harmoniques impairs sont nuls $\;B_{n}=0\;\forall \;n\;\in \;\mathbb {N} \;$ et les harmoniques pairs se calculent selon $\;A_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\left\lbrace \displaystyle \int _{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}U_{m}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{4}}^{\frac {3\,T}{4}}(-U_{m})\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace$ $\;{\Bigg \{}$ un créneau symétrique pair correspondant à un palier haut de valeur $\;U_{m}\;$ sur $\;\left[-{\dfrac {T}{4}}\,;\,{\dfrac {T}{4}}\right[\;$ et un palier bas de valeur $\;-U_{m}\;$ sur $\;\left[{\dfrac {T}{4}}\,;\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right[{\Bigg \}}\;$ soit $\;A_{n}={\dfrac {2\,U_{m}}{T}}\left\lbrace \left[{\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}-\left[{\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{\frac {T}{4}}^{\frac {3\,T}{4}}\right\rbrace ={\dfrac {U_{m}}{\pi \,n\,{\cancel {f\,T}}}}\left\lbrace 2\,\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)-\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right)+\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)\right\rbrace \;$ ou, après simplfication évidente $\;A_{n}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\;\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)\;$ puis, en utilisant $\;f\,T=1\;$ $\Rightarrow$ « $\;\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)=\sin \!\left(n\,{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ valant $\;0\;$ pour $\;n\;$ pair et $\;(-1)^{p}\;$ pour $\;n=2\,p+1\;\forall \;p\;\in \;\mathbb {N} \;$ ${\big (}$ c'est-à-dire impair ${\big )}\;$ », « $\;A_{n}$ $={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\times \left\lbrace {\begin{array}{c l}0\!&\!{\text{pour }}n=2\,p,\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\\{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\!&\!{\text{pour }}n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N} \end{array}}\right\rbrace \;$ » et, comme $\;B_{n}=0\;$ $\Rightarrow$ « $\;C_{n}=\vert A_{n}\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \,{\text{si}}\,n\,{\text{pair}}\\{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques $\;{\underline {C_{n}}}=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour $\;n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N}$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}=(-1)^{p}\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\varphi _{n}=p\;\pi \;$ » et par suite « $\;{\underline {C_{n}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c c c l }{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\;\exp \!\left(i\,p\,\pi \right)\!\!&=&\!\!(-1)^{p}\;{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}&\!{\text{pour }}n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N} \\0\!\!&&\!\!&\!{\text{pour }}n=2\,p,\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente $\;>0\;$ sur $\;\left[0\,{,}\,{\dfrac {T_{e}}{2}}\right[\;$ est égale à l'opposé de la pente $\;<0\;$ sur $\;\left[-{\dfrac {T_{e}}{2}}\,{,}\,0\right]$ , les segments $\;\nearrow \;$ et $\;\searrow \;$ étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
↑ ^13,0 et ^13,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair $\Rightarrow$ tous les harmoniques impairs sont nuls $\;B_{n}=0\;\forall \;n\;\in \;\mathbb {N} \;$ et les harmoniques pairs se calculent selon $\;A_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}e(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{2}}^{T}e(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace \;$ ${\Bigg \{}$ avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal « $\;e(t)=\left\lbrace \!{\begin{array}{l l}{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\!\!&{\text{si}}\,t\in \left[0\,{,}\,{\dfrac {T}{2}}\right]\\{\dfrac {-4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {3\,T}{4}}\right)\!\!&{\text{si}}\,t\in \left[{\dfrac {T}{2}}\,{,}\,T\right]\end{array}}\!\right\rbrace \;$ » $\;{\Bigg [}$ en effet la valeur absolue de la pente est $\;{\dfrac {2\,U_{m}}{\dfrac {T}{2}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{T}}{\Bigg ]}{\Bigg \}}\;$ d'où $\;A_{n}={\dfrac {2}{T}}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left[{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\right]\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{2}}^{T}\left[-{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {3\,T}{4}}\right)\right]\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace \;$ ou, en faisant le « changement de variable $\;t'=t-{\dfrac {T}{2}}\;$ dans la 2^ème intégrale » $\;{\bigg \{}$ on obtient $\;dt'=dt\;$ et $\;\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)=\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t'+2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{2}}\right)=\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t'+n\,\pi \right)=(-1)^{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t')$ , les bornes inférieure et supérieure devenant $\;0\;$ et $\;{\dfrac {T}{2}}{\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ la 2^ème intégrale est l'opposé de la 1^ère multipliée par $\;(-1)^{n}\;$ soit « $\;A_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\,{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left[1-(-1)^{n}\right]\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$ » ;
