Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre

Exercice 2-1

On considère le système $\left(S\right)$ :

${\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\mx&-&m^{2}y&+&mz&=&2m\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m.\end{cases}}$

Résoudre $\left(S\right)$, en précisant les valeurs de $m$ pour lesquelles il est de Cramer.

Solution

• Si $m=0$,

  $(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x=0\\y=1\\z{\text{ quelconque.}}\end{cases}}$

• Si $m\neq 0$,

  ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\x&-&my&+&z&=&2\\mx&+&y&-&m^{3}z&=&1-m\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&my&+&m^{2}z&=&2m\\&&&&(1-m^{2})z&=&2(1-m)\\&&(1+m^{2})y&-&2m^{3}z&=&1-m-2m^{2}.\end{cases}}\end{aligned}}$

  • Si $m=1$,

    ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}x&-&y&+&z&=&2\\&&2y&-&2z&=&-2\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}y=z-1\\x=y-z+2\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}y=z-1\\x=1\\z{\text{ quelconque.}}\end{cases}}\end{aligned}}$

  • Si $m=-1$, $(S)$ n'a pas de solution car la deuxième équation devient $0z=4$.
  • Si $m\neq 0,1,-1$, $(S)$ est de Cramer et

    ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}z={\frac {2}{1+m}}\\y={\frac {2m^{3}z+1-m-2m^{2}}{1+m^{2}}}\\x=my-m^{2}z+2m\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}z={\frac {2}{1+m}}\\y={\frac {(m-1)^{2}(2m+1)}{(1+m^{2})(1+m)}}\\x={\frac {m(2m^{2}-3m+3)}{1+m^{2}}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

 

Exercice 2-2

On considère le système linéaire

$(S):{\begin{cases}mx+y+2z=a\\2x+my+z=b\\x+2y+mz=c\end{cases}}$

dépendant des paramètres réels $m,a,b,c$.

1. Donner une expression factorisée du déterminant de $(S)$.
2. Discuter et résoudre le système $(S)$.

Solution

1. $m^{3}-6m+9=(m+3)(m^{2}-3m+3)$.
2. • Si $m\neq -3$, $(S)$ est de Cramer et sa solution $(x,y,z)$ est donnée par :

     ${\begin{cases}x&={\frac {a(m^{2}-2)+(4-m)b+(1-2m)c}{m^{3}-6m+9}}\\y&={\frac {(1-2m)a+(m^{2}-2)b+(4-m)c}{m^{3}-6m+9}}\\z&={\frac {(4-m)a+(1-2m)b+(m^{2}-2)c}{m^{3}-6m+9}}.\end{cases}}$

   • Si $m=-3$,

     ${\begin{aligned}(S)&\Leftrightarrow {\begin{cases}-3x+y+2z=a\\2x-3y+z=b\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}7y-7z=a+3c\\-7y+7z=b-2c\\x+2y-3z=c\end{cases}}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}0=a+b+c\\z={\frac {b-2c}{7}}+y\\x={\frac {3b+c}{7}}+y\end{cases}}\\\end{aligned}}$

     donc :

     • si $a+b+c\neq 0$, $(S)$ n'a pas de solution ;
     • si $a=-b-c$, l'ensemble des solutions de $(S)$ est la droite affine
       $\left\{\left.\left({\frac {3b+c}{7}}+y,y,{\frac {b-2c}{7}}+y\right)\right|y\in \mathbb {R} \right\}=\left({\frac {3b+c}{7}},0,{\frac {b-2c}{7}}\right)+\mathbb {R} (1,1,1)$.

 

Exercice 2-3

Résoudre, en fonction du paramètre $m\in \mathbb {R}$, le système

${\begin{cases}x+my+m^{2}z+m^{3}t=1\\mx+m^{2}y+m^{3}z+mt=1\\m^{2}x+m^{3}y+z+mt=1\\m^{3}x+y+mz+m^{2}t=1.\end{cases}}$

Solution

Par la méthode du pivot de Gauss, le système se ramène à

${\begin{cases}x+my+m^{2}z+m^{3}t=1\\(1-m^{4})(y+mz+m^{2}t)=1-m^{3}\\(1-m^{4})(z+mt)=1-m^{2}\\(1-m^{4})t=1-m.\end{cases}}$

• Si $m\neq \pm 1$, son unique solution est donc $x=y=z=t={\frac {1-m}{1-m^{4}}}$.
• Si $m=-1$, la dernière équation est $0t=2$ donc le système n'a pas de solution.
• Si $m=1$, le système équivaut à $x+y+z+t=1$ donc il a une infinité de solutions : $(1-y-z-t,y,z,t)$ avec $y,z,t$ réels arbitraires.

 

Résoudre, en fonction des paramètres $m,a,b,c\in \mathbb {R}$, les systèmes

$(S_{1})\;{\begin{cases}x+(m+1)y&=m+2\\mx+(m+4)y&=8\end{cases}}\qquad (S_{2})\;{\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\(m+1)x-my&=5m+3\end{cases}}\qquad (S_{3})\;{\begin{cases}3x-y+2z&=a\\-x+2y-3z&=b\\2x+y-z&=c.\end{cases}}$

Solution

$(S_{1})\Leftrightarrow {\begin{cases}x=m+2-(m+1)y\\m(m+2-(m+1)y)+(m+4)y=8\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=m+2-(m+1)y\\(4-m^{2})y&=8-m^{2}-2m=-(m-2)(m-4).\end{cases}}$

Si $m\neq \pm 2$, $(S_{1})$ a une unique solution : $y={\frac {-(m-2)(m+4)}{-(m-2)(m+2)}}={\frac {m+4}{m+2}}$, $x=m+2-(m+1){\frac {m+4}{m+2}}=-{\frac {m}{m+2}}$.

