Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

Glissement sur un plan incliné en présence de frottement solide

     Un objet de masse $\;m\;$ est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté $\;\alpha \;$ avec l'horizontale ;

     le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée $\;f$.

Durée écoulée avant l'arrêt et distance parcourue correspondante

     À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter au bout d'une certaine durée ;

     déterminer cette durée ainsi que

     Déterminer la distance parcourue pendant cette dernière.

Solution

Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut

     L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I. noté $\;M$, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire $\;x(t)\;$ où $\;x\;$ est l'abscisse de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine $\;O\;$ de l'axe étant la position du C.D.I. à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps.

     Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I. $\;M\;$ étant

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical descendant encore égal à $\;-m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$ où $\;{\vec {u}}_{x}\;$ est le vecteur unitaire orientant $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}$, le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes croissantes ainsi que
• la réaction du plan $\;{\vec {R}}={\vec {R}}_{\tau }+R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;{\vec {n}}$, le vecteur unitaire normal au plan de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plan susceptible de se produire $\;{\big [}\Rightarrow R_{n}>0{\big ]}\;$ correspondant encore à $\;{\vec {n}}={\vec {u}}_{y}$,

     l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen nous conduit à $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ soit, en projection sur chaque axe, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}-m\;g\;\sin(\alpha )+R_{\tau ,\,x}&=&m\;a_{M,\,x}(t)\\-m\;g\;\cos(\alpha )+R_{n}&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ et, en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement $\;\vert R_{\tau ,\,x}\vert =f\;R_{n}\;$ où $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant de sens contraire au mouvement de $\;M\;$ $\Rightarrow$ $\;R_{\tau ,\,x}<0\;$ soit finalement $\;R_{\tau ,\,x}=-f\;R_{n}\;$ d'où la réécriture des deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}-m\;g\;\sin(\alpha )-f\;R_{n}=m\;a_{M,\,x}(t)\\R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )\end{array}}\right\rbrace \;$ puis, en reportant l'expression de $\;R_{n}\;$ dans l'équation différentielle du mouvement de $\;M\;$ et après simplification évidente $\;{\ddot {x}}(t)=-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]<0$ ;      on en déduit, par intégration, la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet $\;v_{M,\,x}(t)=-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t+cste\;$ soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I. $\;v_{M,\,x}(0)=v_{0}\;$ $\Rightarrow$ $\;cste=v_{0}$, la réécriture de la loi horaire de vitesse de l'objet selon $\;v_{M,\,x}(t)=v_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t\;$ et par suite, l'arrêt de l'objet étant caractérisé par une vitesse nulle, l'instant d'arrêt $\;t_{\text{arrêt}}\;$ de ce dernier est défini par $\;v_{M,\,x}(t_{\text{arrêt}})=v_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t_{\text{arrêt}}=0\;$ soit $\;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {v_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$ correspondant à une durée de parcours de l'objet avant son arrêt égale à $\;\left[\Delta t\right]_{\text{arrêt}}=t_{\text{arrêt}}-0={\dfrac {v_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}$ ;      intégrant la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet $\;{\dot {x}}(t)=v_{M,\,x}(t)=v_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t\;$ on en déduit sa loi horaire scalaire de position s'écrivant selon $\;x(t)=$ $v_{0}\;t-{\dfrac {g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}{2}}\;t^{2}+cste'\;$ soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I. $\;x(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, la réécriture de la loi horaire de position de l'objet suivant $\;x(t)=$ $v_{0}\;t-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t^{2}\;$ et par suite, l'abscisse de la position d'arrêt $\;x_{\text{arrêt}}\;$ de ce dernier étant défini par son abscisse à l'instant d'arrêt $\;x_{\text{arrêt}}=$ $x(t_{\text{arrêt}})=v_{0}\;t_{\text{arrêt}}-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t_{\text{arrêt}}^{\,2}\;$ soit, en reportant l'expression de $\;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {v_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$ précédemment déterminée, on trouve $\;x_{\text{arrêt}}=$ $v_{0}\;{\dfrac {v_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,{\dfrac {v_{0}^{2}}{g^{2}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]^{2}}}=$ ${\dfrac {v_{0}^{2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$ correspondant à une distance parcourue par l'objet avant son arrêt égale à $\;d=x_{\text{arrêt}}-0={\dfrac {v_{0}^{2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}$.