   cette dernière intégrale s'intègre « par parties » $\;{\Bigg \{}$ cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx\;$ en connaissant une primitive de $\;v(x)\;$ notée $\;V(x)\;$ », on peut écrire « $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx=$ $\left[u(x)\,V(x)\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)\,V(x)\,dx\;$ », en effet $\;{\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}$ $=u'(x)\,V(x)+u(x)\,V'(x)$ $=u'(x)\,V(x)+u(x)\,v(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;u(x)\,v(x)={\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}-u'(x)\,V(x)\;$ et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment ${\Bigg \}}$ , en posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u(t)=t-{\dfrac {T}{4}}\\v(t)=\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u'(t)=1\\V(t)={\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et par conséquent $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt=$ $\left[\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}1\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\,dt=$ $\left[\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}+\left[{\dfrac {\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}\;$ soit, avec $\;\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{2}}\right)=\cos \!\left(n\,\pi \right)=(-1)^{n}\;$ ${\big \{}$ en effet $\;f\;T=$ $1{\big \}}$ , d'où « $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt={\cancel {\left[\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}\;+}}\;\left[{\dfrac {(-1)^{n}-1}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]\;$ » ;
   par report on en déduit « $\;A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{T^{2}}}{\dfrac {\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}=-{\dfrac {2\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\,\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}\;$ » ; si $\;n\;$ est pair, le cœfficient $\;\left[1-(-1)^{n}\right]=0\;$ et par suite $\;A_{n}=0$ ;
   par report on en déduit « $\;\color {transparent}{A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{T^{2}}}{\dfrac {\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}=-{\dfrac {2\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\,\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}}\;$ » ; si $\;n\;$ est impair, le cœfficient $\;\left[1-(-1)^{n}\right]=2\;$ et par suite $\;A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;$ soit finalement
   par report on en déduit « $\;A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;$ pour $\;n=2\,p+1,\;\forall \;p\;\in \;\mathbb {N} \;$ » et, comme $\;B_{n}=0\;$ nous en déduisons « $\;C_{n}=\vert A_{n}\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l l}0\!\!&{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\!\!&{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».
   pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques $\;{\underline {C_{n}}}=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour $\;n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N}$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}=-1\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\varphi _{n}=\pi \;$ » et par suite « $\;{\underline {C_{n}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c c c l }{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;\exp \!\left(i\,\pi \right)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}&\!{\text{pour }}n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N} \\0\!\!&&\!\!&\!{\text{pour }}n=2\,p,\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».
↑ Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » introduisant cette discontinuité à un instant quelconque s'il y a un saut fini de la fonction à cet instant.
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 ^15,5 et ^15,6 Voir le paragraphe « 2^ème développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$
↑ ^16,0 et ^16,1 On retire $\;\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ car ces valeurs ont déjà été traitées.
↑ Voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Qui est aussi le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire, voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Qui est aussi le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau, voir la note « ¹⁷ » plus haut dans la solution de cet exercice.

