Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Glissement sur un plan incliné en présence de frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

......Un objet de masse est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, avec un vecteur vitesse initiale incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté avec l'horizontale ;

......le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée .

Durée écoulée avant l'arrêt et distance parcourue correspondante[modifier | modifier le wikicode]

......À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter au bout d'une certaine durée ;

......déterminer cette durée ainsi que

......Déterminer la distance parcourue pendant cette dernière.

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt[modifier | modifier le wikicode]

......À quelle condition sur l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Pendule élastique horizontal et frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. [1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort

......Un solide, assimilé à son C.D.I. [1] noté de masse , est reliée à un ressort idéal [5], à spires non jointives [6], de longueur à vide et de raideur  ;

......un dispositif (non représenté) ne permet le déplacement du solide que le long de l'axe horizontal du ressort orienté selon le vecteur unitaire de la gauche vers la droite (voir schéma ci-contre).

......Lorsque le ressort présente sa longueur à vide , le C.D.I. [1] du solide se trouve en de l'axe et sa position à l'instant est repérée relativement à selon .

......La liaison du solide avec le support plan horizontal le soutenant est unilatérale et avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus de valeur commune constante est la valeur commune des angles limites de frottement statique et dynamique confondus, ;

......nous admettrons que la réaction du support plan horizontal sur le solide se réduit à une force unique avec et porté par l'axe , étant le vecteur unitaire ascendant normal au support plan horizontal, la composante tangentielle obéissant aux lois expérimentales de Coulomb [3] du frottement de glissement dans le cas d'équilibre ou dans celui de glissement effectif.

Recherche des positions initiales d'équilibre du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

......Sachant que la position initiale du C.D.I. [1] du solide est repérée par son abscisse avec absence de vitesse initiale,

............montrer qu'il existe un intervalle ouvert de valeurs correspondant à un état d'équilibre du solide et

............expliciter la valeur de en fonction de , (intensité de la pesanteur), et .

Étude du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide quand il est initialement hors état d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......On se place dans le cas où les C.I. [4] sont avec et .

Étude de la 1ère phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

......Après avoir vérifié que les C.I. [4] ont placé hors plage d'équilibre, préciser dans quel sens le mouvement peut s'effectuer et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle de la réaction (sens et norme) ;

......en déduire l'équation différentielle du mouvement de dans l'hypothèse où le mouvement s'effectue effectivement dans le sens prédit ;

......résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

......à partir de quel instant cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 1ère phase[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle doit-être la condition sur pour que la position d'arrêt de fin de 1ère phase soit dans la plage d'équilibre ?

Étude de la 2ème phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide sous condition de son existence[modifier | modifier le wikicode]

......La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement peut se poursuivre ; il est alors judicieux pour traiter la suite de faire un changement d'origine des temps en posant  ;

......préciser dans quel sens le mouvement peut se poursuivre et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle de la réaction (sens et norme) ;

......en déduire l'équation différentielle en du mouvement de dans l'hypothèse où le mouvement se poursuit effectivement dans le sens prédit ;

......résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

......à partir de quel instant correspondant à cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 2ème phase[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle doit-être la condition sur pour que la position d'arrêt de fin de 2ème phase soit dans la plage d'équilibre ?

Application au cas β = 5,5[modifier | modifier le wikicode]

......Appliquer l'étude précédente au cas et

......tracer, sur un même graphe, le diagramme horaire pour chacune des phases effectivement décrites.

Condition de propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal comprimé (principe de la catapulte verticale)[modifier | modifier le wikicode]

Principe de la propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme

......Un objet assimilable à un point matériel , de masse , est posé sur un plateau horizontal assimilable à son C.D.I. [1] , de masse , soutenu par des ressorts verticaux équivalents à un ressort unique idéal de raideur et de longueur à vide  ;

......l'ensemble « ressort, plateau et objet posé » est guidé verticalement, dans un champ de pesanteur uniforme, par un système non représenté sur le schéma ci-contre ;

......la liaison entre l'objet posé et le plateau est unilatérale avec ou sans frottement solide, l'existence d'un éventuel frottement solide ne jouant aucun rôle dans la mesure où toutes les forces actives qui interviennent dans le problème étant verticales [15], les réactions tangentielles que le plateau exerce sur l'objet ou que l'objet exerce sur le plateau sont nulles.

......On appuie sur le plateau qui se déplace verticalement d'une longueur comptée à partir de sa position d'équilibre initiale, et on le lâche sans vitesse initiale.

......À partir de quelle valeur de l'objet assimilé au point matériel quittera-t-il le plateau au cours du mouvement ?

Condition de maintien de contact d'un objet lors de son passage, à vitesse constante, sur une bosse[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle

......Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse instantanée uniforme, sur une piste au profil accidenté, l'assimilation de l'automobile à un point matériel ayant pour conséquence que son mouvement peut être considéré comme un glissement ;

......la liaison entre l'automobile et la piste est unilatérale avec frottement solide mais la composante tangentielle de la réaction de la piste sur l'automobile ne jouera aucun rôle car la force motrice (tangentielle) s'exerçant sur cette dernière est adaptée pour compenser toutes les autres composantes tangentielles de façon que l'accélération tangentielle soit nulle et donc la vitesse instantanée constante.

