Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires

Durée : 4 heures.

Énoncé

Questions de cours : rudiments de logique et décomposition en éléments simples

1. On exprime qu'une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ de nombre réels converge vers le réel $l$ si elle vérifie la propriété suivante :

$\forall \epsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ \forall n\in \mathbb {N} \ \left(n\geq p\Rightarrow |u_{n}-l|<\epsilon \right)$.

Exprimer la propriété contraire.

2. Soit $P$ un polynôme non nul et $a\in \mathbb {C}$ une racine de $P$.

2.1. Définir la multiplicité de $a$ pour $P$.

2.2. Caractériser la multiplicité de $a$ pour $P$ à l'aide des polynômes dérivés de $P$.

Solution

1. $\exists \epsilon >0\ \forall p\in \mathbb {N} \ \exists n\in \mathbb {N} \ \left(n<p\lor \left|u_{n}-l\right|<\epsilon \right)$.

2.

2.1. On dit que $\alpha$ est une racine de $P$ multiplicité ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ si ${\displaystyle (X-\alpha )^{n}}$ divise ${\displaystyle P}$ mais ${\displaystyle (X-\alpha )^{n+1}}$ ne divise pas ${\displaystyle P}$.

2.2. On démontre que $\alpha$ est une racine de $P$ multiplicité ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ si, et seulement si, $P(\alpha )=P^{\prime }(\alpha )=\dots =P^{(n-1)}(\alpha )=0$ et $P^{(n)}\neq 0$.

 

Exercice 1 : décomposition en éléments simples

Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples :

1. $F_{1}\left(z\right)={\frac {z^{2}+z+1}{\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)}}$ ;
2. $F_{2}\left(z\right)={\frac {z^{3}}{\left(z-1\right)\left(z-2\right)}}$ ;
3. $F_{3}\left(z\right)={\frac {z^{5}+3z+2}{\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)^{2}}}$ ;
4. $F_{4}\left(z\right)={\frac {2z^{2}+3z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^{4}}}$.

Solution

1.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a $F_{1}\left(z\right)={\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{(z-1)^{2}}}+{\frac {c}{z-2}}$, soit

$z^{2}+z+1=a\left(z-1\right)\left(z-2\right)+b\left(z-2\right)+c\left(z-1\right)^{2}$.

En posant $z=2$, on trouve que $c=7$ ; en posant $z=1$, on trouve que $b=-3$.

En prenant un équivalent quand $z\to \infty$, on obtient $a=1-c=-6$, d'où

$F_{1}\left(z\right)=-{\frac {6}{z-1}}-{\frac {3}{(z-1)^{2}}}+{\frac {7}{z-2}}$.

2.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

$F_{2}\left(z\right)=cz+d+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{z-2}}$, soit

$z^{3}=\left(cz+d\right)\left(z-1\right)\left(z-2\right)+a\left(z-2\right)+b\left(z-1\right)$.

En posant $z=2$, on obtient $b=8$ ; en posant $z=1$, on obtient $a=-1$.

En prenant un équivalent quand $z\to \infty$, on obtient $c=1$.

En posant $z=0$, on obtient $d={\frac {2a+b}{2}}=3$, d'où

$F_{2}\left(z\right)=z+3-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {8}{z-2}}$.

3.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

$F_{3}\left(z\right)=ez+f+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {b}{(z-1)^{2}}}+{\frac {c}{z-2}}+{\frac {d}{(z-2)^{2}}}$, soit

$z^{5}+3z+2=\left(ez+f\right)\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)^{2}+a\left(z-1\right)\left(z-2\right)^{2}+b\left(z-2\right)^{2}+c\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)+d\left(z-1\right)^{2}$.

En posant $z=1$, on obtient $b=6$ ; en posant $z=2$, on obtient $d=40$.

En prenant un équivalent quand $z\to \infty$, on obtient $e=1$.

On obtient alors

${\frac {z^{5}+3z+2}{\left(z-1\right)^{2}\left(z-2\right)^{2}}}=z+f+{\frac {a}{z-1}}+{\frac {6}{(z-1)^{2}}}+{\frac {c}{z-2}}+{\frac {40}{(z-2)^{2}}}$.

