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Exercice : Matrice d'une application linéaire
Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
un
-espace vectoriel de dimension
. Soit
une base de
. On définit, pour
, l'application linéaire
par :
,
,
,
.
- Donner la matrice
de
dans la base
.
- Calculer le déterminant de
.
- Déterminer les valeurs de
pour lesquelles
est inversible (c'est-à-dire bijective).
Mêmes questions pour
,
,
,
.
Soit
une base de
et
,
,
.
- Montrer que
est une base de
.
- Soit
l'endomorphisme de
qui, dans la base
, est représenté par la matrice
. Calculer la matrice de
dans la base
.
- Soit
. Montrer qu'il existe
— qu'on calculera en fonction des coefficients de
— tels que
.
- En déduire que si
est une application linéaire, alors la famille
est liée.
Donner la matrice dans les bases
de
, et aussi dans les bases
le cas échéant, de l'application linéaire
.
,
.
,
est la base canonique de
,
.
,
est la base canonique de
,
.
,
,
sont les bases canoniques et
.
Donner aussi des bases
dans lesquelles la matrice de
soit 
et en déduire des matrices inversibles
,
telles que
,
.
Solution
.
,
.
,
.
,
,
,
,
.
Soit
un espace vectoriel de dimension 3 et
une base de
.
On considère l'application linéaire
dont la matrice dans la base
est
.
- Déterminer l'image par
d'un vecteur
de coordonnées
dans la base
.
- Écrire la matrice
de
dans la base
.
- Écrire la matrice
de
dans la base
.