Leçons de niveau 14

Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire

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Matrice d'une application linéaire
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Exercices no3
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Matrice d'une application linéaire

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Déterminant
Exo suiv. :Changement de base
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Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire
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Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit un -espace vectoriel de dimension . Soit une base de . On définit, pour , l'application linéaire par :

, , , .
  1. Donner la matrice de dans la base .
  2. Calculer le déterminant de .
  3. Déterminer les valeurs de pour lesquelles est inversible (c.-à-d. bijective).

Mêmes questions pour

, , , .

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit une base de et , , .

  1. Montrer que est une base de .
  2. Soit l'endomorphisme de qui, dans la base , est représenté par la matrice . Calculer la matrice de dans la base .

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soit . Montrer qu'il existe — qu'on calculera en fonction des coefficients de — tels que
    .
  2. En déduire que si est une application linéaire, alors la famille est liée.

Exercice 3-4[modifier | modifier le wikicode]

Donner la matrice dans les bases de , et aussi dans les bases le cas échéant, de l'application linéaire .

  1. , .
  2. , est la base canonique de ,
    .
  3. , est la base canonique de ,
    .
  4. , , sont les bases canoniques et
    .
    Donner aussi des bases dans lesquelles la matrice de soit
    et en déduire des matrices inversibles , telles que , .

Exercice 3-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace vectoriel de dimension 3 et une base de .

On considère l'application linéaire dont la matrice dans la base est .

  1. Déterminer l'image par d'un vecteur de coordonnées dans la base .
  2. Écrire la matrice de dans la base .
  3. Écrire la matrice de dans la base .