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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle et expressions des champs qui en découlent

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Leçons de niveau 14
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Opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle et expressions des champs qui en découlent
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Chapitre no 13
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther
Chap. suiv. :Notion de champs tensoriels, recherche d'une méthode compacte pour déterminer la variation d'un champ vectoriel
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle et expressions des champs qui en découlent
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle et expressions des champs qui en découlent », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.


L'espace physique considéré dans ce chapitre est sauf avis contraire « orienté à droite » [1].

     Introduction : Une 1ère notion de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent
     Introduction : Une 1ère notion a été donnée au chap.[2] de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct de cet opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” noté «» ainsi que
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs construits à partir de lui
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla scalaire ...” noté «»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla vectoriel ...” noté «» et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des opérateurs “nabla scalaire nabla” noté « ou », puis
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent :
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel noté «»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire noté «»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ vectoriel noté «» et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire laplacien [3] d'une fonction scalaire
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons d'abord de faire un rappel succinct des champ scalaire noté «»,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons ensuite de présenter une représentation matricielle de ces champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons ensuite de prolonger aux fonctions vectorielles l'application des opérateurs scalaires linéaires “dM scalaire nabla” et “vitesse scalaire nabla”
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons ensuite de prolonger aux fonctions vectorielles s'appliquant initialement aux fonctions scalaires,
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons ensuite d'introduire la notion de champ laplacien vectoriel [3] appliqué à une fonction vectorielle et
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons ensuite de vérifier, ou non, l'identification du champ laplacien vectoriel [3] d'une fonction vectorielle dans chaque repérage
     Introduction : dans ce chapitre nous nous proposons ensuite de vérifier, ou non, avec l'image de la fonction vectorielle par l'opérateur scalaire linéaire “nabla scalaire nabla”.

Rappel succinct de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla”, des opérateurs qui en découlent et des principaux champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle de l'espace

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Opérateurs linéaires du 1er ordre “nabla”, “nabla scalaire ...”, “nabla vectoriel ...”, opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla”

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Opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla”

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Définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla”, noté , est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «» [4] soit
«» [5].

     Définition équivalente dans les principaux repérages : repérage cartésien [6], «» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : repérage cylindro-polaire [7], «» ;

     Définition équivalente dans les principaux repérages : repérage sphérique [8], «».

Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...”

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     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» est construit à partir de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” [9] et
      L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» est construit à partir de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » [10],
   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
         L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini en repérage cartésien «» [11],
         L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini en repérage cylindro-polaire «» [11] et
         L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «» il est défini en repérage sphérique «» [11].

Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”

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     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» est construit à partir de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” [9] et
      L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» est construit à partir de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication vectorielle » [12],
   L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
         L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini en repérage cartésien «» [13],
         L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini en repérage cylindro-polaire «» [13] et
         L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «» il est défini en repérage sphérique «» [13].

Opérateur linéaire du 2ème ordre “nabla scalaire nabla”

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     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» est construit à partir de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” [9] et
      L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» est construit à partir de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » [10],
   L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
         L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» il est défini en repérage cartésien «» [14],
         L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» il est défini en repérage cylindro-polaire «» [14] et
         L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «» il est défini en repérage sphérique «» [14].

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire, champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle, champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire

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Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

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     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace «» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté « définissant
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace «» c.-à-d. le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire », soit
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace «» avec « fonction scalaire différentiable de l'espace » [15] d'où
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «» :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage cartésien «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage » [16],
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage cylindro-polaire «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage » [17] et
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage sphérique «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage » [18] ;
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace ces composantes de «» selon le type de repérage utilisé sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace intrinsèque du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » [19] rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire
     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire noté «» est le champ vectoriel
     Le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » [20] est égale à « la différentielle de la fonction scalaire » soit
«» [21].

     Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive [22] en raison du mouvement du milieu environnant caractérisé par le vecteur vitesse du point où le transport est considéré,
           Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive on dit qu'il y a « advection de la grandeur scalaire » et
           Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive on caractérise le transport de par « son champ scalaire d'advection “” s'écrivant encore
           Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive on caractérise le transport de par « son champ scalaire d'advection “” ».

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

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     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace «» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté « définissant
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace «» c.-à-d. le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle », soit
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace «» avec « fonction vectorielle différentiable de l'espace » [23] d'où
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «» :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage cartésien «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage » [24],
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage cylindro-polaire «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en » [25] et
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage sphérique «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en » [26], [27] ;
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace ces expressions de «» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace » [28]
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'esp rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle
     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle noté «» est le champ scalaire en égal au
     Le champ scalaire « quotient du flux élémentaire de “” à travers une surface élémentaire fermée entourant [29]
     Le champ scalaire « quotient sur le volume élémentaire “” mesurant l'intérieur de » soit
«»     ou     «» [30] où
« est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée entourant et orienté vers l'extérieur »,
« l'intérieur de cette surface élémentaire fermée étant de volume ».

Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

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     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace «» c.-à-d. un champ vectoriel de l'espace noté « définissant
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace «» c.-à-d. le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle », soit
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace «» avec « fonction vectorielle différentiable de l'espace » [31] d'où
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type de repérage utilisé, les composantes de «» :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage cartésien «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage » [32],
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage cylindro-polaire «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en » [33] et
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en repérage sphérique «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace suivant le type en » [34] ;
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace ces composantes de «» selon le type de repérage sont en accord avec la
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace » [35]
     L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” appliqué à la fonction vectorielle de l'espace « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vect rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle
     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle noté «» est le champ vectoriel défini en dont
     Le champ vectoriel « le flux à travers une surface élémentaire ouverte entourant [36] “” est égal à
     Le champ vectoriel « la circulation du champ le long du contour fermé limitant la surface [37] “” » soit
«»     ou     «»,
« étant le contour élémentaire fermé limitant la surface élémentaire ouverte centrée en et de vecteur surface élémentaire »,
« étant le vecteur déplacement élémentaire générique du contour élémentaire fermé »,
« l'orientation du contour fermé étant définie en accord avec celle de la surface ouverte » [38].

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

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     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace «» c.-à-d. un champ scalaire de l'espace noté « définissant
     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace «» c.-à-d. le champ scalaire laplacien [3] de la fonction scalaire », soit
     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace «» avec « fonction scalaire différentiable de l'espace » [39], [40]
     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type de repérage utilisé, l'expression de «» :
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage cartésien «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage » [41],
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage cylindro-polaire «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage » [42], [27] et
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en repérage sphérique «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace suivant le type en » [43], [44] ;
     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace ces expressions de «» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition
     L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace intrinsèque du champ scalaire laplacien [3] d'une fonction scalaire de l'espace » [45]
          L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” appliqué à la fonction scalaire de l'espace intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'esp rappelée ci-dessous :

Définition intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire

     Le champ scalaire laplacien [3] de la fonction scalaire noté «»
         Le champ scalaire laplacien est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire soit
         Le champ scalaire laplacien est «».

Représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien

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     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs sont représentables par des matrices, nous distinguons
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre pour les 1ers [46] « invariants » donc représentables par une matrice de dimension ou taille [47] et
     Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre pour les 2nds « contravariants » [48], [49] représentables, après choix d'une base du -espace vectoriel les contenant,
                  Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre pour les 2nds « contravariants » représentables, par une matrice colonne de dimension ou taille [50]
                  Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre pour les 2nds « contravariants » les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie.
     Introduction : Admettant que les opérateurs scalaires et vectoriels sont aussi des opérateurs tensoriels représentables par des matrices d'opérateurs, nous en déduisons
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en matrice colonne s'écrivant en cartésien «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en matrice colonne s'écrivant en cylindro-polaire «» et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en matrice colonne s'écrivant en sphérique «» ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant en cartésien «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant en cartésien »,
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant en cylindro-polaire «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant en » et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant en sphérique «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «» en matrice ligne s'écrivant » ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «» en matrice carrée de dimension ou taille s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «» [51],
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire [52]
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique [53] «» ;
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «» en matrice de dimension ou taille [47] s'écrivant
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «» [41],
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire « » [42] et
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
     Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique « » [44], [43].

Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

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     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace étant l'image de par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” c.-à-d.
     Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace étant «» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” [54] en matrice colonne :
     suivant le type de repérage choisi en cartésien
     suivant le type de repérage choisi en cylindro-polaire «» et
     suivant le type de repérage choisi en sphérique «».

Représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

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     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace étant l'image de par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire …” c.-à-d.
     Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace étant «» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” en matrice ligne [54] et
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire en utilisant celle du champ vectoriel en matrice colonne
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire en matrice de dimension ou taille [47] par multiplication matricielle :
     suivant le type de repérage choisi en cartésien «
     suivant le type de repérage choisi en cartésien « » [24],
     suivant le type de repérage choisi en cylindro-polaire «
     suivant le type de repérage choisi en cylindro-polaire « » [25] et
     suivant le type de repérage choisi en sphérique «
     suivant le type de repérage choisi en sphérique « » [26].

Représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

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     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace étant l'image de par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” c.-à-d.
     Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace étant «» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” [54] en matrice carrée
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel en utilisant celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla de dimension ou taille et
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel en utilisant celle du champ vectoriel en matrice colonne
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ vectoriel en matrice colonne par multiplication matricielle :
     suivant le type de repérage choisi en cartésien «
     suivant le type de repérage choisi en cartésien « » [32],
     suivant le type de repérage choisi en cylindro-polaire
     suivant le type de repérage choisi en cylindro-polaire « » [33] et
     suivant le type de repérage choisi en sphérique «
     suivant le type de repérage choisi en sphérique «
     suivant le type de repérage choisi en sphérique « » [34].

Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

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     Le champ scalaire laplacien [3] de la fonction scalaire de l'espace étant l'image de par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” c.-à-d.
          Le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire de l'espace étant «» nous en déduisons,
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla”
     suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire en utilisant celle de l'opérateur scalaire linéaire en matrice de dimension ou taille [47][54]
      suivant le type de repérage choisi, la représentation matricielle du champ scalaire en matrice de dimension ou taille [47] :
     suivant le type de repérage choisi en cartésien «» [41],
     suivant le type de repérage choisi en cylindro-polaire «» [42] et
     suivant le type de repérage choisi en sphérique «» [44], [43].

Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace et conséquences

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     Introduction : ayant décrit l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «» aux fonctions scalaires de l'espace
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace «» [55] ainsi que
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant «» [56]
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant le champ scalaire d'advection [57] de la grandeur scalaire intensive [22]
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant «» avec le vecteur
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ vectoriel ses deux champs scalaires s'en déduisant vitesse du point du milieu environnant où le transport est considéré [57] et
     Introduction : ayant décrit dans les exemples suivants le champ scalaire laplacien [3] de la fonction scalaire de l'espace «» [58],
     Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «» aux fonctions vectorielles de l'espace [59].

Identification de l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace

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     Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «» aux fonctions vectorielles différentiables de l'espace [60] ;
     Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” pour préciser la façon dont «» agit sur la fonction vectorielle «»
     Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” pour préciser nous nous plaçons en repérage « cylindro-polaire » [61], [62] :

     Étude en repérage « cylindro-polaire » [61], [62] : le vecteur déplacement élémentaire du point de coordonnées s'écrivant «» [63] et
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” s'exprimant selon «» [9]
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” s'écrit selon «»
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, en appliquant «» au champ vectoriel «» nous en déduisons
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « l'image de par » définie comme le vecteur «
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «», soit
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « en faisant agir les dérivées partielles uniquement sur les composantes de une 1ère série de termes
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « » [64] et
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « en faisant agir les dérivées partielles sur les vecteurs de base cylindro-polaire une 2ème série de termes
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « » [65] ou encore «» [66] soit finalement
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, «» ou
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « en reconnaissant dans le membre de droite la différentielle de la fonction vectorielle ,
                  Étude en repérage « cylindro-polaire » : d'où, « l'identification recherchée «» établie en repérage cylindro-polaire et valable quel que soit le repérage.

     Étude en repérage « cartésien » : la vérification ne présente aucune difficulté, les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point  ;
     Étude en repérage « cartésien » : le vecteur déplacement élémentaire du point de coordonnées s'écrivant «» et
     Étude en repérage « cartésien » : l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” s'exprimant selon «» [9]
     Étude en repérage « cartésien » : l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” s'écrit selon «»
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, en appliquant «» au champ vectoriel «» nous en déduisons
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, «
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, « ou encore
     Étude en repérage « cartésien » : d'où, « » s'identifiant termes à termes à «» C.Q.F.V. [67].

     Étude en repérage « sphérique » [68] : vérification plus délicate laissée à l'initiative du lecteur[69] utilisant la même méthode de vérification qu'en cylindro-polaire.

     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : découle de celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «» en matrice colonne [54]
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : découle multipliée matriciellement à gauche par celle de la forme linéaire «» en matrice ligne
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : représentation matricielle de «» en matrice de dimension ou taille [47] soit
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en cartésien «
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en cartésien « [70]
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en cartésien « » [71],
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en cylindro-polaire «
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en cylindro-polaire « [70]
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en cylindro-polaire « » [71],
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en sphérique «
                       Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en sphérique « [70]
                             Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” : en sphérique « » [44], [71].

     Représentation matricielle de l'image de la fonction vectoriellepar l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla”ou représentation matricielle de la différentielle :
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension ou taille [47] sur la matrice colonne représentant » [72] soit
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cartésien, «[72] s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cartésien, « [73]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cartésien, « » [27],
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, «[72] s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, « [73]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, « [27]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, « » [27], [74],
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, «[72] s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, « [73]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, « [27], [44]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, « » [27], [75].

Champ d'advection d'une fonction vectorielle de l'espace

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     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla”» [76] à partir de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla”«» :
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” le « vecteur vitesse du point à l'instant “” » étant lié
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” au « vecteur déplacement élémentaire de à partir de l'instant pendant la durée élémentaire “” » [77] par
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” au «» [78] c.-à-d. que s'obtient en divisant par
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” s'obtient en multipliant par
     Détermination de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” soit «[76] » [73].

