Leçons de niveau 15

Série entière/Exercices/Calcul de sommes

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Calcul de sommes
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Exercices no5
Leçon : Série entière

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Rayon de convergence 3
Exo suiv. :Série entière et équation différentielle
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Série entière/Exercices/Calcul de sommes
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

On considère la série entière de la variable réelle  :

  Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. Est-elle convergente pour  ?

  Pour tout nombre réel tel que la série entière précédente converge, on note sa somme.

  • Expliciter la dérivée de la fonction sur .
  • En déduire pour appartenant à .

  Calculer la somme de chacune des séries numériques suivantes :

  •  ;
  • .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre complexe de module . On rappelle (Série numérique/Exercices/Critère d'Abel#Exercice 8) que la série converge, et (Série entière/Propriétés#Dérivation, intégration) que est défini, pour tout réel , par . Démontrer que .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

Sachant que (cf. Sommation/Exercices/Séries de Fourier et fonction zêta#Exercice 9-1), démontrer que

.

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit (S) la série .

  1. On pose . Déterminer le rayon de convergence de la série .
  2. Quel est le rayon de convergence des séries entières et  ?
  3. Déterminer la somme de la série .
  4. En déduire la somme de la série (S).