En posant par exemple $z=0,-1,-2$, on obtient le système d’équations

${\begin{cases}2f-2a-c&=-31\\2f-a-2{\frac {c}{3}}&=-10\\12f-4a-3c&=-17.\end{cases}}$

On le résout et l'on trouve que $f=6$, $a=20$ et $c=3$, d'où

$F_{3}\left(z\right)=z+6+{\frac {20}{z-1}}+{\frac {6}{(z-1)^{2}}}+{\frac {3}{z-2}}+{\frac {40}{(z-2)^{2}}}$.

4.

$F_{4}\left(z\right)={\frac {2z+1}{\left(z+2\right)\left(z+1\right)^{3}}}$.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

$F_{4}\left(z\right)={\frac {a}{z+2}}+{\frac {b}{z+1}}+{\frac {c}{\left(z+1\right)^{2}}}+{\frac {d}{\left(z+1\right)^{3}}}$, soit (après changement de variable $x=z+1$) :

$2x-1=ax^{3}+\left(x+1\right)\left(bx^{2}+cx+d\right)$.

En posant $x=-1$, on obtient $a=3$, puis

$bx^{2}+cx+d={\frac {-3x^{3}+2x-1}{x+1}}=-3x^{2}+3x-1$, d'où

$F_{4}\left(z\right)={\frac {3}{z+2}}-{\frac {3}{z+1}}+{\frac {3}{\left(z+1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\left(z+1\right)^{3}}}$.

 

Exercice 2 : sommes

Calculer, pour $n\in \mathbb {N}$, les sommes suivantes :

1. $A_{n}=\sum _{\overset {\left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}}{i+j=n}}ij$ ;
2. $B_{n}=\sum _{\overset {\left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}}{1\leq i,j\leq n}}\min \left(i,j\right)$ ;
3. $C_{n}=\sum _{\overset {\left(i,j\right)\in \mathbb {N} ^{2}}{1\leq i,j\leq n}}|i-j|$ ;
4. $D_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}$.

Solution

Voir, dans la leçon « Sommation », les exercices 4-2 et 4-3 et l'exercice 2-4.

 

Exercice 3 : systèmes linéaires

On considère le système $\left(S\right)$ :

${\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}$

1. Déterminer les valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles $\left(S\right)$ est de Cramer.
2. Résoudre $\left(S\right)$ lorsqu'il n'est pas de Cramer.

Solution

Voir Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre.

 

Exercice 4 : applications

On cherche les applications $f:\mathbb {R} \setminus \{0,1\}\longrightarrow$ telles que

$\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0,1\},\quad f\left(x\right)+f\left(1-{\frac {1}{x}}\right)=1+x.$

1. On note $\varphi$ l'application suivante :

$\varphi ~:{\begin{aligned}\mathbb {R} \setminus \{0,1\}&\longrightarrow \mathbb {R} \\x&\longmapsto 1-{\frac {1}{x}}\end{aligned}}$

1.1. Montrer que $\varphi$ induit une bijection de l'ensemble $\mathbb {R} \setminus \{0,1\}$ dans lui-même. L'application induite sera notée $\psi$ :

$\psi ~:{\begin{aligned}\mathbb {R} \setminus \{0,1\}&\longrightarrow \mathbb {R} \setminus \{0,1\}\\x&\longmapsto \varphi \left(x\right)\end{aligned}}$

1.2. Déterminer les applications $\psi \circ \psi$ et $\psi ^{-1}$.

2. Conclure.

Solution

Voir Opérations sur les fonctions/Exercices/Composition.

 

Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci

On définit la suite de Fibonacci $\left(F_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ par

$F_{0}=0,\quad F_{1}=1\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 0\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}.$

1. Calculer $F_{n}$ pour $0\leq n\leq 9$.

2. Soit $n\in \mathbb {N}$. Calculer les sommes suivantes :

2.1 $A_{n}=\sum _{0\leq k<n}F_{2k+1},\quad B_{n}=\sum _{0\leq k<n}F_{2k}$ (on pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques) ;

2.2 $C_{n}=\sum _{0\leq k<n}F_{k}$ ;

2.3 $D_{n}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}^{2}$.

3.

3.1 Établir que l'on a :

$\forall p\in \mathbb {N} \ \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad F_{p+n}=F_{p+1}F_{n}+F_{p}F_{n-1}$.

