Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers

**Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Exercices n^o5
Chapitre du cours :	Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
Exo suiv. :	Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan

Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et par les deux rayons $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB$ , $\;C\;$ étant le centre de l'arc de cercle de rayon $\;R$

On considère le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement $\;\perp$ , avec $\;C\;$ centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier, et appelant $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose

de déterminer la position du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ en définissant son vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ relativement au vecteur position $\;{\overrightarrow {CM}}\;$ du point courant $\;M\;$ du quart de disque d'une part et
d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 2^nd théorème de Guldin ^[2] relatif à une portion de surface ^[3].

Détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin

Ayant choisi le centre $\;C\;$ de l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ limitant le quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ sous la forme d'une intégrale surfacigue ^[4] faisant intervenir le vecteur position $\;{\overrightarrow {CM}}\;$ du point courant $\;M\;$ du quart de disque puis

évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. ^[1] $\;G$ .

Vérifier le résultat précédent en utilisant le 2^nd théorème de Guldin ^[2] relatif à un portion de surface ^[3] dont l'énoncé est le suivant :

théorème de Guldin relatif à une portion de surface

La mesure du volume

\;{\mathcal {V}}\;

de l'expansion tridimensionnelle engendrée par la révolution d'une portion de surface plane

\;{\mathcal {D}}\;

autour d'un axe

\;(\Delta )\;

de son plan, et ne coupant pas la portion de surface ^[5] est égale au produit de l'aire de la portion de surface

\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;

par la longueur de la circonférence décrite par son C.D.I. ^[1]

\;G\;

soit

\;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;

dans laquelle

\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;

est la distance orthogonale séparant le C.D.I. ^[1] de la portion de surface plane à l'axe

\;(\Delta )\;

de révolution et

\;\alpha \;

l'angle de rotation exprimé en

\;rad\;

soit «

\;{\mathcal {V}}={\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;

».

Solution

Schéma d'évaluation du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et par les deux rayons $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB$ , $\;C\;$ étant le centre de l'arc de cercle de rayon $\;R$ , avec choix du repérage polaire du point courant $\;M\;$ du quart de disque, l'axe polaire $\;Cx\;$ étant l'axe de symétrie du quart de disque

Le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ étant symétrique par rapport à l'axe $\;Cx\;$ issu du centre $\;C\;$ du quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ est sur l'axe de symétrie $\;Cx\;$ de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ;
nous repérons le point générique $\;M\;$ par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cx}}$ , l'axe $\;{\overrightarrow {Cy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans le plan du quart de disque $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre ${\big )}$ , $\;M\;$ a pour coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ avec $\;\theta \;$ variant de $\;-{\dfrac {\pi }{4}}\;$ à $\;+{\dfrac {\pi }{4}}\;$ et $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R$ ;

la définition du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque homogène étant « $\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;\sigma _{0}\;dS_{M}}{\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\sigma _{0}\;dS_{M}}}\;$ » ^[6]^, ^[4]^, ^[7] $\;{\big (}$ avec $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique du quart de disque ${\big )}\;$ dans laquelle « $\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}dS_{M}\;$ ^[6]^, ^[4], étant l'aire du quart de disque, vaut $\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}dS_{M}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}\;$ » et par suite
la définition le vecteur position du C.D.I. ^[1] du quart de disque se réécrit selon « $\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;dS_{M}\;$ » ^[6]^, ^[4] ;

     le calcul de l'intégrale surfacique ci-dessus se fait par décomposition en deux intégrales emboîtées, chacune sur un intervalle,
     le calcul de l'intégrale surfacique $\succ \;$ la 1^ère réalisant une intégration sur un des deux paramètres, le 2^ème restant figé, et
     le calcul de l'intégrale surfacique $\succ \;$ la 2^ème intégrale se faisant sur le 2^ème paramètre après l'avoir libéré ^[8]^, ^[9],
     le calcul de l'intégrale surfacique l'ordre d'intégration étant en fait usuellement indifférent comme le précise le théorème de Fubini ^[10] ;

     l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;dS_{M}=\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\;\rho \,d\rho \,d\theta \;$ ^[11]^, ^[4] dans laquelle les deux paramètres étant $\;\left(\rho \;,\;\theta \right)\;$ avec les bornes d'intégration sur un des paramètres indépendante de l'autre paramètre, l'intégrale surfacique ci-dessus se réécrit en produit de deux intégrales sur un segment selon « $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{2}\;d\rho \times \displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(\theta \right)\,d\theta \;$ » ^[4],
     l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus la 1^ère intégrale ne présentant aucune difficulté et la 2^nde se simplifiant en décomposant $\;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;$ dans la base cartésienne soit
     l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta ={\dfrac {R^{3}}{3}}\,\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,\left[2\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\right]\;$ ^[12] et finalement « $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » ^[13]^, ^[14] d'où

