Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle

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Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle
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Chapitre no 8
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Théorème d'Emmy Nœther
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique considéré dans ce chapitre est sauf avis contraire « orienté à droite » [1].

     Introduction : Une 1ère notion de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent a été donnée au chap. intitulé « Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et autres champs qui en découlent » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
     Introduction : après un rappel succinct de cet opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” noté «» ainsi que
     Introduction : après un rappel succinct des opérateurs construits à partir de lui “nabla scalaire ...” noté «», “nabla vectoriel ...” noté «» et “nabla scalaire nabla” noté « ou », puis
     Introduction : après un rappel succinct des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent :
     Introduction : après un rappel succinct des champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire noté «»,
     Introduction : après un rappel succinct des champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle noté «»,
     Introduction : après un rappel succinct des champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle noté «» et
     Introduction : après un rappel succinct des champ scalaire laplacien [2] d'une fonction scalaire noté «»,

     Introduction : nous présenterons une représentation matricielle de ces champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle et
     Introduction : nous introduirons dans la mesure du besoin la notion de fonctions tensorielles

Rappel succinct de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla”, des opérateurs qui en découlent et des principaux champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Opérateurs linéaires du 1er ordre “nabla”, “nabla scalaire ...”, “nabla vectoriel ...”, opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla”[modifier | modifier le wikicode]

Opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla”[modifier | modifier le wikicode]

     Définition équivalente dans les principaux repérages : repérage cartésien [5], «» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : repérage cylindro-polaire [6], «» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : repérage sphérique [7], «».

Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» est construit à partir

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini suivant en repérage cartésien «» ;

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini suivant en repérage cylindro-polaire «» ;

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini suivant en repérage sphérique «».

Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» est construit à partir

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini suivant en repérage cartésien «» ;

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini suivant en repérage cylindro-polaire «» ;

   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini suivant en repérage sphérique «».

Opérateur linéaire du 2ème ordre “nabla scalaire nabla”[modifier | modifier le wikicode]

     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» est construit à partir

   L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :

   L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «» il est défini suivant en repérage cartésien «» ;

   L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «» il est défini suivant en repérage cylindro-polaire «» ;

   L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «» il est défini suivant en repérage sphérique «».

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire, champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle, champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace on obtient «» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté
     Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace on obtient « définissant le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire »,

soit «» avec
« fonction scalaire différentiable de l'espace » [10] ;

     on obtient ainsi les composantes de «» suivant le type de repérage utilisé :

     on obtient ainsi les composantes de «» en repérage cartésien «» [11] ;

     on obtient ainsi les composantes de «» en repérage cylindro-polaire «» [12] ;

     on obtient ainsi les composantes de «» en repérage sphérique «» [13] ;

     ces composantes de «» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » [14] rappelée ci-dessous :

     Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive définie localement par la fonction scalaire en raison du mouvement du milieu environnant caractérisé par le vecteur vitesse du point où le transport est considéré,
     Remarque : quand il y a transport on dit qu'il y a « advection de la grandeur scalaire » et
     Remarque : quand il y a transport on caractérise le transport de cette dernière par « son champ scalaire d'advection” » qui s'écrit encore «».

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire...” à la fonction vectorielle de l'espace «» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté
     Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire...” à la fonction vectorielle de l'espace « définissant le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle »,

soit «» avec
« fonction vectorielle différentiable de l'espace » [17] ;

     on obtient ainsi l'expression de «» suivant le type de repérage utilisé :

     on obtient ainsi l'expression de «» en repérage cartésien «» [18] ;

     on obtient ainsi l'expression de «» en repérage cylindro-polaire «» [19] ;

     on obtient ainsi l'expression de «» en repérage sphérique «» [20], [21] ;

     ces expressions de «» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » [22] rappelée ci-dessous :

Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel...” à la fonction vectorielle de l'espace «» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté
     Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel...” à la fonction vectorielle de l'espace « définissant le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle »,

soit «» avec
« fonction vectorielle différentiable de l'espace » [25] ;

     on obtient ainsi les composantes de «» suivant le type de repérage utilisé :

     on obtient ainsi les composantes de «» en repérage cartésien «» [26] ;

     on obtient ainsi les composantes de «» en repérage cylindro-polaire «» [27] ;

     on obtient ainsi les composantes de «» en repérage sphérique «» [28] ;

     ces composantes de «» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » [29] rappelée ci-dessous :

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Si on applique l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace «» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté
     Si on applique l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace « définissant le champ scalaire laplacien [2] de la fonction scalaire »,

soit «» avec
« fonction scalaire différentiable de l'espace » [33], [34] ;

     on obtient ainsi l'expression de «» suivant le type de repérage utilisé :

     on obtient ainsi l'expression de «» en repérage cartésien «» [35] ;

     on obtient ainsi l'expression de «» en repérage cylindro-polaire «» [36] ;

     on obtient ainsi l'expression de «» en repérage sphérique «» [37], [38] ;

     ces expressions de «» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ scalaire laplacien [2] d'une fonction scalaire de l'espace » [39] rappelée ci-dessous :

Représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien[modifier | modifier le wikicode]

     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs sont représentables par des matrices, nous distinguons
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre pour les 1ers [40] « invariants » donc représentables par une matrice de dimension ou taille [41] et
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre pour les 2nds « contravariants » [42] représentables, après choix d'une base du -espace vectoriel les contenant, par une matrice colonne de dimension ou taille , les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie.

     Introduction : Admettant que les opérateurs scalaires et vectoriels sont aussi des opérateurs tensoriels représentables par des matrices d'opérateurs, nous en déduisons
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en matrice colonne s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en cartésien «»,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en cylindro-polaire «» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en sphérique «» ;

     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «»,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «» ;

     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «» en matrice carrée de dimension ou taille s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «» [43],
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «» [43] et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «» [43] ;

     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «» en matrice de dimension ou taille s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «»,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire « » [36] et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique « » [38], [37].

Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” c.-à-d. «» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en matrice colonne voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre, celle du champ vectoriel en matrice colonne suivant le repérage choisi :

     Le champ vectoriel gradient en cartésien «»,

     Le champ vectoriel gradient en cylindro-polaire «» et

     Le champ vectoriel gradient en sphérique «».

Représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” c.-à-d. « » nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” en matrice ligne voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre, celle du champ scalaire en matrice de dimension ou taille [41], produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne suivant le repérage choisi :

     Le champ scalaire divergence en cartésien «
     Le champ scalaire divergence en cartésien «»,

     Le champ scalaire divergence en cylindro-polaire «
     Le champ scalaire divergence en cylindro-polaire «» [19] et

     Le champ scalaire divergence en sphérique «
     Le champ scalaire divergence en sphérique «» [20].

Représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” c.-à-d. « » nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension ou taille voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre, celle du champ vectoriel en matrice colonne suivant le repérage choisi :

     Le champ vectoriel rotationnel en cartésien «
     Le champ vectoriel rotationnel en cartésien «» [26],

     Le champ vectoriel rotationnel en cylindro-polaire «
     Le champ vectoriel rotationnel en cylindro-polaire «» [27] et

     Le champ vectoriel rotationnel en sphérique «
     Le champ vectoriel rotationnel en sphérique «
     Le champ vectoriel rotationnel en sphérique «» [28].

Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

     Le champ scalaire laplacien [2] de la fonction scalaire de l'espace étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” c.-à-d. « » nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” en matrice de dimension ou taille voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre, celle du champ scalaire en matrice de dimension ou taille [41] suivant le repérage choisi :

          Le champ scalaire laplacien en cartésien «» [35],

          Le champ scalaire laplacien en cylindro-polaire «» [36] et

          Le champ scalaire laplacien en sphérique «