 

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt

     À quelle condition sur $\;\alpha \;$ l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Solution

     Il convient bien sûr de refaire un schéma de situation en représentant les forces.

     À partir de l'état final de repos précédent, la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I. $\;M\;$ est la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné, composante qui est dans le sens descendant $\;{\big [}$de norme égale à $\;m\;g\;\sin(\alpha ){\big ]}\;$ et par suite la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est maintenant dans le sens ascendant, s'opposant à la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné ;

     s'il n'y a pas glissement c'est que ces deux composantes se compensent soit $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =m\;g\;\sin(\alpha )\;$ et

     comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;M\;$ au-dessus du plan incliné, on a encore les deux composantes $\;\perp \;$ au plan incliné qui se compensent c.-à-d. $\;R_{n}\;{\vec {n}}\;$ ${\big [}$dirigée vers le haut $\;\Rightarrow \;R_{n}>0{\big ]}\;$ et la composante du poids $\;\perp \;$ au plan incliné $\;-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$ ${\big [}$dirigée vers le bas${\big ]}\;$ d'où $\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )$ ;

     l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement s'écrivant $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert <f\;R_{n}\;$ devient ici $\;m\;g\;\sin(\alpha )<f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;$ soit, après simplification évidente $\;\tan(\alpha )<f\;$ ou,
en introduisant l'angle limite de frottement $\;\varphi =\arctan(f)$,
$\;\alpha <\varphi \;$.

 

Pendule élastique horizontal et frottement solide

Schéma d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort

     Un solide, assimilé à son C.D.I. noté $\;M\;$ de masse $\;m$, est reliée à un ressort idéal, à spires non jointives, de longueur à vide $\;l_{0}\;$ et de raideur $\;k$ ;

     un dispositif (non représenté) ne permet le déplacement du solide que le long de l'axe horizontal $\;x'x\;$ du ressort orienté selon le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de la gauche vers la droite (voir schéma ci-contre).

     Lorsque le ressort présente sa longueur à vide $\;l_{0}$, le C.D.I. du solide se trouve en $\;M_{0}\;$ de l'axe et sa position à l'instant $\;t\;$ est repérée relativement à $\;M_{0}\;$ selon $\;{\overrightarrow {M_{0}M}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}$.

     La liaison du solide avec le support plan horizontal le soutenant est unilatérale et avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus de valeur commune constante $\;f=\tan(\varphi )\;$ où $\;\varphi \;$ est la valeur commune des angles limites de frottement statique et dynamique confondus,  ;

     nous admettrons que la réaction du support plan horizontal sur le solide se réduit à une force unique $\;{\vec {R}}=N\;{\vec {u}}_{y}+{\vec {R}}_{\tau }\;$ avec $\;N>0\;$ et $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ porté par l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}$, $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant le vecteur unitaire ascendant normal au support plan horizontal, la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ obéissant aux lois expérimentales de Coulomb du frottement de glissement dans le cas d'équilibre ou dans celui de glissement effectif.

Recherche des positions initiales d'équilibre du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide

     Sachant que la position initiale du C.D.I. du solide $\;M_{i}\;$ est repérée par son abscisse $\;x_{i}\;$ avec absence de vitesse initiale,

          montrer qu'il existe un intervalle ouvert $\;\left]-a_{1}\,,\,+a_{1}\right[\;$ de valeurs $\;x_{i}\;$ correspondant à un état d'équilibre du solide et

          expliciter la valeur de $\;a_{1}\;$ en fonction de $\;m$, $\;g\;$ (intensité de la pesanteur), $\;k\;$ et $\;f$.

Solution

Schéma de situation initiale d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide

     Le C.D.I. $\;M\;$ du solide étant écarté de $\;x_{i}\;$ de sa position $\;M_{0}\;$ correspondant au ressort à vide et lâché sans vitesse initiale, on se place, a priori, dans une C.N. d'équilibre, une autre C.N. étant la nullité de la somme des forces extérieures appliquées ;

     nullité de la somme des forces extérieures verticales c.-à-d. le poids du solide $\;m\;{\vec {g}}\;$ et la composante normale de la réaction du plan support $\;{\vec {N}}\;$ d'où, en projection sur $\;{\vec {u}}_{y}$, $\;N-m\;g=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;N=m\;g$ ;