Si $m=2$, $(S_{1})$ équivaut à $x=4-3y$ (et $0=0$) donc a (dans $\mathbb {R} ^{2}$) toute une droite affine de solutions.

Si $m=-2$, $(S_{1})$ équivaut à $0=8$ (et une autre équation) donc n'a aucune solution.

Remarque : $(S_{1})$ définit l'intersection de 2 droites dans $\mathbb {R} ^{2}$, parallèles ou sécantes, selon que $m$ est égal ou pas à $\pm 2$.

$(S_{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\(m+1)x-my&=5m+3\end{cases}}\Leftrightarrow (L_{2}\rightarrow L_{2}-L_{1}){\begin{cases}mx+(m-1)y&=m+2\\x+(1-2m)y&=4m+1\end{cases}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}x=4m+1+(2m-1)y\\m(4m+1+(2m-1)y)+(m-1)y=m+2\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=4m+1+(2m-1)y\\(2m^{2}-1)y&=2-4m^{2}.\end{cases}}$

Si $m^{2}={\frac {1}{2}}$ (c.-à-d. $m=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$), la seconde équation devient $0=0$, donc $(S_{2})$ a toute une droite affine de solutions.

Si $m^{2}\neq {\frac {1}{2}}$, $(S_{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}y&=-2\\x&=4m+1-2(2m-1)=3.\end{cases}}$

$(S_{3})\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=2x+y-c\\3x-y+2(2x+y-c)&=a\\-x+2y-3(2x+y-c)&=b\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=2x+y-c\\7x+y&=a+2c\\-7x-y&=b-3c\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}z&=2x+y-c\\y&=a+2c-7x\\-a-2c&=b-3c.\end{cases}}$

Si $c\neq a+b$, $(S_{3})$ n'a aucune solution.

Si $c=a+b$, $(S_{3})$ a (dans $\mathbb {R} ^{3}$) toute une droite affine de solutions : ${\begin{cases}y&=3a+2b-7x\\z&=2x+(3a+2b-7x)-a-b=2a+b-5x.\end{cases}}$

Remarque : $(S_{3})$ définit l'intersection de 3 plans dans $\mathbb {R} ^{3}$. Quand on prend les deux premiers, on trouve une droite parallèle au troisième (car de direction $(-1,7,5)\perp (2,1,-1)$) : soit strictement parallèle, soit incluse, selon que $c$ est égal ou pas à $a+b$.

 

Exercice 2-4

Soient $a,b\in \mathbb {R}$. Résoudre le système suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss et en discutant en fonction de la valeur des paramètres :

$(S):{\begin{cases}ax+by+z&=1\\x+aby+z&=b\\x+by+az&=1.\end{cases}}$

Solution

$(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by+az&=1\\x+aby+z&=b\quad l_{1}\leftrightarrow l_{3}\\ax+by+z&=1\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by+az&=1\\(a-1)by+(1-a)z&=b-1\quad l_{2}-l_{1}\\(1-a)by+(1-a^{2})z&=1-a\quad l_{3}-al_{1}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by+az&=1\\(a-1)by+(1-a)z&=b-1\quad l_{2}-l_{1}\\(1-a)(2+a)z&=b-a\quad l_{3}+l_{2}.\end{cases}}$

• Si $a=1$, $(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by+z&=1\\0&=b-1\\0&=b-1\end{cases}}$ donc :
  • si $b\neq 1$, ${\mathcal {S}}=\varnothing$ ;
  • si $b=1$, $(S)\Leftrightarrow x=1-y-z$ donc ${\mathcal {S}}=\left\{(1-y-z,y,z)\mid y,z\in \mathbb {R} \right\}$.
• Si $a=-2$, $(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by-2z&=1\\-3by+3z&=b-1\\0&=b+2\end{cases}}$ donc :
  • si $b\neq -2$, ${\mathcal {S}}=\varnothing$ ;
  • si $b=-2$, $(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x-2y-2z&=1\\6y+3z&=-3\end{cases}}\Leftrightarrow x=z=-1-2y$ donc ${\mathcal {S}}=\left\{\left(-1-2y,y,-1-2y\right)\mid y\in \mathbb {R} \right\}$.
• Si $a\neq -2$ et $a\neq 1$, $(S)\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by+az&=1\\by-z&={\frac {b-1}{a-1}}\\z&={\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+by&={\frac {2-a-ab}{(1-a)(2+a)}}\quad l_{1}-al_{3}\\by&={\frac {2-ab-b}{(1-a)(2+a)}}\quad l_{2}+l_{3}\\z&={\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&={\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}}\quad l_{1}-l_{2}\\by&={\frac {2-ab-b}{(1-a)(2+a)}}\\z&={\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}}\end{cases}}$ donc :
  • si $b=0$, ${\mathcal {S}}=\varnothing$ ;
  • si $b\neq 0$, ${\mathcal {S}}=\left\{\left({\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}},{\frac {2-ab-b}{b(1-a)(2+a)}},{\frac {b-a}{(1-a)(2+a)}}\right)\right\}.$