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Exercice : Systèmes à paramètreSystèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère le système
(
S
)
{\displaystyle \left(S\right)}
:
{
x
−
m
y
+
m
2
z
=
2
m
m
x
−
m
2
y
+
m
z
=
2
m
m
x
+
y
−
m
3
z
=
1
−
m
.
{\displaystyle {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}}
Résoudre
(
S
)
{\displaystyle \left(S\right)}
, en précisant les valeurs de
m
{\displaystyle m}
pour lesquelles il est de Cramer.
On considère le système linéaire
(
S
)
:
{
m
x
+
y
+
2
z
=
a
2
x
+
m
y
+
z
=
b
x
+
2
y
+
m
z
=
c
{\displaystyle (S):{\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}}}
dépendant des paramètres réels
m
,
a
,
b
,
c
{\displaystyle m,a,b,c}
.
Donner une expression factorisée du déterminant de
(
S
)
{\displaystyle (S)}
.
Discuter et résoudre le système
(
S
)
{\displaystyle (S)}
.
Solution
m
3
−
6
m
+
9
=
(
m
+
3
)
(
m
2
−
3
m
+
3
)
{\displaystyle m^{3}-6m+9=(m+3)(m^{2}-3m+3)}
.
Si
m
≠
−
3
{\displaystyle m\neq -3}
,
(
S
)
{\displaystyle (S)}
est de Cramer et sa solution
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
est donnée par :
{
x
=
a
(
m
2
−
2
)
+
(
4
−
m
)
b
+
(
1
−
2
m
)
c
m
3
−
6
m
+
9
y
=
(
1
−
2
m
)
a
+
(
m
2
−
2
)
b
+
(
4
−
m
)
c
m
3
−
6
m
+
9
z
=
(
4
−
m
)
a
+
(
1
−
2
m
)
b
+
(
m
2
−
2
)
c
m
3
−
6
m
+
9
.
{\displaystyle {\begin{cases}x&={\frac {a(m^{2}-2)+(4-m)b+(1-2m)c}{m^{3}-6m+9}}\\y&={\frac {(1-2m)a+(m^{2}-2)b+(4-m)c}{m^{3}-6m+9}}\\z&={\frac {(4-m)a+(1-2m)b+(m^{2}-2)c}{m^{3}-6m+9}}.\end{cases}}}
Si
m
=
−
3
{\displaystyle m=-3}
,
(
S
)
⇔
{
−
3
x
+
y
+
2
z
=
a
2
x
−
3
y
+
z
=
b
x
+
2
y
−
3
z
=
c
⇔
{
7
y
−
7
z
=
a
+
3
c
−
7
y
+
7
z
=
b
−
2
c
x
+
2
y
−
3
z
=
c
⇔
{
0
=
a
+
b
+
c
z
=
b
−
2
c
7
+
y
x
=
3
b
+
c
7
+
y
{\displaystyle {\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}-3x+y+2z=a\\2x-3y+z=b\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}7y-7z=a+3c\\-7y+7z=b-2c\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}0=a+b+c\\z={\frac {b-2c}{7}}+y\\x={\frac {3b+c}{7}}+y\end{cases}}\\\end{aligned}}}
donc :
si
a
+
b
+
c
≠
0
{\displaystyle a+b+c\neq 0}
,
(
S
)
{\displaystyle (S)}
n'a pas de solution ;
si
a
=
−
b
−
c
{\displaystyle a=-b-c}
, l'ensemble des solutions de
(
S
)
{\displaystyle (S)}
est la droite affine
{
(
3
b
+
c
7
+
y
,
y
,
b
−
2
c
7
+
y
)
|
y
∈
R
}
=
(
3
b
+
c
7
,
0
,
b
−
2
c
7
)
+
R
(
1
,
1
,
1
)
{\displaystyle \left\{\left.\left({\frac {3b+c}{7}}+y,y,{\frac {b-2c}{7}}+y\right)\right|y\in \mathbb {R} \right\}=\left({\frac {3b+c}{7}},0,{\frac {b-2c}{7}}\right)+\mathbb {R} (1,1,1)}
.