Signaux physiques (PCSI)

Oscillateur harmonique

Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive

[cosinusoïdale-1] 1,0 ^1,1 et ^1,2 En fait on devrait plutôt dire « produit de deux fonctions cosinusoïdales » mais l'usage veut qu'on parle de fonction sinusoïdale même quand elle est écrite sous forme d'un cosinus.

[incommensurable-2] 2,0 ^2,1 et ^2,2 C.-à-d. dont le rapport n'est pas entier ou rationnel.

[théorème_de_Fourier-3] 3,0 ^3,1 et ^3,2 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[nécessite_la_transformation_de_Fourier-4] Le signal n'étant pas périodique, la méthode systématique de détermination des harmoniques nécessiterait d'introduire les notions de transformée de Fourier, ce qui est hors programme de physique de PCSI $\;{\big \{}$ ceux qui souhaiteraient néanmoins quelques notions les trouveront dans le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique » ${\big \}}$ ; nous n'avons donc pas de méthode générale à utiliser pour faire une analyse spectrale et ne pouvons le faire que dans des cas très particuliers comme celui proposé ici.
Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$

[commensurable-5] C.-à-d. dont le rapport est entier ou rationnel.

[à_représenter-6] 6,0 et ^6,1 À représenter soi-même.

[représentation_fréquentielle-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 ^7,5 ^7,6 ^7,7 et ^7,8 Voir le paragraphe « analyse spectrale d'un signal périodique (représentation fréquentielle) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[signal_symétrique-8] 8,00 ^8,01 ^8,02 ^8,03 ^8,04 ^8,05 ^8,06 ^8,07 ^8,08 et ^8,09 Un signal alterné $\;{\big (}$ c'est-à-dire périodique avec une alternance positive et une négative ${\big )}\;$ est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.

[signal_pair-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 et ^9,4 Dans la mesure où le 1^er palier haut du signal créneau symétrique est un segment ayant l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, le signal créneau symétrique est pair car sa valeur sur $\;\left]-{\dfrac {T}{4}}\,{,}\,0\right[\;$ est égale à celle sur $\;\left]0\,{,}\,{\dfrac {T}{4}}\right[\;$ et les paliers bas situés immédiatement de part et d'autre de ce 1^er palier haut $\;{\Bigg \{}$ c'est-à-dire sur $\;\left]-{\dfrac {3\;T}{4}}\,{,}\,-{\dfrac {T}{4}}\right[\;$ et $\;\left]{\dfrac {T}{4}}\,{,}\,{\dfrac {3\;T}{4}}\right[{\Bigg \}}\;$ sont également symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

[amplitude_complexe-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 et ^10,4 L'« harmonique de rang $\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ du 2^ème développement en série de Fourier d'un signal périodique $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « 2^ème développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ est usuellement noté, dans la représentation fréquentielle du signal, $\;\left\lbrace C_{n}\,,\,\varphi _{n}\right\rbrace _{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}\;$ », ici on utilise l'« amplitude complexe de l'harmonique considéré $\;{\underline {C_{n}}}$ $=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ » $\;{\big \{}$ voir les paragraphes « grandeur instantanée complexe » et « amplitude complexe » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ ,
la « grandeur instantanée complexe de l'harmonique de rang $\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ s'écrivant $\;{\underline {C_{n}}}\;\exp \!\left(i\,n\,2\,\pi \,f\,t\right)\;$ » avec, « pour expression physique, $\;C_{n}\;\cos \!\left(n\,2\,\pi \,f\,t+\varphi _{n}\right)=\Re \left[{\underline {C_{n}}}\;\exp \!\left(i\,n\,2\,\pi \,f\,t\right)\right]\;$ ».

