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Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires

Leçons de niveau 14
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Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires
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Devoir no1
Cours : Mathématiques en MPSI

Devoir de niveau 14.

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Durée : 4 heures.


Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Questions de cours : rudiments de logique et décomposition en éléments simples[modifier | modifier le wikicode]

1. On exprime qu'une suite de nombre réels converge vers le réel si elle vérifie la propriété suivante :

.

Exprimer la propriété contraire.

2. Soit un polynôme non nul et une racine de .

2.1. Définir la multiplicité de pour .
2.2. Caractériser la multiplicité de pour à l'aide des polynômes dérivés de .

Exercice 1 : décomposition en éléments simples[modifier | modifier le wikicode]

Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Exercice 2 : sommes[modifier | modifier le wikicode]

Calculer, pour , les sommes suivantes :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. .

Exercice 3 : systèmes linéaires[modifier | modifier le wikicode]

On considère le système  :

  1. Déterminer les valeurs du paramètre pour lesquelles est de Cramer.
  2. Résoudre lorsqu'il n'est pas de Cramer.

Exercice 4 : applications[modifier | modifier le wikicode]

On cherche les applications telles que

1. On note l'application suivante :

1.1. Montrer que induit une bijection de l'ensemble dans lui-même. L'application induite sera notée  :
1.2. Déterminer les applications et .

2. Conclure.

Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci[modifier | modifier le wikicode]

On définit la suite de Fibonacci par

1. Calculer pour .

2. Soit . Calculer les sommes suivantes :

2.1 (on pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques) ;
2.2  ;
2.3 .

3.

3.1 Établir que l'on a :
.
3.2 En déduire une expression des nombres et en fonction de , , uniquement.

4. Pour , on pose .

L'objet de la question est de prouver que les nombres sont des termes de la suite de Fibonacci.

4.1 Calculer pour . Que conjecture-t-on ?
4.2 À l'aide de la question précédente, établir une expression de en fonction de , , et , puis en fonction de , et .
Conclure.

Exercice 6 : dénombrement, vocabulaire ensembliste et sommes[modifier | modifier le wikicode]

Soient et des ensembles finis de cardinal et respectivement. On suppose non vide. On note le nombre de surjections de dans .

1. Déterminer lorsque .

2. Calculer , et .

3. Lorsque , quelles sont les applications non surjectives de dans  ? En déduire .

4. En s'inspirant de la question précédente, montrer que . En déduire .

5. On revient au cas général.
Pour , on pose

.
5.1 Justifier que l'on a
5.1.1. .
5.1.2. .
5.2. En déduire la formule suivante.
.