......À un instant considéré comme instant origine, la voiture franchit, dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, une bosse modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon et d'ouverture angulaire (voir schéma ci-contre).

......À quelle condition de vitesse l'automobile garde-t-elle le contact avec le sol ?

......Données : , et l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à , déterminer numériquement la vitesse instantanée minimale pour que l'automobile décolle de la piste et préciser à quel endroit le décollage se produit.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 et 1,23 Centre D'Inertie.
  2. Par absence de mouvement suivant .
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 et 4,9 Condition(s) Initiale(s).
  5. C.-à-d. sans masse et parfaitement élastique [on peut donc lui appliquer la loi de Hooke] ;
    ...Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIe siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  6. Ce qui a pour conséquence que le ressort peut aussi être comprimé relativement à sa longueur à vide.
  7. 7,0 7,1 et 7,2 Condition Nécessaire.
  8. D'après la loi de Hooke, sur le schéma représente l'allongement initial effectif du ressort par rapport à sa longueur à vide, ce dernier exerce donc une force de rappel dans le sens de de norme égale à  ;
    ...D'après la loi de Hooke, de même, (facilement concevable sur schéma) représente l'allongement initial algébrique du ressort par rapport à sa longueur à vide (sa compression initiale étant , ce dernier exerce une force de rappel dans le sens de de norme égale à  ;
    ...Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIe siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  9. 9,0 et 9,1 Encore appelée force de frottement solide.
  10. 10,0 et 10,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Le schéma serait à refaire, le ressort est maintenant initialement (c'est-à-dire au début de cette nouvelle phase) comprimé est initialement dans le sens de (mais ceci n'étant vrai qu'aux instants où le ressort est comprimé) et dans le sens de pendant la durée totale de la nouvelle phase.
  12. On utilise la continuité de et de au changement de phase, la seule force horizontale subissant une discontinuité de 1ère espèce étant la composante de frottement solide qui passe instantanément de à, cette discontinuité de 1ère espèce entraînant une même discontinuité du vecteur accélération mais laissant continus le vecteur vitesse (comme primitive du vecteur accélération) et le vecteur position (comme primitive du vecteur vitesse) [voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].
  13. Comme on l'a vu sur qui devait être considéré comme un cas d'arrêt pratique après la fin de la 1ère phase, il en sera de même de qui devra aussi être considéré comme un cas d'arrêt pratique après la fin de la 2ème phase car l'amplitude des oscillations d'une 3ème phase serait nulle.
  14. On utilise la continuité de et de au changement de phase, la seule force horizontale subissant une discontinuité de 1ère espèce étant la composante de frottement solide qui passe instantanément de à, cette discontinuité de 1ère espèce entraînant une même discontinuité du vecteur accélération mais laissant continus le vecteur vitesse (comme primitive du vecteur accélération) et le vecteur position (comme primitive du vecteur vitesse) [voir le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].
  15. À l'exception des éventuelles forces exercées par le système de guidage dont le but est de compenser les éventuelles forces horizontales parasites s'exerçant sur le ressort équivalent …
  16. En liaison unilatérale, la réaction de sur doit être de sens s'opposant à la pénétration de dans susceptible de se produire c'est-à-dire dirigée vers le haut.
  17. Et par suite, forme un tout dont chaque partie a même mouvement éventuel donc même accélération éventuelle.
  18. 18,0 18,1 et 18,2 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  19. En effet il faut que soit une force directement appliquée à et cette dernière n'étant qu'une force intérieure à l'ensemble l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à cet ensemble ne la fera par intervenir …
  20. De façon à ce que , force intérieure à l'ensemble, n'y apparaisse pas.
  21. étant la longueur du ressort à l'équilibre est à sa longueur à vide , ce qui définit effectivement une compression qui est l'opposé de son allongement lequel est donc .
  22. En effet la somme des forces extérieures étant nulle à l'équilibre nous avons avec vecteur force que le ressort exerce sur l'ensemble à l'équilibre, dirigé vers le haut et égal à (le vecteur unitaire de l'axe étant orienté vers le bas) et le poids de l'ensemble égal à d'où .
  23. Nous négligerons la dimension longitudinale de l'objet et du plateau c'est-à-dire que le C.D.I. de l'ensemble « objet - plateau » est confondu avec le point matériel modélisant l'objet et avec le C.D.I. du plateau.
  24. En effet .
  25. On peut remarquer qu'avec cette condition le ressort reste toujours comprimé puisque la compression à l'instant à savoir est minimale quand l'est c'est-à-dire quand prend la valeur ce qui donne alors une compression minimale égale à , l'annulation correspondant à la valeur maximale de pour que le contact soit maintenu …
  26. Ou encore quand le ressort atteint sa longueur à vide dans le courant du mouvement de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble supposé lié fixé au ressort.
  27. 27,0 27,1 et 27,2 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  28. Lors de la montée, la force est effectivement motrice mais dès que la descente est amorcée elle devient une force de freinage en sens contraire du mouvement, le véhicule devant garder une vitesse constante (c'est le cas de la figure).
  29. est sur .
  30. On multiplie par pour passer des aux .