     nullité de la somme des forces extérieures horizontales c.-à-d. la force que le ressort exerce sur le solide $\;{\vec {T}}=-k\;x_{i}\;{\vec {u}}_{x}\;$ et la composante tangentielle de réaction du plan support $\;{\vec {R}}_{\tau }=R_{\tau ,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'où, en projection $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;-k\;x_{i}+R_{\tau ,\,x}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;R_{\tau ,\,x}=k\;x_{i}$ ;

     sur le schéma ci-contre, nous avons envisagé $\;x_{i}>0\;$ d'où les sens respectifs de $\;{\vec {T}}\;$ et $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$, ce dernier étant effectivement de sens opposé à celui du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}\;$ susceptible de se produire $\;{\big [}$de même sur un schéma analogue avec $\;x_{i}<0$, le ressort étant alors initialement comprimé le sens de $\;{\vec {T}}\;$ est inversé, ce qui inverse aussi le sens du vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{hyp, mouv}}\;$ susceptible de se produire et par suite le sens de $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ qui doit lui être opposé${\big ]}$ ;

     il reste à écrire la loi de frottement de Coulomb dans le cas d'un non glissement soit $\;\vert R_{\tau ,\,x}\vert <f\;N\;$ ce qui donne ici $\;k\;\vert x_{i}\vert <f\;m\;g\;$ ou encore $\;-f\;m\;g<k\,x_{i}<f\;m\;g\;$ soit enfin $\;-{\dfrac {f\;m\;g}{k}}<x_{i}<{\dfrac {f\;m\;g}{k}}$.

     Il existe donc bien un intervalle ouvert $\;\left]-a_{1}\,,\,+a_{1}\right[\;$ de valeurs $\;x_{i}$, abscisse de la position initiale du C.D.I. du solide sans vitesse initiale, correspondant à un état d'équilibre du solide, la valeur absolue commune des bornes étant $\;a_{1}={\dfrac {f\;m\;g}{k}}$.

 

Étude du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide quand il est initialement hors état d'équilibre

     On se place dans le cas où les C.I. sont $\;x_{i}=\beta \;a_{1}\;$ avec $\;\beta >1\;$ et $\;\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)_{\!i}=0$.

Étude de la 1^re phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide

     Après avoir vérifié que les C.I. ont placé $\;M\;$ hors plage d'équilibre, préciser dans quel sens le mouvement peut s'effectuer et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction (sens et norme) ;

     en déduire l'équation différentielle du mouvement de $\;M\;$ dans l'hypothèse où le mouvement s'effectue effectivement dans le sens prédit ;

     résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

     à partir de quel instant $\;t_{1}\;$ cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Solution

Schéma de situation instantanée d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide à un instant t quelconque

     Les C.I. placent effectivement $\;M\;$ hors plage d'équilibre, $\;x_{i}\;$ étant $\;>a_{1}$, le mouvement s'effectuera tout d'abord dans le sens des $\;x\searrow \;$ c.-à-d. avec $\;{\dot {x}}(t)<0$ ;

     le sens de la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction du plan support est alors dans le sens contraire de celui du mouvement du solide c.-à-d. le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sa norme, selon la loi de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement, s'écrit selon $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;N$ ;

     compte-tenu de l'absence de mouvement verticalement on a toujours $\;N-m\;g=0\;$ ou encore $\;N=m\;g\;$ permettant de réécrire la force de frottement solide selon $\;{\vec {R}}_{\tau }=$ $R_{\tau ,\,x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;R_{\tau ,\,x}=f\;m\;g\;$ ${\big [}$expression restant valable tant que $\;{\dot {x}}(t)\;$ reste $\;<0{\big ]}$ ;

     l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au solide et sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne $\;T_{x}+R_{\tau ,\,x}=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ ou, avec $\;T_{x}=$ $-k\;x(t)$, l'équation différentielle en $\;x(t)\;$ suivante $\;-k\;x(t)+f\;m\;g=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ ou finalement, en ordonnant et normalisant $\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x(t)=f\;g\;$
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ hétérogène sans terme du 1^er ordre ;

     la solution générale $\;x(t)\;$ de l'équation ci-dessus étant la somme de la solution libre $\;x_{l}(t)\;$ ${\big (}$c.-à-d. la solution générale de l'équation homogène${\big )}\;$ et de la solution forcée $\;x_{f}(t)\;$ ${\big (}$c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation${\big )}$, nous commençons par les déterminer individuellement :

