Leçons de niveau 14

Matrice/Exercices/Produit matriciel

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Produit matriciel
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Produit matriciel

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Déterminant
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Produit matriciel
Matrice/Exercices/Produit matriciel
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Produit matriciel : possible ou pas ?[modifier | modifier le wikicode]

On considère les quatre matrices :

.

1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?

2. Effectuez-les.

Matrice strictement triangulaire[modifier | modifier le wikicode]

Soit une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même. Démontrer que .

Soit avec .

  1. Calculer et .
  2. En déduire la matrice inverse de .

Non-commutativité[modifier | modifier le wikicode]

On considère les deux matrices suivantes :

.

Calculer et . Que remarque-t-on ?

Soient et . Calculez et comparez et .

Diviseurs de zéro[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux matrices carrées de même taille. Montrer que si , les matrices et ne sont pas inversibles.

Calculs d'inverses[modifier | modifier le wikicode]

Par la méthode polynomiale[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Calculer et vérifier que . En déduire que est inversible et calculer son inverse.

Soit . Calculer et vérifier que . En déduire que est inversible et calculer son inverse.

Soient et une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier tel que . Démontrer que la matrice est inversible et déterminer son inverse.

Par résolution de système[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant un système linéaire, inverser la matrice .

Par la formule de Laplace[modifier | modifier le wikicode]

Pour quelles valeurs de la matrice est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.

Calculer l'inverse de la matrice suivante en passant par le calcul de sa comatrice.

.

Par la méthode du pivot de Gauss[modifier | modifier le wikicode]

Calculer, par la méthode du pivot de Gauss, l'inverse de

.

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]