Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires

Durée : 4 heures.

Énoncé

Questions de cours : rudiments de logique et décomposition en éléments simples

1. On exprime qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ de nombre réels converge vers le réel $l$ si elle vérifie la propriété suivante :

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}(n\ge p\Rightarrow |u_n-l|<ϵ)$.

Exprimer la propriété contraire.

2. Soit $P$ un polynôme non nul et $a\in ℂ$ une racine de $P$.

2.1. Définir la multiplicité de $a$ pour $P$.

2.2. Caractériser la multiplicité de $a$ pour $P$ à l'aide des polynômes dérivés de $P$.

Solution

1. $\mathrm{\exists }ϵ>0\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}(n<p\vee |u_n-l|<ϵ)$.

2.

2.1. On dit que $\alpha$ est une racine de $P$ multiplicité $n\in \mathbb{N}$ si $(X-\alpha {)}^n$ divise $P$ mais $(X-\alpha {)}^{n+1}$ ne divise pas $P$.

2.2. On démontre que $\alpha$ est une racine de $P$ multiplicité $n\in \mathbb{N}$ si, et seulement si, $P(\alpha )=P^{\prime }(\alpha )=\dots =P^{(n-1)}(\alpha )=0$ et $P^{(n)}\ne 0$.

 

Exercice 1 : décomposition en éléments simples

Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples :

1. $F_1\left(z\right)=\frac{z^2+z+1}{{(z-1)}^2(z-2)}$ ;
2. $F_2\left(z\right)=\frac{z^3}{(z-1)(z-2)}$ ;
3. $F_3\left(z\right)=\frac{z^5+3z+2}{{(z-1)}^2{(z-2)}^2}$ ;
4. $F_4\left(z\right)=\frac{2z^2+3z+1}{(z+2){(z+1)}^4}$.

Solution

1.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a $F_1\left(z\right)=\frac{a}{z-1}+\frac{b}{(z-1{)}^2}+\frac{c}{z-2}$, soit

$z^2+z+1=a(z-1)(z-2)+b(z-2)+c{(z-1)}^2$.

En posant $z=2$, on trouve que $c=7$ ; en posant $z=1$, on trouve que $b=-3$.

En prenant un équivalent quand $z\to \mathrm{\infty }$, on obtient $a=1-c=-6$, d'où

$F_1\left(z\right)=-\frac{6}{z-1}-\frac{3}{(z-1{)}^2}+\frac{7}{z-2}$.

2.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

$F_2\left(z\right)=cz+d+\frac{a}{z-1}+\frac{b}{z-2}$, soit

$z^3=(cz+d)(z-1)(z-2)+a(z-2)+b(z-1)$.

En posant $z=2$, on obtient $b=8$ ; en posant $z=1$, on obtient $a=-1$.

En prenant un équivalent quand $z\to \mathrm{\infty }$, on obtient $c=1$.

En posant $z=0$, on obtient $d=\frac{2a+b}{2}=3$, d'où

$F_2\left(z\right)=z+3-\frac{1}{z-1}+\frac{8}{z-2}$.

3.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

$F_3\left(z\right)=ez+f+\frac{a}{z-1}+\frac{b}{(z-1{)}^2}+\frac{c}{z-2}+\frac{d}{(z-2{)}^2}$, soit

$z^5+3z+2=(ez+f){(z-1)}^2{(z-2)}^2+a(z-1){(z-2)}^2+b{(z-2)}^2+c{(z-1)}^2(z-2)+d{(z-1)}^2$.

En posant $z=1$, on obtient $b=6$ ; en posant $z=2$, on obtient $d=40$.

En prenant un équivalent quand $z\to \mathrm{\infty }$, on obtient $e=1$.

On obtient alors

$\frac{z^5+3z+2}{{(z-1)}^2{(z-2)}^2}=z+f+\frac{a}{z-1}+\frac{6}{(z-1{)}^2}+\frac{c}{z-2}+\frac{40}{(z-2{)}^2}$.