«

\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;\displaystyle \iint _{\mathcal {D}}{\overrightarrow {CM}}\;dS_{M}={\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;{\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {4\;R\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;

» ^[4] positionnant le C.D.I. ^[1]

\;G\;

du quart de disque

\;{\mathcal {D}}\;

sur son axe de symétrie

\;Cx\;

à une distance du centre

\;C\;

de l'arc de cercle

\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;

égale à

\;{\dfrac {4\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;R\simeq 0,6002\;R

.

Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin^[2] relatif à une portion de surface, en l'occurrence le quart de disque $\;{\mathcal {D}}$ , on effectue une révolution complète de ce dernier autour de l'axe $\;(\Delta )=CA\;$ dans le but de déterminer la distance orthogonale $\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)=C_{G}G\;$ séparant le C.D.I^[1]. $\;G\;$ du quart de disque à l'axe $\;(\Delta )\;$ de révolution, $\;C_{G}\;$ étant ainsi le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur $\;CA\;$ mais aussi le centre du cercle décrit par $\;G\;$ pendant la révolution complète $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre ${\big )}$ ;

     lors de la révolution complète de $\;{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;(\Delta )=CA\;$ l'expansion tridimensionnelle obtenue est la demi-boule supérieure de centre $\;C\;$ et de rayon $\;R$ ,
     lors de la révolution complète de $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA}\;$ l'expansion tridimensionnelle obtenue est de volume $\;{\mathcal {V}}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;R^{3}\;$ et
     lors de la révolution complète de $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA}\;$ la surface du quart de disque étant d'aire $\;{\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}$ ,

lors de la révolution complète de $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA}\;$ l'application du théorème de Guldin^[2] à la portion de surface $\;{\mathcal {D}}\;$ lors de cette révolution complète autour de $\;(\Delta )=CA\;$ ${\big (}$ correspondant à un angle de révolution en $\;rad\;$ égal à $\;\alpha =2\;\pi {\big )}\;$ nous conduit à « $\;{\mathcal {V}}={\mathcal {A}}_{\mathcal {D}}\;\times \;2\,\pi \;C_{G}G\;$ » se réécrivant « $\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;R^{3}$ $={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}\times 2\,\pi \;C_{G}G\;$ » dont on déduit l'expression de « $\;C_{G}G={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;R^{3}\;{\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\simeq 0,4244\;R\;$ » ;

Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin on vérifie ainsi la position du C.D.I^[1].

\;G\;

du quart de disque

\;{\mathcal {D}}\;

en utilisant le fait que

\;G\;

se trouve sur l'axe de symétrie noté précédemment

\;Cx\;

\Rightarrow

l'angle entre

\;CG\;

et

\;CA\;

vaut

\;{\dfrac {\pi }{4}}\;

d'où «

\;{\dfrac {C_{G}G}{CG}}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;

»

\Rightarrow

«

\;CG=C_{G}G\;{\sqrt {2}}\;

» et finalement «

\;CG={\dfrac {4\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;R\simeq 0,6002\;R\;

».

Détermination de la vitesse instantanée du C.D.I. G du quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et les deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires quand le quart de disque tourne autour de l'axe CA avec une vitesse angulaire fixée

Considérant la rotation du quart de disque $\;{\big (}$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons respectivement $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB{\big )}$ ,
Considérant la rotation du quart de disque autour de l'axe $\;(CA)\;$ avec $\;C\;$ centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante $\;\omega _{0}$ ,

exprimer le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}\;$ ^[15] où $\;{\vec {u}}_{(CA)}\;$ est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
en déduire la vitesse instantanée ^[16] $\;v_{G}(t)\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ sur sa trajectoire en fonction, entre autres, de la vitesse angulaire $\;\omega _{0}$ .