• solution forcée : l'excitation $\;f\;g\;$ étant constante, nous cherchons $\;x_{f}\;$ sous forme d'une constante $\Rightarrow {\ddot {x}}_{f}=0\;$ d'où $\;{\dfrac {k}{m}}\;x_{f}=f\;g\;$ ou $\;x_{f}={\dfrac {f\;m\;g}{k}}=a_{1}$ ;
• solution libre : solution générale de l'équation $\;{\ddot {x}}_{l}(t)+{\dfrac {k}{m}}\;x_{l}(t)=0\;$ ${\bigg [}$équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}{\bigg ]}$, ou encore $\;{\ddot {x}}_{l}(t)+\omega _{0}^{2}\;x_{l}(t)=0$, la solution libre s'écrivant alors $\;x_{l}(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)$, $\;A\;$ et $\;B\;$ étant, pour l'instant, des constantes arbitraires ;

     on en déduit donc $\;x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)+a_{1}\;$ et on détermine $\;A\;$ et $\;B\;$ en utilisant les C.I. $\;x(0)=x_{i}=\beta \;a_{1}\;$ et $\;{\dot {x}}(0)=0\;$ soit :

• $\;x(0)=A+a_{1}=\beta \;a_{1}\;$ $\Rightarrow$ $\;A=\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;$ et
• $\;{\dot {x}}(0)=B\;\omega _{0}=0\;$ ${\big [}$en utilisant $\;{\dot {x}}(t)=-A\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)+B\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t){\big ]}\;$ soit finalement $\;B=0$ ;

     on en déduit la loi horaire de position de $\;M\;$ dans cette 1^re phase de son mouvement $\;x(t)=\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;\cos(\omega _{0}\;t)+a_{1}\;$ ou encore $\;x(t)=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\omega _{0}\;t)\right]$.

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;{\dot {x}}(t)\;$ est $\;<0$, il reste donc à valider (ou non) cette hypothèse et pour cela à évaluer $\;{\dot {x}}(t)$ :

$\;{\dot {x}}(t)=-\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$

     qui est $\;<0\;$ si $\;\left(\beta -1\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ est $\;>0\;$ ou, comme $\;\beta \;$ est $\;>1$, si $\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ est $\;>0\;$ à partir de $\;t=0\;$ soit pour $\;\omega _{0}\;t\in \left]0\,,\,\pi \right[\;$ ou, en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$, la condition $\;{\dot {x}}(t)<0\;$ se réécrit $\;t\in \left]0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[$ ;

     l'instant $\;t_{1}\;$ à partir duquel l'équation du mouvement précédent $\;x(t)=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;$ n'est plus valable est donc $\;t_{1}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$.

 

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 1^re phase

     Quelle doit-être la condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^re phase soit dans la plage d'équilibre ?

Solution

     La condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 1^re phase soit dans la plage d'équilibre est $\;-a_{1}<x(t_{1})<a_{1}\;$ soit, avec $\;x(t_{1})=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\pi )\right]=$ $a_{1}\,\left(2-\beta \right)$, la réécriture de la condition sous $\;-a_{1}<a_{1}\,\left(2-\beta \right)<a_{1}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;1<\beta <3\;$ soit finalement si $\;\beta \in \left]1\,,\,3\right[\;$ le pendule élastique horizontal amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant $\;t_{1}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$.

 

Étude de la 2^ème phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide sous condition de son existence

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement peut se poursuivre ; il est alors judicieux pour traiter la suite de faire un changement d'origine des temps en posant $\;t'=t-t_{1}$ ;

     préciser dans quel sens le mouvement peut se poursuivre et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de la réaction (sens et norme) ;

     en déduire l'équation différentielle en $\;x(t')\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans l'hypothèse où le mouvement se poursuit effectivement dans le sens prédit ;

     résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

     à partir de quel instant $\;{t'}_{2}\;$ correspondant à $\;t_{2}=t_{1}+{t'}_{2}\;$ cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Solution

     Cette condition n'étant pas réalisée, on a $\;\beta \geqslant 3$, le mouvement peut se poursuivre dans le sens des $\;x\nearrow \;$ c.-à-d. correspondant à $\;{\dot {x}}(t)>0\;$ et la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ étant de sens opposé à celui du mouvement c.-à-d. opposé au sens de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ est dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{x}$, sa norme étant toujours égale à $\;f\;N=f\;m\;g\;$ d'où $\;{\vec {R}}_{\tau }=-f\;m\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$.