En posant par exemple $z=0,-1,-2$, on obtient le système d’équations

$\{\begin{array}{cc}2f-2a-c& =-31\\ 2f-a-2\frac{c}{3}& =-10\\ 12f-4a-3c& =-17.\end{array}$

On le résout et l'on trouve que $f=6$, $a=20$ et $c=3$, d'où

$F_3\left(z\right)=z+6+\frac{20}{z-1}+\frac{6}{(z-1{)}^2}+\frac{3}{z-2}+\frac{40}{(z-2{)}^2}$.

4.

$F_4\left(z\right)=\frac{2z+1}{(z+2){(z+1)}^3}$.

D’après le théorème de la décomposition en éléments simples et vus les degrés du numérateur et du dénominateur, on a

$F_4\left(z\right)=\frac{a}{z+2}+\frac{b}{z+1}+\frac{c}{{(z+1)}^2}+\frac{d}{{(z+1)}^3}$, soit (après changement de variable $x=z+1$) :

$2x-1=a{x}^3+(x+1)(b{x}^2+cx+d)$.

En posant $x=-1$, on obtient $a=3$, puis

$b{x}^2+cx+d=\frac{-3x^3+2x-1}{x+1}=-3x^2+3x-1$, d'où

$F_4\left(z\right)=\frac{3}{z+2}-\frac{3}{z+1}+\frac{3}{{(z+1)}^2}-\frac{1}{{(z+1)}^3}$.

 

Exercice 2 : sommes

Calculer, pour $n\in \mathbb{N}$, les sommes suivantes :

1. $A_n=\sum _{\stackrel{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2}{i+j=n}}ij$ ;
2. $B_n=\sum _{\stackrel{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2}{1\le i,j\le n}}min(i,j)$ ;
3. $C_n=\sum _{\stackrel{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2}{1\le i,j\le n}}|i-j|$ ;
4. $D_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.

Solution

Voir, dans la leçon « Sommation », les exercices 4-2 et 4-3 et l'exercice 2-4.

 

Exercice 3 : systèmes linéaires

On considère le système $\left(S\right)$ :

$\{\begin{array}{ccccccc}x& -& my& +& m^{2}z& =& 2m\\ mx& -& m^{2}y& +& mz& =& 2m\\ mx& +& y& -& m^{3}z& =& 1-m.\end{array}$

1. Déterminer les valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles $\left(S\right)$ est de Cramer.
2. Résoudre $\left(S\right)$ lorsqu'il n'est pas de Cramer.

Solution

Voir Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre.

 

Exercice 4 : applications

On cherche les applications $f:ℝ\setminus \{0,1\}⟶$ telles que

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\setminus \{0,1\},f\left(x\right)+f(1-\frac{1}{x})=1+x.$

1. On note $\phi$ l'application suivante :

$\phi :\begin{array}{cc}ℝ\setminus \{0,1\}& ⟶ℝ\\ x& ⟼1-\frac{1}{x}\end{array}$

1.1. Montrer que $\phi$ induit une bijection de l'ensemble $ℝ\setminus \{0,1\}$ dans lui-même. L'application induite sera notée $\psi$ :

$\psi :\begin{array}{cc}ℝ\setminus \{0,1\}& ⟶ℝ\setminus \{0,1\}\\ x& ⟼\phi \left(x\right)\end{array}$

1.2. Déterminer les applications $\psi \circ \psi$ et ${\psi }^{-1}$.

2. Conclure.

Solution

Voir Opérations sur les fonctions/Exercices/Composition.

 

Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci

On définit la suite de Fibonacci ${\left(F_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ par

$F_0=0,F_1=1\text{et}\mathrm{\forall }n\ge 0F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.$

1. Calculer $F_n$ pour $0\le n\le 9$.

2. Soit $n\in \mathbb{N}$. Calculer les sommes suivantes :

2.1 $A_n=\sum _{0\le k<n}{F}_{2k+1},B_n=\sum _{0\le k<n}{F}_{2k}$ (on pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques) ;

2.2 $C_n=\sum _{0\le k<n}{F}_k$ ;

2.3 $D_n=\sum _{k=0}^n{F}_k^2$.