Solution

Schéma de situation d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et par les deux rayons $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB$ , $\;C\;$ étant le centre de l'arc de cercle de rayon $\;R$ , le quart de disque étant en rotation uniforme autour de l'axe $\;CA\;$ à la vitesse angulaire $\;\omega _{0}$

     Le C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ ${\big (}$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons respectivement $\;\perp \;$ $CA\;$ et $\;CB{\big )}$ , avec $\;C\;$ centre du quart de cercle et $\;R\;$ le rayon de ce dernier,
         Le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ restant à distance constante $\;\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;$ de l'axe de rotation $\;CA\;$
         Le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ décrit le cercle d'axe $\;{\overrightarrow {Cz}}\;$ et de rayon $\;\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;$ ^[15] ${\Big [}$ choisissant de repérer le point $\;G\;$ par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;CA\;$ appelé $\;{\overrightarrow {Cz}}$ , la base cylindro-polaire liée à $\;G\;$ étant notée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }(G)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(G)\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ , les coordonnées cylindro-polaires de $\;G\;$ valent respectivement $\;\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R$ , $\;\theta _{G}=\omega _{0}\;t+\theta _{G,\,0}\;$ et $\;z_{G}=\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R{\Big ]}$ ;

     on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;G\;$ en rotation autour de $\;CA\;$ sous la forme
     on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{G}\;$ « $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {CG}}(t)\;$ » ^[17] ou
     on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{G}\;$ « $\;{\vec {V}}_{G}(t)=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\rho _{G}\;{\vec {u}}_{\rho }(G)+z_{G}\;{\vec {u}}_{z}\right]=\rho _{G}\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(G)={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(G)\;$ » ^[18].

     Passant en repérage de Frenet ^[19] de $\;G\;$ sur sa trajectoire circulaire, avec les deux 1^ers vecteurs de base de Frenet ^[19]^, ^[20] liés à $\;G\;$ respectivement
          Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, avec le vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}(G)={\vec {u}}_{\theta }(G)\;$ ^[21] et
          Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, avec le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}(G)=-{\vec {u}}_{\rho }(G)\;$ ^[22],
           Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, on en déduit l'expression de Frenet ^[19] du vecteur vitesse de $\;G\;$ soit « $\;{\vec {V}}_{G}(t)=\rho _{G}\;\omega _{0}\;{\vec {\tau }}(G)\;$ »
           Passant en repérage de Frenet de $\;\color {transparent}{G}\;$ sur sa trajectoire circulaire, on en déduit et, par suite, la vitesse instantanée du point $\;G\;$ ^[16] « $\;v_{G}(t)=\rho _{G}\;\omega _{0}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;\omega _{0}\;$ ».

Centre d'inertie d'un quart de cercle homogène A_ρB_ρ de centre C et de rayon ρ puis, par utilisation de la notion de barycentre partiel, centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et de rayon R

Schéma d'un quart de cercle homogène $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$ , de centre $\;C\;$ et de rayon $\;\rho$

On considère le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$ , de centre $\;C$ , de rayon $\;\rho$ , homogène, de masse linéique constante $\;\lambda _{0}\;$ dont on se propose

de déterminer la position de son C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }\;$ en définissant son vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ relativement au vecteur position $\;{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;$ du point courant $\;M_{\rho }\;$ du quart de cercle d'une part et
d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 1^er théorème de Guldin ^[2] relatif à un arc de courbe ^[3].

Détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin

Ayant choisi le centre $\;C\;$ de l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }\;$ sous la forme d'une intégrale curviligne ^[23] faisant intervenir le vecteur position $\;{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;$ du point courant $\;M_{\rho }\;$ du quart de cercle puis

évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }$ .

Vérifier le résultat précédent en utilisant le 1^er théorème de Guldin ^[2] relatif à un arc de courbe ^[3] dont l'énoncé est le suivant :

théorème de Guldin relatif à un arc de courbe

La mesure de l'aire

\;{\mathcal {A}}\;

de la surface engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane

\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;

autour d'un axe

\;(\Delta )\;

de son plan, et ne traversant pas l'arc de courbe ^[24], est égale au produit de la longueur de l'arc de courbe

\;{\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;

par la longueur de la circonférence décrite par son C.D.I. ^[1]

\;G\;

soit

\;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;

dans laquelle

\;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;

est la distance orthogonale séparant le C.D.I. ^[1] de l'arc de courbe à l'axe

\;(\Delta )\;

de rotation et

\;\alpha \;

l'angle de rotation exprimé en

\;rad\;

soit «

\;{\mathcal {A}}={\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;\times \;\alpha \;d\!\left(\Delta \,,\,G\right)\;

».