     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en cartésien «
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en cartésien « [79]
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en cartésien « » [76],
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en cylindro-polaire «
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en cylindro-polaire « [79]
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en cylindro-polaire « » [76],
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en sphérique «
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en sphérique « [79]
     Représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” : en sphérique « » [76].

     Représentation matricielle de l'image de la fonction vectoriellepar l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla”[76]
     Représentation matricielle de l'image ou représentation matricielle du « champ d'advection [57]» de la fonction vectorielle[76] :
      Représentation matricielle de l'image en matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension ou taille [47] sur la matrice colonne représentant » [72] soit
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cartésien, «[72] [76] s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cartésien, « [76]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cartésien, « » [76], [16],
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, «[72] [76] s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, « [76], [27]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en cylindro-polaire, « [76], [17], [80],
     Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, «[72] [76] s'écrit encore
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, « [76], [27], [44]
          Représentation matricielle de l'image en matrice colonne en sphérique, « » [76], [18], [81].

     Exemple, champ d'advection [57] du champ des vecteurs vitesse d'un milieu environnant mobile «» [82] : suivant le repérage utilisé nous obtenons
     Exemple, en cartésien «»,
     Exemple, en cylindro-polaire «» [83],
     Exemple, en sphérique «
Exemple,en sphérique « » [76], [84].

Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla scalaire nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace

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     Introduction : ayant décrit l'application directe de l'opérateur linéaire du 2nd ordre "nabla scalaire nabla" «» aux fonctions scalaires différentiables [39] de l'espace
     Introduction : ayant décrit en « l'image de la fonction scalaire différentiable [39] de l'espace par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” » c.-à-d.
     Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien [3] de la fonction scalaire «» [40] selon
         Introduction : ayant décrit en « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire «» [58],
     Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire du 2nd ordre "nabla scalaire nabla" «»
     Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe à la fonction vectorielle différentiable [85] de l'espace [86] puis
     Introduction : nous nous proposons de comparer le résultat obtenu à celui établi par « définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel [3] » [87]
     Introduction : nous nous proposons de comparer dans les trois repérages cartésien, cylindro-polaire et sphérique

Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace

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Définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle

     Le champ laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielle noté «»
         Le champ laplacien vectoriel est « la différence entre le champ vectoriel gradient [19] du champ scalaire divergence [28] de et
         Le champ laplacien vectoriel est « la différence entre le champ vectoriel rotationnel [35] du champ vectoriel rotationnel [35] de »
  Le champ laplacien vectoriel est soit «».

Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cartésien

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     Préliminaire : nous allons établir cette identification en travaillant sur leurs représentations matricielles en cartésien.

     Représentation matricielle, en cartésien, du champ laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielledéfini intrinsèquement : [88],
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ scalaire étant représenté matriciellement en matrice de dimension ou taille [47] c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ scalaire étant représenté matriciellement [89] et
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ vectoriel représenté en matrice colonne [90] nous en déduisons
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ vectoriel gradient [19] du champ scalaire divergence [28] de représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ «
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ «
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ « [91]
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ « [91] ;
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ vectoriel étant représenté en matrice colonne «» [92]
     Représentation matricielle, en cartésien, on y substitue les composantes cartésiennes de par celles de pour obtenir celles de d'où
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ vectoriel représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ «[27], [91]
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ « » [27], [91] par soustraction
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ vectoriel représenté en matrice colonne «» ou
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ «[27], [91]
     Représentation matricielle, en cartésien, le champ « [91], [93] » [41].

     Représentation matricielle, en cartésien, de l'image de la fonction vectoriellepar l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” étant représenté matriciellement en matrice de dimension ou taille [47] c.-à-d.
     Représentation matricielle, en cartésien, l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” étant représenté matriciellement [54],
     Représentation matricielle, en cartésien, son action sur la matrice colonne représentant conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne [72] soit
     Représentation matricielle, en cartésien, son action «
     Représentation matricielle, en cartésien, son action « » [41].

     Conclusion : « les représentations matricielles de et de en repérage cartésien étant les mêmes » «» [94].

     Remarque : les composantes cartésiennes du laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielle sont les laplaciens scalaires [3] des composantes cartésiennes de la fonction vectorielle !

Tentative échouée d'identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cylindro-polaire

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     Préliminaire : nous allons tenter d'établir cette identification en travaillant sur leurs représentations matricielles en cylindro-polaire mais
     Préliminaire : nous allons échouer car, en fait, l'identification n'est valable qu'en représentation cartésienne.