[représentation_fréquentielle_d'un_créneau-11] 11,0 et ^11,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal créneau symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le créneau y était impair alors qu'ici il y est pair $\Rightarrow$ tous les harmoniques impairs sont nuls $\;B_{n}=0\;\forall \;n\;\in \;\mathbb {N} \;$ et les harmoniques pairs se calculent selon $\;A_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\left\lbrace \displaystyle \int _{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}U_{m}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{4}}^{\frac {3\,T}{4}}(-U_{m})\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace$ $\;{\Bigg \{}$ un créneau symétrique pair correspondant à un palier haut de valeur $\;U_{m}\;$ sur $\;\left[-{\dfrac {T}{4}}\,;\,{\dfrac {T}{4}}\right[\;$ et un palier bas de valeur $\;-U_{m}\;$ sur $\;\left[{\dfrac {T}{4}}\,;\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right[{\Bigg \}}\;$ soit $\;A_{n}={\dfrac {2\,U_{m}}{T}}\left\lbrace \left[{\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}-\left[{\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{\frac {T}{4}}^{\frac {3\,T}{4}}\right\rbrace ={\dfrac {U_{m}}{\pi \,n\,{\cancel {f\,T}}}}\left\lbrace 2\,\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)-\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right)+\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)\right\rbrace \;$ ou, après simplfication évidente $\;A_{n}={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\;\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)\;$ puis, en utilisant $\;f\,T=1\;$ $\Rightarrow$ « $\;\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)=\sin \!\left(n\,{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$ valant $\;0\;$ pour $\;n\;$ pair et $\;(-1)^{p}\;$ pour $\;n=2\,p+1\;\forall \;p\;\in \;\mathbb {N} \;$ ${\big (}$ c'est-à-dire impair ${\big )}\;$ », « $\;A_{n}$ $={\dfrac {4\,U_{m}}{\pi }}\times \left\lbrace {\begin{array}{c l}0\!&\!{\text{pour }}n=2\,p,\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\\{\dfrac {(-1)^{p}}{2\,p+1}}\!&\!{\text{pour }}n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N} \end{array}}\right\rbrace \;$ » et, comme $\;B_{n}=0\;$ $\Rightarrow$ « $\;C_{n}=\vert A_{n}\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \,{\text{si}}\,n\,{\text{pair}}\\{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques $\;{\underline {C_{n}}}=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour $\;n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N}$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}=(-1)^{p}\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\varphi _{n}=p\;\pi \;$ » et par suite « $\;{\underline {C_{n}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c c c l }{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\;\exp \!\left(i\,p\,\pi \right)\!\!&=&\!\!(-1)^{p}\;{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}&\!{\text{pour }}n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N} \\0\!\!&&\!\!&\!{\text{pour }}n=2\,p,\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

[signal_pair_-_bis-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 Le signal triangulaire symétrique est pair si la pente $\;>0\;$ sur $\;\left[0\,{,}\,{\dfrac {T_{e}}{2}}\right[\;$ est égale à l'opposé de la pente $\;<0\;$ sur $\;\left[-{\dfrac {T_{e}}{2}}\,{,}\,0\right]$ , les segments $\;\nearrow \;$ et $\;\searrow \;$ étant symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