Solution

Schéma d'évaluation du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ d'un quart de cercle homogène $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ de centre $\;C\;$ et de rayon $\;\rho$ , avec choix du repérage polaire du point courant $\;M_{\rho }\;$ du quart de cercle, l'axe polaire $\;Cx\;$ étant l'axe de symétrie de ce dernier

Le quart de cercle homogène $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$ , de centre $\;C$ , de rayon $\;\rho$ , étant symétrique par rapport à l'axe $\;Cx\;$ issu du centre $\;C\;$ du quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle homogène $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ est sur l'axe de symétrie $\;Cx\;$ de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ;
nous repérons le point générique $\;M_{\rho }\;$ par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cx}}$ , l'axe $\;{\overrightarrow {Cy}}\;$ étant choisi $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ dans le plan du quart de cercle $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre ${\big )}$ , $\;M_{\rho }\;$ a pour coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ avec $\;\theta \;$ variant de $\;-{\dfrac {\pi }{4}}\;$ à $\;+{\dfrac {\pi }{4}}$ ;

la définition du vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle homogène étant « $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;\lambda _{0}\;ds_{M_{\rho }}}{\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\lambda _{0}\;ds_{M_{\rho }}}}\;$ » ^[25]^, ^[23] ^[26] $\;{\big (}$ avec $\;\lambda _{0}\;$ la masse linéique du quart de cercle ${\big )}\;$ dans laquelle « $\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}ds_{M_{\rho }}\;$ ^[25]^, ^[23], étant la longueur du quart de cercle, vaut $\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}ds_{M_{\rho }}={\dfrac {2\;\pi \;\rho }{4}}={\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$ » et par suite
la définition le vecteur position du C.D.I. ^[1] du quart de cercle se réécrit selon « $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {2}{\pi \;\rho }}\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;ds_{M_{\rho }}\;$ » ^[25]^, ^[23] ;

le calcul de l'intégrale curviligne ^[23] ci-dessus se ramène à celui d'une intégrale sur un intervalle, ici l'intégrale se faisant sur le paramètre $\;\theta \;$ soit « $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;ds_{M_{\rho }}=\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}(\theta )\;\rho \;d\theta \;$ » ^[25] ou encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\rho \;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;\rho \;d\theta =\rho ^{2}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;d\theta =\rho ^{2}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta =\rho ^{2}\;\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}=\rho ^{2}\left[2\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\right]\;$ ^[12] et finalement « $\;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\rho ^{2}\;{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » ^[13]^, ^[14] d'où

«

\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {2}{\pi \;\rho }}\;\displaystyle \int _{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}{\overrightarrow {CM_{\rho }}}\;ds_{M_{\rho }}={\dfrac {2}{\pi \;\rho }}\;\rho ^{2}\;{\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {2\;\rho \;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;

» ^[23] positionnant le C.D.I. ^[1]

\;G_{\rho }\;

du quart de cercle

\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;

sur son axe de symétrie

\;Cx\;

à une distance du centre

\;C\;

de l'arc de cercle

\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;

égale à

\;{\dfrac {2\;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;\rho \simeq 0,9003\;\rho

.

Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin ^[2] relatif à une portion de courbe, en l'occurrence le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}$ , on effectue une rotation complète de ce dernier autour de l'axe $\;(\Delta )=CA_{\rho }\;$ dans le but de déterminer la distance orthogonale $\;d\!\left(\Delta \,,\,G_{\rho }\right)=C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;$ séparant le C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle à l'axe $\;(\Delta )\;$ de rotation, $\;C_{G_{\rho }}\;$ étant ainsi le projeté orthogonal de $\;G_{\rho }\;$ sur $\;CA_{\rho }\;$ mais aussi le centre du cercle décrit par $\;G_{\rho }\;$ pendant la rotation complète $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre ${\big )}$ ;

lors de la rotation complète de $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;(\Delta )=CA_{\rho }\;$ la surface obtenue est la demi-sphère supérieure de centre $\;C\;$ et de rayon $\;\rho$ ,
lors de la rotation complète de $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA_{\rho }}\;$ la surface obtenue est d'aire $\;{\mathcal {A}}=2\;\pi \;\rho ^{2}\;$ et