     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, du champ laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielledéfini intrinsèquement : [88],
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ scalaire étant représenté matriciellement en matrice de dimension ou taille [47] c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ scalaire étant représenté matriciellement [89], [27] et
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ vectoriel représenté en matrice colonne [90] nous en déduisons
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ vectoriel gradient [19] du champ scalaire divergence [28] de représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ «
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « [27]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « [91], [27]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « » [91] ;
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ vectoriel étant représenté en matrice colonne «» [92], [27]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, on y substitue les composantes cylindro-polaires de par celles de pour obtenir celles de d'où
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ vectoriel représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ «[27], [91]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « » [27], [91]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ vectoriel représenté en matrice colonne «» ou
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ «
                         Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « [27], [91]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « [93], [91]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, le champ « » [42].

     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, de l'image de la fonction vectoriellepar l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” étant représenté matriciellement en matrice de dimension ou taille [47] c.-à-d.
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” étant [54],
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action sur la matrice colonne représentant conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne [72] soit
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action «
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action « [91], [27]
     Représentation matricielle, en cylindro-polaire, son action « » [42], [95], [91].

     Conclusion : « les représentations matricielles de et de en repérage cylindro-polaire étant différentes » «» [96].

     Remarque : les composantes cylindro-polaires du laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielle ne sont pas les laplaciens scalaires [3] des composantes cylindro-polaires de la fonction vectorielle !

Tentative échouée d'identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage sphérique

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     Préliminaire : nous allons tenter d'établir cette identification en travaillant sur leurs représentations matricielles en sphérique mais
     Préliminaire : nous allons échouer car, en fait, l'identification n'est valable qu'en représentation cartésienne.

     Représentation matricielle, en sphérique, du champ laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielledéfini intrinsèquement : [88],
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ scalaire étant représenté matriciellement en matrice de dimension ou taille [47] c.-à-d. en fonction scalaire s'écrivant
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ scalaire étant [89], [27] et
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ vectoriel représenté en matrice colonne [90] nous en déduisons
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ vectoriel gradient [19] du champ scalaire divergence [28] de représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ «
Représentation matricielle, en sphérique, le champ «
Représentation matricielle, en sphérique, le cha« [91]
Représentation matricielle, en sphérique, le champ </math> » [93], [27], [91] ;
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ vectoriel étant représenté en matrice colonne «» [92], [27], [91]
     Représentation matricielle, en sphérique, on y substitue les composantes sphériques de par celles de pour obtenir celles de d'où
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ vectoriel représenté en matrice colonne
     Représentation matricielle, en sphérique, le «[27], [91]
               Représentation matricielle, en sphérique, le champ » [27], [91]
     Représentation matricielle, en sphérique, le champ vectoriel représenté en matrice colonne «» ou
     Représentation matricielle, en sphérique, «[27], [91]
     Représentation matricielle, en sphérique, « matrice simplifiée par utilisation des développements du contenu de chaque ligne entre accolades [97] selon
     Représentation matricielle, en sphérique, «[27], [91]
     Représentation matricielle, en sphérique, « » [43], [91].

     Représentation matricielle, en sphérique, de l'image de la fonction vectoriellepar l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” :
     Représentation matricielle, en sphérique, l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” étant représenté matriciellement en matrice de dimension ou taille [47] c.-à-d.
   Représentation matricielle, en sphérique, l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” étant[54], [44],
   Représentation matricielle, en sphérique, son action sur la matrice colonne représentant conduit à une image représentée matriciellement en matrice colonne [72] soit
   Représentation matricielle, en sphérique, son action «[44]
   Représentation matricielle, en sphérique, son action « [91], [27], [98],
   Représentation matricielle, en sphérique, son action « » [43], [91].

     Conclusion : « les représentations matricielles de et de en repérage sphérique étant différentes » «» [99].

     Remarque : les composantes sphériques du laplacien vectoriel [3] de la fonction vectorielle ne sont pas les laplaciens scalaires [3] des composantes sphériques de la fonction vectorielle !