[représentation_fréquentielle_d'un_triangulaire-13] 13,0 et ^13,1 Revoir le paragraphe « exemple d'un signal triangulaire symétrique (preuve des valeurs d'amplitudes - en complément) » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », les valeurs fournies dans le paragraphe précité étant à rectifier car le triangulaire y était impair alors qu'ici il y est pair $\Rightarrow$ tous les harmoniques impairs sont nuls $\;B_{n}=0\;\forall \;n\;\in \;\mathbb {N} \;$ et les harmoniques pairs se calculent selon $\;A_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}e(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{2}}^{T}e(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace \;$ ${\Bigg \{}$ avant de poursuivre déterminons l'expression algébrique du signal « $\;e(t)=\left\lbrace \!{\begin{array}{l l}{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\!\!&{\text{si}}\,t\in \left[0\,{,}\,{\dfrac {T}{2}}\right]\\{\dfrac {-4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {3\,T}{4}}\right)\!\!&{\text{si}}\,t\in \left[{\dfrac {T}{2}}\,{,}\,T\right]\end{array}}\!\right\rbrace \;$ » $\;{\Bigg [}$ en effet la valeur absolue de la pente est $\;{\dfrac {2\,U_{m}}{\dfrac {T}{2}}}={\dfrac {4\,U_{m}}{T}}{\Bigg ]}{\Bigg \}}\;$ d'où $\;A_{n}={\dfrac {2}{T}}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left[{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\right]\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{2}}^{T}\left[-{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {3\,T}{4}}\right)\right]\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace \;$ ou, en faisant le « changement de variable $\;t'=t-{\dfrac {T}{2}}\;$ dans la 2^ème intégrale » $\;{\bigg \{}$ on obtient $\;dt'=dt\;$ et $\;\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)=\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t'+2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{2}}\right)=\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,t'+n\,\pi \right)=(-1)^{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t')$ , les bornes inférieure et supérieure devenant $\;0\;$ et $\;{\dfrac {T}{2}}{\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ la 2^ème intégrale est l'opposé de la 1^ère multipliée par $\;(-1)^{n}\;$ soit « $\;A_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\,{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left[1-(-1)^{n}\right]\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$ » ;
cette dernière intégrale s'intègre « par parties » $\;{\Bigg \{}$ cette méthode est exposée succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » : si on doit « calculer $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx\;$ en connaissant une primitive de $\;v(x)\;$ notée $\;V(x)\;$ », on peut écrire « $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx=$ $\left[u(x)\,V(x)\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)\,V(x)\,dx\;$ », en effet $\;{\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}$ $=u'(x)\,V(x)+u(x)\,V'(x)$ $=u'(x)\,V(x)+u(x)\,v(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;u(x)\,v(x)={\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}-u'(x)\,V(x)\;$ et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment ${\Bigg \}}$ , en posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u(t)=t-{\dfrac {T}{4}}\\v(t)=\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u'(t)=1\\V(t)={\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et par conséquent $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt=$ $\left[\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}1\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\,dt=$ $\left[\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}+\left[{\dfrac {\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}\;$ soit, avec $\;\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{2}}\right)=\cos \!\left(n\,\pi \right)=(-1)^{n}\;$ ${\big \{}$ en effet $\;f\;T=$ $1{\big \}}$ , d'où « $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt={\cancel {\left[\left(t-{\dfrac {T}{4}}\right)\times {\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}\;+}}\;\left[{\dfrac {(-1)^{n}-1}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]\;$ » ;
par report on en déduit « $\;A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{T^{2}}}{\dfrac {\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}=-{\dfrac {2\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\,\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}\;$ » ; si $\;n\;$ est pair, le cœfficient $\;\left[1-(-1)^{n}\right]=0\;$ et par suite $\;A_{n}=0$ ;
par report on en déduit « $\;\color {transparent}{A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{T^{2}}}{\dfrac {\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}=-{\dfrac {2\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\,\left[1-(-1)^{n}\right]^{2}}\;$ » ; si $\;n\;$ est impair, le cœfficient $\;\left[1-(-1)^{n}\right]=2\;$ et par suite $\;A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;$ soit finalement
par report on en déduit « $\;A_{n}=-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;$ pour $\;n=2\,p+1,\;\forall \;p\;\in \;\mathbb {N} \;$ » et, comme $\;B_{n}=0\;$ nous en déduisons « $\;C_{n}=\vert A_{n}\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l l}0\!\!&{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\!\!&{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».
pour conclure il convient de déterminer l'amplitude complexe des harmoniques $\;{\underline {C_{n}}}=C_{n}\;\exp \!\left(i\,\varphi _{n}\right)\;$ selon la méthode indiquée dans le paragraphe « passage du 1^er au 2^nd développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » laquelle appliquée ici donne, pour $\;n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N}$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}=-1\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;\varphi _{n}=\pi \;$ » et par suite « $\;{\underline {C_{n}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c c c l }{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;\exp \!\left(i\,\pi \right)\!\!&=&\!\!-{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}&\!{\text{pour }}n=2\,p+1,\;p\;\in \;\mathbb {N} \\0\!\!&&\!\!&\!{\text{pour }}n=2\,p,\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

[discontinuité_de_1ère_espèce-14] Voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » introduisant cette discontinuité à un instant quelconque s'il y a un saut fini de la fonction à cet instant.

[2ème_développement_en_série_de_Fourier-15] 15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 ^15,4 ^15,5 et ^15,6 Voir le paragraphe « 2^ème développement en série de Fourier » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$

[privé_de_1_et_2-16] 16,0 et ^16,1 On retire $\;\left\lbrace 1\,,\,2\right\rbrace \;$ car ces valeurs ont déjà été traitées.

[17] Voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[18] Qui est aussi le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire, voir le paragraphe « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[19] Qui est aussi le nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau, voir la note « ¹⁷ » plus haut dans la solution de cet exercice.

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