lors de la rotation complète de $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA_{\rho }}\;$ le quart de cercle étant de longueur $\;{\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}={\dfrac {2\;\pi \;\rho }{4}}={\dfrac {\pi \;\rho }{2}}$ ,

lors de la rotation complète de $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ autour de $\;\color {transparent}{(\Delta )=CA_{\rho }}\;$ l'application du 1^er théorème de Guldin ^[2] à la portion de courbe $\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;$ lors de cette rotation complète autour de $\;(\Delta )=CA_{\rho }\;$ ${\big (}$ correspondant à un angle de rotation en $\;rad\;$ égal à $\;\alpha =2\;\pi {\big )}\;$ nous conduit à « $\;{\mathcal {A}}={\mathcal {L}}_{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;\times \;2\,\pi \;C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;$ » se réécrivant « $\;2\;\pi \;\rho ^{2}={\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\times 2\,\pi \;C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;$ » dont on déduit l'expression de « $\;C_{G_{\rho }}G_{\rho }={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;2\;\pi \;\rho ^{2}\;{\dfrac {2}{\pi \;\rho }}={\dfrac {2}{\pi }}\;\rho \simeq 0,6366\;\rho \;$ » ;

Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin on vérifie ainsi la position du C.D.I. ^[1]

\;G_{\rho }\;

du quart de cercle

\;{\overset {\;\frown }{A_{\rho }B_{\rho }}}\;

utilisant le fait que

\;G_{\rho }\;

se trouvant sur l'axe de symétrie noté précédemment

\;Cx\;

\Rightarrow

l'angle entre

\;CG_{\rho }\;

et

\;CA_{\rho }\;

vaut

\;{\dfrac {\pi }{4}}\;

d'où «

\;{\dfrac {C_{G_{\rho }}G_{\rho }}{CG_{\rho }}}=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;

»

\Rightarrow

«

\;CG_{\rho }=C_{G_{\rho }}G_{\rho }\;{\sqrt {2}}\;

» et finalement «

\;CG_{\rho }={\dfrac {2\;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;\rho \simeq 0,9003\;\rho \;

».

Position du centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par un quart de cercle AB de centre C, de rayon R et par deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires, en considérant le quart de disque comme association de surfaces élémentaires semi-intégrées, construites à partir d'un quart de cercle A_ρB_ρ de même centre C, de rayon ρ variable et d'épaisseur dρ

     On se propose de retrouver le C.D.I. ^[1] $\;G\;$ d'un quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ limité par le quart de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ et les deux rayons $\;CA\;$ et $\;CB\;$ respectivement $\;\perp$ , avec $\;C\;$ centre du quart de cercle, $\;R\;$ le rayon de ce dernier et $\;\sigma _{0}\;$ la masse surfacique constante du quart de disque, ^[27] en considérant
             On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;{\mathcal {D}}\;$ comme une association de quarts de couronnes planes de même centre $\;C$ , de rayon $\;\rho \in \left[0\,,\,R\right]\;$ et de largeur $\;d\rho$ ,
             On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association le « quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$ » pouvant être modélisé par
             On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association un « quart de cercle de rayon $\;\rho \;$ et de masse linéique $\;\sigma _{0}\;d\rho \;$ » ^[28],
             On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association cette modélisation reposant sur la détermination de la position du C.D.I. ^[1] $\;G_{\rho }\;$ du quart de cercle de rayon $\;\rho \;$ dans la résolution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans cet exercice,
             On se propose de retrouver le C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ le quart de disque homogène $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme une association cette modélisation permet de remplacer le « quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$ » par son barycentre partiel $\;G_{\rho }\;$ affecté de la masse « $\;\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$ » ^[29].

Ayant choisi le centre $\;C\;$ de l'arc de cercle $\;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ limitant le quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ comme origine de vecteur position, exprimer le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ sous la forme d'une intégrale sur un intervalle faisant intervenir le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}\;$ du barycentre partiel $\;G_{\rho }\;$ du quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$ puis

Ayant choisi le centre $\;\color {transparent}{C}\;$ de l'arc de cercle $\;\color {transparent}{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;$ limitant le quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ comme origine de vecteur position, évaluer cette intégrale pour retrouver la position du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque ^[27].