     Comme proposé dans le texte, on fait un changement d'origine des temps, posant $\;t'=t-t_{1}$ ;

     l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au solide et sa projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne $\;T_{x}+R_{\tau ,\,x}=m\;{\ddot {x}}(t')\;$ ou, avec $\;T_{x}=$ $-k\;x(t')$, l'équation différentielle en $\;x(t')\;$ suivante $\;-k\;x(t')-f\;m\;g=$ $m\;{\ddot {x}}(t')\;$ ou finalement, en ordonnant et normalisant $\;{\ddot {x}}(t')+{\dfrac {k}{m}}\;x(t')=-f\;g\;$
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;x(t')\;$ hétérogène sans terme du 1^er ordre ;

     la solution générale $\;x(t')\;$ de l'équation ci-dessus étant la somme de la solution libre $\;x_{l}(t')\;$ ${\big (}$c.-à-d. la solution générale de l'équation homogène${\big )}\;$ et de la solution forcée $\;x_{f}(t')\;$ ${\big (}$c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation${\big )}$, nous commençons par les déterminer individuellement :

• solution forcée : l'excitation $\;-f\;g\;$ étant constante, nous cherchons $\;x_{f}\;$ sous forme d'une constante $\Rightarrow {\ddot {x}}_{f}=0\;$ d'où $\;{\dfrac {k}{m}}\;x_{f}=-f\;g\;$ ou $\;x_{f}=-{\dfrac {f\;m\;g}{k}}=-a_{1}$ ;
• solution libre : solution générale de l'équation $\;{\ddot {x}}_{l}(t')+{\dfrac {k}{m}}\;x_{l}(t')=0\;$ déjà déterminée dans la 1^re phase d'où $\;x_{l}(t')=A'\;\cos(\omega _{0}\;t')+B'\;\sin(\omega _{0}\;t')\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, $\;A'\;$ et $\;B'\;$ étant, pour l'instant, des constantes arbitraires ;

     on en déduit donc $\;x(t')=A'\;\cos(\omega _{0}\;t')+B'\;\sin(\omega _{0}\;t')-a_{1}\;$ et on détermine $\;A'\;$ et $\;B'\;$ en utilisant les C.I. $\;x(t'=0)=x(t_{1})=a_{1}\,\left(2-\beta \right)\;$ et $\;{\dot {x}}(t'=0)=0\;$ soit :

• $\;x(t'=0)=A'-a_{1}=a_{1}\,\left(2-\beta \right)\;$ $\Rightarrow$ $\;A'=a_{1}\,\left(3-\beta \right)=-a_{1}\,\left(\beta -3\right)\;$ et
• $\;{\dot {x}}(t'=0)=B'\;\omega _{0}=0\;$ ${\big [}$en utilisant $\;{\dot {x}}(t')=-A'\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t')+B'\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t'){\big ]}\;$ soit finalement $\;B'=0$ ;

     on en déduit la loi horaire de position de $\;M\;$ dans cette 2^ème phase de son mouvement $\;x(t')=-\left(\beta -3\right)\,a_{1}\;\cos(\omega _{0}\;t')-a_{1}\;$ ou encore $\;x(t')=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\omega _{0}\;t')\right]$.

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;{\dot {x}}(t')\;$ est $\;>0$, il reste donc à valider (ou non) cette hypothèse et pour cela à évaluer $\;{\dot {x}}(t')$ :

$\;{\dot {x}}(t')=\left(\beta -3\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t')\;$

     qui est $\;>0\;$ si $\;\beta \neq 3\;$ d'une part et d'autre part, comme $\;\beta \;$ est alors $\;>3\;$ si $\;\sin(\omega _{0}\;t')\;$ est $\;>0\;$ à partir de $\;t'=0\;$ soit pour $\;\omega _{0}\;t'\in \left]0\,,\,\pi \right[\;$ ou, avec la période propre de l'oscillateur non amorti $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=$ $2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$, la condition $\;{\dot {x}}(t')>0\;$ se réécrit $\;t'\in \left]0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[\;$ et donc $\;t=t'+t_{1}\in \left]{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\,,\,T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[$ ;

     l'instant $\;{t'}_{2}\;$ à partir duquel l'équation du mouvement précédent $\;x(t')=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\omega _{0}\;t')\right]\;$ n'est plus valable est donc $\;{t'}_{2}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ soit $\;t_{2}={t'}_{2}+t_{1}=T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$.