3.

3.1 Établir que l'on a :

$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }{F}_{p+n}=F_{p+1}{F}_n+F_p{F}_{n-1}$.

3.2 En déduire une expression des nombres $F_{2n+1}$ et $F_{2n}$ en fonction de $F_{n-1}$, $F_n$, $F_{n+1}$ uniquement.

4. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $E_n=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$.

L'objet de la question est de prouver que les nombres $E_n$ sont des termes de la suite de Fibonacci.

4.1 Calculer $E_n$ pour $1\le n\le 5$. Que conjecture-t-on ?

4.2 À l'aide de la question précédente, établir une expression de $F_{3n}$ en fonction de $F_{n-1}$, $F_n$, $F_{2n}$ et $F_{2n+1}$, puis en fonction de $F_{n-1}$, $F_n$ et $F_{n+1}$.
Conclure.

Solution

1. et 3.1 : voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2#Suite de Fibonacci, qui explique de plus comment étendre la suite aux indices négatifs. Par exemple : $F_{-1}=1$, de manière à avoir $F_{-1}+F_0=F_1$.

2.

2.1 $A_n=\sum _{0\le k<n}(F_{2k+2}-F_{2k})=F_{2n}-F_0=F_{2n}$ et $B_n=\sum _{0\le k<n}(F_{2k+1}-F_{2k-1})=F_{2n-1}-F_{-1}=F_{2n-1}-1$.

2.2 On en déduit que $C_n=F_{n+1}-1$ car :

• si $n=2m$ alors $C_n=B_m+A_m=(F_{2m-1}-1)+F_{2m}=F_{2m+1}-1$ ;
• si $n=2m+1$ alors $C_n=B_{m+1}+A_m=(F_{2m+1}-1)+F_{2m}=F_{2m+2}-1$.

2.3 $D_n=F_n{F}_{n+1}$, par récurrence simple.

3.2 $F_{2n+1}=F_{n+(n+1)}=F_{n+1}^2+F_n^2$ et $F_{2n}=F_{n+n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$.

4. (Pour une autre méthode, voir Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires#Exercice 3.)

4.1 Pour $1\le n\le 3$, $E_n=F_{3n}$.

4.2

$\begin{array}{cc}{F}_{3n}& =F_{2n+n}=F_{2n+1}{F}_n+F_{2n}{F}_{n-1}\\ & =F_n(F_{n+1}^2+F_n^2+F_{n+1}{F}_{n-1}+F_{n-1}^2)\\ & =F_n^3+(F_{n+1}-F_{n-1})(F_{n+1}^2+F_{n+1}{F}_{n-1}+F_{n-1}^2)\\ & =F_n^3+F_{n+1}^3-F_{n-1}^3=E_n.\end{array}$

 

Exercice 6 : dénombrement, vocabulaire ensembliste et sommes

Soient $E$ et $F$ des ensembles finis de cardinal $n$ et $p$ respectivement. On suppose $E$ non vide. On note $S(n,p)$ le nombre de surjections de $E$ dans $F$.

1. Déterminer $S(n,p)$ lorsque $n<p$.

2. Calculer $S(n,0)$, $S(n,1)$ et $S(n,n)$.

3. Lorsque $p=2$, quelles sont les applications non surjectives de $E$ dans $F$ ? En déduire $S(n,2)$.

4. En s'inspirant de la question précédente, montrer que $S(n,3)=3^n-3-3S(n,2)$. En déduire $S(n,3)$.

5. On revient au cas général.
Pour $k\in [[0,p]]$, on pose

$A_k=\{f\in F^E\mid \text{card}\left(f\left(E\right)\right)=k\}$.

5.1 Justifier que l'on a

5.1.1. $\text{card}\left(A_k\right)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})S(n,k)$.

5.1.2. $p^n=\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})S(n,k)$.

5.2. En déduire la formule suivante.

$S(n,p)=\sum _{k=0}^p{(-1)}^{p+k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})k^n$.

Solution

Voir principalement Formule d'inversion de Pascal/Application au dénombrement des surjections.