Solution

     Le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ considéré comme une association de surfaces élémentaires semi-intégrées ^[30], modélisées par
          Le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ du quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ considéré comme une association des quarts de cercle de rayon $\;\rho \;$ variable et de masse linéique $\;\sigma _{0}\;d\rho \;$ ,
          Le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ du quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon $\;\rho \;$ par son barycentre partiel $\;G_{\rho }\;$ affecté de sa masse « $\;\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$ » ^[29],
          Le vecteur position $\;\color {transparent}{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. $\;\color {transparent}{G}\;$ du quart de disque $\;\color {transparent}{\mathcal {D}}\;$ peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon $\;\color {transparent}{\rho }\;$ le vecteur position de $\;G_{\rho }\;$ étant égal à « $\;{\overrightarrow {CG_{\rho }}}={\dfrac {2\;\rho \;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » ^[31],
     le vecteur position $\;{\overrightarrow {CG}}\;$ du C.D.I. ^[1] $\;G\;$ du quart de disque $\;{\mathcal {D}}\;$ peut s'obtenir par « $\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{R}{\overrightarrow {CG_{\rho }}}(\rho )\;\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}{\displaystyle \int _{0}^{R}\sigma _{0}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{R}{\dfrac {2\;\rho \;{\sqrt {2}}}{\pi }}\;d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}{\displaystyle \int _{0}^{R}d\rho \;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,{\sqrt {2}}\;d\rho }{\displaystyle \int _{0}^{R}{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;d\rho }}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » ;

le calcul de l'intégrale nous conduit à « $\;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\left[{\dfrac {\rho ^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\right]_{0}^{R}}{\left[{\dfrac {\pi \;\rho ^{2}}{4}}\right]_{0}^{R}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {4\;R\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;$ », identique au résultat précédemment trouvé ^[27].