Notes et références

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  1. ↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. ↑ Voir le chap. intitulé « Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et autres champs qui en découlent » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  3. ↑ 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 3,13 3,14 3,15 3,16 3,17 3,18 et 3,19 Nom donné pour rendre hommage à Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités dans cette dernière il utilise la transformation de Laplace portant son nom pour lui rendre hommage découverte par Leonhard Euler ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
       Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
  4. ↑ Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  5. ↑ Pour l'instant le domaine d'application de cet opérateur scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.
  6. ↑ Voir le paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  7. ↑ Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  8. ↑ Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'pérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  9. ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 et 9,4 Voir le rappel « opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre.
  10. ↑ 10,0 et 10,1 On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. ↑ 11,0 11,1 et 11,2 Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1er ordre “nabla scalaire ...” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. ↑ On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  13. ↑ 13,0 13,1 et 13,2 Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1er ordre “nabla vectoriel ...” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. ↑ 14,0 14,1 et 14,2 Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. ↑ Voir le paragraphe « lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  16. ↑ 16,0 et 16,1 Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  17. ↑ 17,0 et 17,1 Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  18. ↑ 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  19. ↑ 19,0 19,1 19,2 19,3 et 19,4 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  20. ↑ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel est voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. ↑ Ou, de façon plus concise «» définition à connaître sans hésitation.
  22. ↑ 22,0 et 22,1 C.-à-d. définie localement et par suite dépendant, a priori, du point considéré et de l'instant envisagé ;
       À savoir distinguer d'une grandeur extensive qui est définie globalement pour tous les points du système donc ne dépendant ni du point générique ni de l'instant et est additive.
  23. ↑ Voir le paragraphe « définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire...” de cette fonction vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  24. ↑ 24,0 et 24,1 Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  25. ↑ 25,0 et 25,1 Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  26. ↑ 26,0 et 26,1 Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  27. ↑ 27,00 27,01 27,02 27,03 27,04 27,05 27,06 27,07 27,08 27,09 27,10 27,11 27,12 27,13 27,14 27,15 27,16 27,17 27,18 27,19 27,20 27,21 27,22 27,23 27,24 27,25 27,26 et 27,27 Pour alléger la notation, le point dont dépendent les fonctions du 2nd membre n'a pas été indiqué
  28. ↑ 28,0 28,1 28,2 28,3 et 28,4 Voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  29. ↑ Le flux élémentaire d'un champ vectoriel est «» voir paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluationl (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. ↑ Ou, de façon plus concise «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  31. ↑ Voir le paragraphe « définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel...” de cette fonction vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  32. ↑ 32,0 et 32,1 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien (méthode de détermination des composantes cartésiennes) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  33. ↑ 33,0 et 33,1 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire (méthode de détermination des composantes cylindro-polaires) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  34. ↑ 34,0 et 34,1 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique (méthode de détermination des composantes sphériques) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  35. ↑ 35,0 35,1 et 35,2 Voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  36. ↑ Le flux élémentaire du champ vectoriel est «» voir paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  37. ↑ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel le long d'un contour élémentaire est où est le vecteur déplacement élémentaire en de voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       la circulation du champ vectoriel le long du contour élémentaire est définie par «» voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  38. ↑ Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec choix d'une base orthonormée directe voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la courbe fermée limitant la surface ouverte à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de et effectuant une translation dans le sens choisi sur , le sens défini sur correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».
  39. ↑ 39,0 39,1 et 39,2 Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2ndes de la fonction scalaire existent.
  40. ↑ 40,0 et 40,1 Voir le paragraphe « définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  41. ↑ 41,0 41,1 41,2 41,3 et 41,4 Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  42. ↑ 42,0 42,1 42,2 42,3 et 42,4 Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  43. ↑ 43,0 43,1 43,2 43,3 et 43,4 Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  44. ↑ 44,0 44,1 44,2 44,3 44,4 44,5 44,6 et 44,7 Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté.