     Remarque : le cas $\;\beta =3\;$ qui permettait a priori un nouveau glissement du solide s'est donc avéré fournir une amplitude nulle pour cette 2^ème phase oscillatoire, c'est donc aussi, dans la théorie, un cas d'arrêt définitif après la 1^re phase mais cela n'est dû que dans la mesure où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont confondus, sinon il y aurait eu mouvement $\;\ldots$

 

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 2^ème phase

     Quelle doit-être la condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase soit dans la plage d'équilibre ?

Solution

     La condition sur $\;\beta \;$ pour que la position d'arrêt de fin de 2^ème phase soit dans la plage d'équilibre est $\;-a_{1}<x({t'}_{2})<a_{1}\;$ soit, avec $\;x({t'}_{2})=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\pi )\right]=$ $a_{1}\,\left(\beta -4\right)$, la réécriture de la condition sous $\;-a_{1}<a_{1}\,\left(\beta -4\right)<a_{1}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;3<\beta <5\;$ soit finalement si $\;\beta \in \left]3\,,\,5\right[\;$ le pendule élastique horizontal amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant $\;t_{2}=T_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$.

 

Application au cas β = 5,5

     Appliquer l'étude précédente au cas $\;\beta =5,5\;$ et

     tracer, sur un même graphe, le diagramme horaire $\;x=x(t)\;$ pour chacune des phases effectivement décrites.

Solution

     Nous sommes donc dans le cas $\;\beta >5$, il y a donc une 3^ème phase dans le sens des $\;x\searrow$ ;

     pour faciliter la résolution $\;{\big (}$à calquer sur celle de la 1^re phase aux C.I. près${\big )}$, on fait le changement d'origine des temps suivant $\;t''=t-t_{2}=t'-t'_{2}$ ;

     l'équation différentielle en $\;x(t'')\;$ est $\;{\ddot {x}}(t'')+{\dfrac {k}{m}}\;x(t'')=f\;g\;$ et sa résolution conduit à $\;x(t'')=A''\;\cos(\omega _{0}\;t'')+B''\;\sin(\omega _{0}\;t'')+a_{1}\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, les C.I. étant maintenant $\;x(t''=0)=x({t'}_{2})=a_{1}\,\left(\beta -4\right)\;$ et $\;{\dot {x}}(t''=0)=0\;$ soit :

• $\;x(t''=0)=A''+a_{1}=a_{1}\,\left(\beta -4\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;A''=a_{1}\,\left(\beta -5\right)\;$ et
• $\;{\dot {x}}(t''=0)=B''\;\omega _{0}=0\;$ ${\big [}$en utilisant $\;{\dot {x}}(t'')=-A''\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t'')+B''\;\omega _{0}\;\cos(\omega _{0}\;t''){\big ]}\;$ soit finalement $\;B''=0$ ;

     on en déduit la loi horaire de position de $\;M\;$ dans cette 3^ème phase de son mouvement $\;x(t'')=\left(\beta -5\right)\,a_{1}\;\cos(\omega _{0}\;t')+a_{1}\;$ ou encore $\;x(t'')=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\omega _{0}\;t'')\right]$.

     Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où $\;{\dot {x}}(t'')\;$ est $\;<0$, il reste donc à valider (ou non) cette hypothèse et pour cela à évaluer $\;{\dot {x}}(t'')$ :

$\;{\dot {x}}(t'')=-\left(\beta -5\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t'')\;$

     qui est $\;<0\;$ si $\;\left(\beta -5\right)\,a_{1}\;\omega _{0}\;\sin(\omega _{0}\;t'')\;$ est $\;>0\;$ ou, comme $\;\beta \;$ est $\;>5$, si $\;\sin(\omega _{0}\;t'')\;$ est $\;>0\;$ à partir de $\;t''=0\;$ soit pour $\;\omega _{0}\;t''\in \left]0\,,\,\pi \right[\;$ ou, avec la période propre de l'oscillateur non amorti $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$, la condition $\;{\dot {x}}(t'')<0\;$ se réécrit $\;t''\in \left]0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\right[$ ;

     l'instant $\;{t''}_{3}\;$ à partir duquel l'équation du mouvement précédent $\;x(t'')=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\omega _{0}\;t'')\right]\;$ n'est plus valable est donc $\;{t''}_{3}={\dfrac {T_{0}}{2}}=\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ soit $\;t_{3}={t''}_{3}+{t'}_{2}+t_{1}={\dfrac {3\;T_{0}}{2}}=3\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}$.

