Leçons de niveau 14

Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire

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Matrice d'une application linéaire
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Exercices no3
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Matrice d'une application linéaire

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Déterminant
Exo suiv. :Changement de base
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Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un -espace vectoriel de dimension . Soit une base de . On définit, pour , l'application linéaire par :

, , , .
  1. Donner la matrice de dans la base .
  2. Calculer le déterminant de .
  3. Déterminer les valeurs de pour lesquelles est inversible (c.-à-d. bijective).

Mêmes questions pour

, , , .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une base de et , , .

  1. Montrer que est une base de .
  2. Soit l'endomorphisme de qui, dans la base , est représenté par la matrice . Calculer la matrice de dans la base .

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Montrer qu'il existe — qu'on calculera en fonction des coefficients de — tels que
    .
  2. En déduire que si est une application linéaire, alors la famille est liée.