  45. ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
  46. ↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  47. ↑ 47,00 47,01 47,02 47,03 47,04 47,05 47,06 47,07 47,08 47,09 47,10 47,11 47,12 et 47,13 Les matrices de taille théoriquement possibles sont usuellement éliminées voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la raison étant que, dans la pratique, leurs propriétés s'identifient à celles d'un élément de , mais ici nous maintenons cette possibilité.
  48. ↑ Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
  49. ↑ C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont contravariantes.
  50. ↑ Voir le paragraphe « interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans lequel les résultats établis pour les triplets sont applicables aux vecteurs de l'espace tridimensionnel.
  51. ↑ La représentation matricielle de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension ou taille conduit à une matrice symétrique uniquement dans le repérage cartésien, celle propriété devenant fausse dans le repérage cylindro-polaire ou sphérique voir les notes « 52 » et « 53 » plus loin dans ce chapitre.
  52. ↑ La représentation matricielle de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension ou taille conduit à une matrice non symétrique en repérage cylindro-polaire, l'élément diffèrant de l'élément de façon à ce que « étant la matrice colonne représentant un champ vectoriel en repérage cylindro-polaire représente la matrice colonne associée au champ vectoriel dans ce repérage » voir le paragraphe « représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre..
  53. ↑ La représentation matricielle de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension ou taille conduit à une matrice non symétrique en repérage sphérique, l'élément diffèrant de l'élément de façon à ce que « étant la matrice colonne représentant un champ vectoriel en repérage sphérique représente la matrice colonne associée au champ vectoriel dans ce repérage » voir le paragraphe « représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre.
  54. ↑ 54,0 54,1 54,2 54,3 54,4 54,5 54,6 et 54,7 Voir l'introduction du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre.
  55. ↑ Voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  56. ↑ Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  57. ↑ 57,0 57,1 57,2 et 57,3 Voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace (remarque) » plus haut dans ce chapitre.
  58. ↑ 58,0 et 58,1 Voir le paragraphe « champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  59. ↑ Application « directe » de l'opérateur vectoriel «» à une fonction vectorielle «» sans utiliser les opérateurs intermédiaires « multiplication scalaire » comme dans le champ scalaire divergence «» ou « multiplication vectorielle » comme dans le champ vectoriel rotationnel «».
  60. ↑ Voir le paragraphe « prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire “nabla” aux fonction vectorielles de l'espace et conséquences (introduction) » plus haut dans ce chapitre.
  61. ↑ 61,0 et 61,1 On aurait pu choisir pour les mêmes raisons le repérage sphérique.
  62. ↑ 62,0 et 62,1 Dans le repérage « cylindro-polaire » les deux 1ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de l'action des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” sur eux n'est pas nécessairement nulle d'où l'intérêt du choix de ce repérage pour préciser la façon dont «» agit sur la fonction vectorielle «».
  63. ↑ Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  64. ↑ On pourrait encore écrire «».
  65. ↑ En effet «» et «» les dérivées partielles étant en fait des dérivées droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable .
  66. ↑ En effet et voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  67. ↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  68. ↑ Dans le repérage « sphérique » les deux 1ers vecteurs de base dépendant des deux coordonnées angulaires de , le 3ème ne dépendant que de l'action des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” sur eux n'est donc pas nécessairement nulle d'où une complication plus importante que celle utilisant le repérage cylindro-polaire.
  69. ↑ Pour cela on pourra utiliser à bon escient les informations établies dans les paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  70. ↑ 70,0 70,1 et 70,2 Le résultat du produit d'une matrice de dimension ou taille par une matrice de dimension ou taille est une matrice de dimension ou taille .
  71. ↑ 71,0 71,1 et 71,2 C.-à-d. «» l'opérateur de différenciation.
  72. ↑ 72,00 72,01 72,02 72,03 72,04 72,05 72,06 72,07 72,08 72,09 et 72,10 L'action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne transforme cette dernière en une nouvelle matrice colonne dont chaque élément est le résultat de l'action de cet opérateur sur chaque élément de la matrice colonne d'origine.
       Attention il ne s'agit nullement d'un produit de matrices lequel ne serait pas défini entre une matrice de dimension ou taille et une autre de dimension ou taille .
  73. ↑ 73,0 73,1 73,2 et 73,3 Avec «» opérateur de différenciation.
  74. ↑ Ou encore, en utilisant les résultats rappelés en notes « 65 et 66 » plus haut dans ce chapitre «» voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre.
  75. ↑ Ou encore, en utilisant les résultats des paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
    «» voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre.
  76. ↑ 76,00 76,01 76,02 76,03 76,04 76,05 76,06 76,07 76,08 76,09 76,10 76,11 76,12 76,13 76,14 76,15 et 76,16 Pour alléger la notation, l'instant des grandeurs dépendant explicitement du temps n'a pas été indiqué
  77. ↑ Ou simplement quand il n'y a aucune ambiguïté, ce qui est quasiment toujours le cas.
  78. ↑ Voir le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse (autre définition du vecteur vitesse du point M) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  79. ↑ 79,0 79,1 et 79,2 Voir le paragraphe « identification de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace (représentation matricielle) » plus haut dans ce chapitre.