     L'abscisse du C.D.I. $\;M\;$ de l'objet ayant, à l'instant $\;t_{3}$, pour valeur $\;x({t''}_{3})=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\pi )\right]=a_{1}\,\left(6-\beta \right)\;$ soit, avec $\;\beta =5,5\;$ la valeur numérique $\;x({t''}_{3})=$ $0,5\;a_{1}\in \left]-a_{1}\,,\,a_{1}\right[$, nous en concluons que l'objet a atteint une position d'équilibre à l'instant $\;t_{3}={\dfrac {3\;T_{0}}{2}}=3\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ de la fin de la 3^ème phase et qu'il restera indéfiniment en $\;x_{\text{éq}}={\dfrac {a_{1}}{2}}\;$ sans perturbations extérieures.

     Tracé du diagramme horaire de position pour β = 5,5 : voir ci-dessous à gauche.

• La 1^re phase a pour loi horaire de position $\;x(t)=a_{1}\,\left[1+4,5\;\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;$ correspondant à une demi-oscillation autour de $\;x=a_{1}\;$ d'amplitude de $\;4,5\;a_{1}$,
• la 2^ème phase a pour loi horaire de position $\;x(t')=-a_{1}\,\left[1+2,5\;\cos(\omega _{0}\;t')\right]\;$ correspondant à une demi-oscillation autour de $\;x=$ $-a_{1}\;$ d'amplitude de $\;2,5\;a_{1}\;$ et
• la 3^ème et dernière phase a pour loi horaire de position $\;x(t'')=a_{1}\,\left[1+0,5\;\cos(\omega _{0}\;t'')\right]\;$ correspondant à une demi-oscillation autour de $\;x=a_{1}\;$ d'amplitude de $\;0,5\;a_{1}$.

     Remarque : Si $\;\beta \;$ est nettement plus grand de façon à ce qu'on puisse observer beaucoup plus de demi-oscillations successives, on observerait un amortissement qui, pratiquement, pourrait être qualifié de « linéaire » voir ci-dessous à droite avec le cas $\;\beta =19,5\;a_{1}$.

Diagramme horaire de position d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort, M étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de 5,5 a₁ et lâché sans vitesse initiale, a₁ étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre

Diagramme horaire de position d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I. noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort, M étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de 19,5 a₁ et lâché sans vitesse initiale, a₁ étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre

 

Condition de propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal comprimé (principe de la catapulte verticale)

Principe de la propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme

     Un objet assimilable à un point matériel $\;A$, de masse $\;m$, est posé sur un plateau horizontal assimilable à son C.D.I. $\;P$, de masse $\;M$, soutenu par des ressorts verticaux équivalents à un ressort unique idéal de raideur $\;k\;$et de longueur à vide $\;l_{0}$ ;

     l'ensemble « ressort, plateau et objet posé » est guidé verticalement, dans un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, par un système non représenté sur le schéma ci-contre ;

     la liaison entre l'objet posé et le plateau est unilatérale avec ou sans frottement solide, l'existence d'un éventuel frottement solide ne jouant aucun rôle dans la mesure où toutes les forces actives qui interviennent dans le problème étant verticales, les réactions tangentielles que le plateau exerce sur l'objet ou que l'objet exerce sur le plateau sont nulles.

     On appuie sur le plateau qui se déplace verticalement d'une longueur $\;a\;$ comptée à partir de sa position d'équilibre initiale, et on le lâche sans vitesse initiale.

     À partir de quelle valeur de $\;a\;$ l'objet assimilé au point matériel $\;A\;$ quittera-t-il le plateau au cours du mouvement ?

Solution

Schémas à l'équilibre et à l'instant t relatifs à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces extérieures appliquées à l'ensemble « objet - plateau » à l'instant t si le contact entre les deux est effectif

     Toutes les études sont faites dans le référentiel lié au sol, référentiel supposé galiléen.