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 ^1,18 ^1,19 ^1,20 ^1,21 ^1,22 ^1,23 ^1,24 ^1,25 ^1,26 ^1,27 ^1,28 ^1,29 ^1,30 ^1,31 ^1,32 et ^1,33 Centre D'Inertie.
↑ ^2,00 ^2,01 ^2,02 ^2,03 ^2,04 ^2,05 ^2,06 ^2,07 ^2,08 et ^2,09 Paul Guldin (1577 - 1643) mathématicien et astronome suisse, devenu jésuite à l'âge de $20$ ans, poussé par sa congrégation et à cause de ses compétences à commencer des études mathématiques à l'âge de $32$ ans, l'essentiel de ses travaux portent sur les barycentres et de nos jours il reste connu pour les deux théorèmes portant son nom.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 et ^3,3 Ce théorème est l'un des deux théorèmes de Guldin encore connu sous le nom de théorèmes de Pappus-Guldin car Pappus d'Alexandrie (ayant vécu au IV^ème après J.C.), l'un des plus importants mathématiciens de la Grèce Antique, né à Alexandrie en Égypte, qui s'est intéressé essentiellement à la géométrie, les mathématiques récréatives ainsi qu'aux polygones et polyèdres, devait vraisemblablement connaître ces théorèmes.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 et ^4,6 Revoir le paragraphe « notion d'intégrale surfacique » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ C.-à-d. $\;(\Delta )\;\cap \;{\text{int}}_{\mathcal {D}}=\emptyset \;$ avec $\;{\text{int}}_{\mathcal {D}}\;$ intérieur strict de $\;{\mathcal {D}}\;$ ${\big [}$ c.-à-d. ensemble de points à l'intérieur de la portion de surface et hors courbes limitant celle-ci ${\big ]}$ , la raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de l'expansion tridimensionnelle lors de la révolution de la portion de surface autour de l'axe de révolution.
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 $\;dS_{M}\;$ étant l'aire de la surface élémentaire centrée en $\;M\,\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ s'écrit, en repérage polaire $\;dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;$ revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire $\;{\big (}$ plus précisément dans le cas d'une surface plane dans le plan $\;xOy{\big )}\;$ » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels » du chap. $5$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dont on admet aisément le prolongement de la définition aux systèmes continus de matière à répartition de masse surfacique.
↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En fait les intégrales sur un intervalle ne sont pas nécessairement emboîtées, elles le sont si au moins une des bornes d'intégration de la 1^ère intégrale dépendent du 2^ème paramètre figé et,
si tel n'est pas le cas, on obtient un produit de deux intégrales sur un segment, chaque intégrale réalisant une intégration sur un des deux paramètres, les bornes de l'intégrale étant indépendantes de l'autre paramètre $\;{\big [}$ c'est d'ailleurs le cas le plus fréquent que l'on rencontre dans le calcul d'intégrale surfacique dans le domaine de la physique ${\big ]}$ .
↑ Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
↑ En effet « $\;dS_{M}=dM_{\rho }\;dM_{\theta }=d\rho \;\rho \,d\theta \;$ » Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire (aire élémentaire du plan xOy repéré en cylindro-polaire) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^12,0 et ^12,1 En effet $\;\left[-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}=0$ .
↑ ^13,0 et ^13,1 En effet $\;\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)={\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$ .
↑ ^14,0 et ^14,1 Il était aussi possible d'intégrer $\;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(\theta \right)\,d\theta \;$ sans décomposer le vecteur unitaire radial de la base polaire dans la base cartésienne mais en utilisant $\;-{\vec {u}}_{\rho }(\theta )={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )$ , on obtenait alors $\;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(\theta \right)\,d\theta =\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )\,d\theta =\left[-{\vec {u}}_{\theta }(\theta )\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}={\vec {u}}_{\theta }\!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)-{\vec {u}}_{\theta }\!\left(+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\;$ ou, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)={\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,B}\;\Rightarrow \;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)={\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,A}\\{\vec {u}}_{\rho }\!\left(+{\dfrac {\pi }{4}}\right)={\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,A}\;\Rightarrow \;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)=-{\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,B}\end{array}}\right\rbrace$ , on obtenait $\;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(\theta \right)\,d\theta =$ ${\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,A}+{\vec {u}}_{C\,\rightarrow \,B}={\sqrt {2}}\;{\vec {u}}_{x}$ .
↑ ^15,0 et ^15,1 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^16,0 et ^16,1 On rappelle que la vitesse instantanée est la composante du vecteur vitesse sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point considéré.
Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre $\;{\big (}$ ou base ${\big )}\;$ de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ En effet on rappelle que $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}\rho (G)={\vec {u}}_{\theta }(G)$ , voir le paragraphe « propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^19,0 ^19,1 et ^19,2 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre $\;{\big (}$ ou base ${\big )}\;$ de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Voir les paragraphes « notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » et « 2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « 2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue » du chap. $2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 et ^23,5 Revoir le paragraphe « notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de la surface lors de la rotation de l'arc de courbe autour de l'axe de rotation, cela n'interdit pas que $\;(\Delta )\;$ passe par l'un des points extrêmes $\;A\;$ ou $\;B$ .
↑ ^25,0 ^25,1 ^25,2 et ^25,3 $\;ds_{M_{\rho }}\;$ étant l'abscisse curviligne élémentaire centrée en $\;M_{\rho }\,\left(\rho \,,\,\theta \right)\;$ s'identifie, en repérage polaire, à $\;ds_{M_{\rho }}=\rho \;d\theta \;$ c.-à-d. à la composante orthoradiale du vecteur déplacement élémentaire revoir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels » du chap. $5$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dont on admet aisément le prolongement de la définition aux systèmes continus de matière à répartition de masse linéique.
↑ ^27,0 ^27,1 et ^27,2 La position du C.D.I. $\;G\;$ ayant été établi dans la résolution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans l'exercice précédent.
↑ $\;\sigma _{0}\;$ étant en $\;kg\cdot m^{-2}\;$ et $\;d\rho \;$ en $\;m$ , $\;\sigma _{0}\;d\rho \;$ a bien l'homogénéité d'une masse linéique c.-à-d. en $\;kg\cdot m^{-1}$ .
↑ ^29,0 et ^29,1 La masse du quart de couronne plane de rayon $\;\rho \;$ et de faible largeur $\;d\rho \;$ s'obtenant en multipliant la masse surfacique $\;\sigma _{0}\;$ par l'aire de la surface à savoir la longueur du quart de cercle bordant intérieurement la couronne $\;{\dfrac {\pi \;\rho }{2}}\;$ par la largeur de la couronne $\;d\rho$ .
↑ Voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir la solution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans cet exercice.