3.2 En déduire une expression des nombres $F_{2n+1}$ et $F_{2n}$ en fonction de $F_{n-1}$, $F_{n}$, $F_{n+1}$ uniquement.

4. Pour $n\in \mathbb {N} ^{*}$, on pose $E_{n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}$.

L'objet de la question est de prouver que les nombres $E_{n}$ sont des termes de la suite de Fibonacci.

4.1 Calculer $E_{n}$ pour $1\leq n\leq 5$. Que conjecture-t-on ?

4.2 À l'aide de la question précédente, établir une expression de $F_{3n}$ en fonction de $F_{n-1}$, $F_{n}$, $F_{2n}$ et $F_{2n+1}$, puis en fonction de $F_{n-1}$, $F_{n}$ et $F_{n+1}$.
Conclure.

Solution

1. et 3.1 : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2#Suite de Fibonacci, qui explique de plus comment étendre la suite aux indices négatifs. Par exemple : $F_{-1}=1$, de manière à avoir $F_{-1}+F_{0}=F_{1}$.

2.

2.1 $A_{n}=\sum _{0\leq k<n}(F_{2k+2}-F_{2k})=F_{2n}-F_{0}=F_{2n}$ et $B_{n}=\sum _{0\leq k<n}(F_{2k+1}-F_{2k-1})=F_{2n-1}-F_{-1}=F_{2n-1}-1$.

2.2 On en déduit que $C_{n}=F_{n+1}-1$ car :

• si $n=2m$ alors $C_{n}=B_{m}+A_{m}=(F_{2m-1}-1)+F_{2m}=F_{2m+1}-1$ ;
• si $n=2m+1$ alors $C_{n}=B_{m+1}+A_{m}=(F_{2m+1}-1)+F_{2m}=F_{2m+2}-1$.

2.3 $D_{n}=F_{n}F_{n+1}$, par récurrence simple.

3.2 $F_{2n+1}=F_{n+(n+1)}=F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2}$ et $F_{2n}=F_{n+n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$.

4. (Pour une autre méthode, voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires#Exercice 3.)

4.1 Pour $1\leq n\leq 3$, $E_{n}=F_{3n}$.

4.2

${\begin{aligned}F_{3n}&=F_{2n+n}=F_{2n+1}F_{n}+F_{2n}F_{n-1}\\&=F_{n}(F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2}+F_{n+1}F_{n-1}+F_{n-1}^{2})\\&=F_{n}^{3}+(F_{n+1}-F_{n-1})(F_{n+1}^{2}+F_{n+1}F_{n-1}+F_{n-1}^{2})\\&=F_{n}^{3}+F_{n+1}^{3}-F_{n-1}^{3}=E_{n}.\end{aligned}}$

 

Exercice 6 : dénombrement, vocabulaire ensembliste et sommes

Soient $E$ et $F$ des ensembles finis de cardinal $n$ et $p$ respectivement. On suppose $E$ non vide. On note $S\left(n,p\right)$ le nombre de surjections de $E$ dans $F$.

1. Déterminer $S\left(n,p\right)$ lorsque $n<p$.

2. Calculer $S\left(n,0\right)$, $S\left(n,1\right)$ et $S\left(n,n\right)$.

3. Lorsque $p=2$, quelles sont les applications non surjectives de $E$ dans $F$ ? En déduire $S\left(n,2\right)$.

4. En s'inspirant de la question précédente, montrer que $S\left(n,3\right)=3^{n}-3-3S\left(n,2\right)$. En déduire $S\left(n,3\right)$.

5. On revient au cas général.
Pour $k\in [\![0,p]\!]$, on pose

$A_{k}=\left\{f\in F^{E}\mid {\textrm {card}}\left(f\left(E\right)\right)=k\right\}$.

5.1 Justifier que l'on a

5.1.1. ${\textrm {card}}\left(A_{k}\right)={\binom {p}{k}}S\left(n,k\right)$.

5.1.2. $p^{n}=\sum _{k=0}^{p}{\binom {p}{k}}S\left(n,k\right)$.

5.2. En déduire la formule suivante.

$S\left(n,p\right)=\sum _{k=0}^{p}\left(-1\right)^{p+k}{\binom {p}{k}}k^{n}$.

Solution

Voir principalement Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des surjections.