  80. ↑ Ou encore, en utilisant les résultats rappelés en notes « 65 et 66 » plus haut dans ce chapitre «» voir la note « 76 » plus haut dans ce chapitre.
  81. ↑ Ou encore, en utilisant les résultats des paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
    «» voir la note « 76 » plus haut dans ce chapitre.
  82. ↑ Ce champ intervient lors du calcul de la dérivée particulaire du champ de vecteurs vitesse d'un milieu fluide «», cette dérivée particulaire de jouant le rôle du vecteur accélération du point lors de l'étude de la dynamique des fluides,
    • le 1er terme traduisant la variation locale de en figé et
    • le 2ème la variation advective ou encore convective de liée au déplacement du point .
  83. ↑ Voir la note « 80 » plus haut dans ce chapitre.
  84. ↑ Voir la note « 81 » plus haut dans ce chapitre.
  85. ↑ Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2ndes de la fonction vectorielle existent.
  86. ↑ Application « directe » de l'opérateur scalaire «» à une fonction vectorielle «» sans utiliser les opérateurs intermédiaires « multiplication scalaire » intervenant dans l'opérateur «» ou « “nabla” ».
  87. ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus bas dans ce chapitre.
  88. ↑ 88,0 88,1 et 88,2 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du champ laplacien vectoriel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  89. ↑ 89,0 89,1 et 89,2 Voir le paragraphe « représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  90. ↑ 90,0 90,1 et 90,2 Voir le paragraphe « représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  91. ↑ 91,00 91,01 91,02 91,03 91,04 91,05 91,06 91,07 91,08 91,09 91,10 91,11 91,12 91,13 91,14 91,15 91,16 91,17 91,18 91,19 91,20 91,21 91,22 et 91,23 Pour alléger la notation, les variables maintenues figées lors de dérivations partielles n'ont pas été indiquées
  92. ↑ 92,0 92,1 et 92,2 Voir le paragraphe « représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
  93. ↑ 93,0 93,1 et 93,2 En admettant que, lors d'une dérivation partielle du 2nd ordre on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat théorème de Schwarz.
       Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'analyse réelle et complexe à la géométrie différentielle, en passant par le calcul des variations ; il contribua à propager en Italie et en France les idées du mathématicien Karl Weierstrass dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en  ;
       Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass ayant la propriété d'être partout continue mais dérivable nulle part.
  94. ↑ Pour l'instant «» uniquement en cartésien mais la généralisation est faite dans les deux paragraphes suivants, en cylindro-polaire et en sphérique.
  95. ↑ En effet « et » les dérivées initialement partielles étant devenues droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dont on déduit « et ».
  96. ↑ Pour l'instant «» en cartésien et «» en cylindro-polaire.
  97. ↑ Dans cette note nous utilisons le théorème de Schwarz voir la note « 93 » pour plus de détails.
       la 1ère ligne :
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  98. ↑ On utilisera les informations établies dans les paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       La 1ère ligne c.-à-d. «» contient deux types de termes
       La 1ère ligne ceux qui résultent de la dérivation de maintenant figés les vecteurs de base sphériques et dont la somme fournit et
       La 1ère ligne ceux qui résultent de la dérivation de maintenant constants « ou ses dérivées 1ères » hyp. de variation de , d'où
       La 1ère ligne pour le 1er terme «»
       La 1ère ligne pour le 1er terme « indépendant de ,
       La 1ère ligne pour le 2nd terme «
       La 1ère ligne pour le 2nd terme «
       La 1ère ligne pour le 2nd terme «» avec
       La 1ère ligne pour le 2nd terme d'où «» et
       La 1ère ligne pour le 3ème terme «
       La 1ère ligne pour le 3ème terme «» avec et
       La 1ère ligne pour le 3ème terme « d'où
       La 1ère ligne pour le 3ème terme «
       La 1ère ligne ajouter à dans la 1ère ligne de la matrice colonne «».
       La 2ème ligne c.-à-d. «» contient deux types de termes
       La 2ème ligne ceux qui résultent de la dérivation de maintenant figés les vecteurs de base sphériques et dont la somme fournit et
       La 2ème ligne ceux qui résultent de la dérivation de maintenant constants « ou ses dérivées 1ères » hyp. de variation de , d'où
       La 2ème ligne pour le 1er terme «»
       La 2ème ligne pour le 1er terme « indépendant de ,
       La 2ème ligne pour le 2nd terme «
       La 2ème ligne pour le 2nd terme «
       La 2ème ligne pour le 2nd terme «» avec
       La 2ème ligne pour le 2nd terme d'où «» et
       La 2ème ligne pour le 3ème terme «
       La 2ème ligne pour le 3ème terme «» avec et
       La 2ème ligne pour le 3ème terme « d'où
       La 2ème ligne pour le 3ème terme «
       La 2ème ligne ajouter à dans la 2ème ligne de la matrice colonne «».
       La 3ème ligne c.-à-d. «» contient deux types de termes
       La 3ème ligne ceux qui résultent de la dérivation de maintenant figés les vecteurs de base sphériques et dont la somme fournit et
       La 3ème ligne ceux qui résultent de la dérivation de maintenant constants « ou ses dérivées 1ères » hyp. de variation de , d'où
       La 3ème ligne pour le 1er terme «»
       La 3ème ligne pour le 1er terme « indépendant de ,
       La 3ème ligne pour le 2nd terme «
       La 3ème ligne pour le 2nd terme «
       La 3ème ligne pour le 2nd terme «» indépendant de et
       La 3ème ligne pour le 3ème terme «
       La 3ème ligne pour le 3ème terme «» avec
       La 2ème ligne pour le 3ème terme «et d'où
       La 3ème ligne pour le 3ème terme «
       La 3ème ligne ajouter à dans la 3ème ligne de la matrice colonne «»..
  99. ↑ «» en cartésien mais «» en cylindro-polaire et en sphérique.


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