     Tant que la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de $\;P\;$ sur $\;A\;$ existe et est non nulle, le point $\;A\;$ reste solidaire du plateau de C.D.I. $\;P\;$, c'est dans cette hypothèse que nous nous plaçons dans la suite ;

     pour déterminer $\;{\vec {R}}\;$ on appliquera la r.f.d.n. à $\;A\;$ ce qui permettra d'exprimer $\;{\vec {R}}\;$ en fonction, entre autres, de $\;{\vec {a}}_{A}(t)\;$ accélération éventuelle de $\;A$, laquelle est égale à celle de $\;P\;$ ou de l'ensemble $\;A\cup P\;$ tant que $\;A\;$ n'a pas quitté le plateau ;

     pour déterminer le mouvement éventuel de $\;A\;$ ou de $\;P\;$ ou de l'ensemble $\;A\cup P\;$ dans l'hypothèse où $\;A\;$ n'a pas quitté le plateau, on appliquera le théorème du mouvement du C.D.I. à l'ensemble $\;A\cup P\;$, ce qui permettra d'exprimer l'accélération éventuelle commune en fonction des données.

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau »  : soit $\;C_{\text{éq}}=l_{0}-l_{\text{éq}}\;$ la compression du ressort à l'équilibre de l'ensemble $\;A\cup P\;$, l'étude de l'équilibre de ce dernier nous fournit $\;C_{\text{éq}}={\dfrac {(M+m)\;g}{k}}\;$ ;

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : cette position servant d'origine pour le repérage du C.D.I. de l'ensemble « objet - plateau », la force $\;{\vec {T}}(t)\;$ que le ressort exerce sur $\;A\cup P\;$ à l'instant $\;t\;$ est dirigée vers le haut tant que le ressort est comprimé et la compression totale à cet instant s'écrivant $\;C_{t}=C_{\text{éq}}+x(t)\;$ avec $\;x\;$ abscisse de $\;A\cup P$, on en déduit $\;{\vec {T}}(t)=$ $-k\;C_{t}\;{\vec {u}}_{x}=-k\,\left[C_{\text{éq}}+x(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}$ ;

     Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : la seule autre force extérieure s'exerçant sur l'ensemble « objet - plateau » étant le poids de ce dernier $\;\left(M+m\right)\,{\vec {g}}=\left(M+m\right)\,g\;{\vec {u}}_{x}$, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à $\;A\cup P\;$ donne, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}$, l'équation différentielle en $\;x(t)\;$ suivante $\;-k\,\left[C_{\text{éq}}+x(t)\right]+\left(M+m\right)\,g=\left(M+m\right)\,{\ddot {x}}(t)$, soit, après simplification utilisant la condition d'équilibre $\;\left(M+m\right)\,g=k\;C_{\text{éq}}\;$ et normalisation $\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k}{M+m}}\;x(t)=0$
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ sans terme du 1^er ordre
ou encore une équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{M+m}}}$ ;      Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : on en déduit la forme de la solution $\;x(t)=A\;\cos(\omega _{0}\;t)+B\;\sin(\omega _{0}\;t)\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes d'intégration se déterminant par utilisation des C.I. $\;x(0)=a\;$ et $\;{\dot {x}}(0)=0$, la 1^re conduisant à $\;A=a\;$ et la 2^nde à $\;B\;\omega _{0}=0\;$ soit $\;B=0\;$ d'où finalement $\;x(t)=a\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$ et par suite l'accélération de $\;A\cup P\;$ et aussi celle de $\;A\;$ :
$\;a_{x,\,A\,\cup \,P}(t)=a_{x,\,A}(t)={\ddot {x}}(t)=-\omega _{0}^{2}\;x(t)=-{\dfrac {k}{M+m}}\;x(t)=-{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)$.

Schéma à l'instant t relatif à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces appliquées à l'objet à l'instant t dans l'hypothèse où le contact entre l'objet et le plateau est effectif

     Détermination de la réaction que le plateau exerce sur l'objet : $\;A\;$ étant soumis à deux forces, son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{x}\;$ et la réaction du plateau $\;{\vec {R}}\;$ de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plateau susceptible de se produire à savoir de sens contraire à $\;{\vec {u}}_{x}\;$ d'où $\;{\vec {R}}=-R_{n}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;R_{n}>0\;$ pour un contact effectif (voir schéma ci-contre), la r.f.d.n. appliquée à $\;A\;$ et projetée sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ donne $\;-R_{n}(t)+m\;g=m\;{\ddot {x}}(t)\;$ ou, en reportant l'expression précédemment trouvée $\;{\ddot {x}}(t)=-{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;$ on en déduit l'expression de la composante normale de la réaction $\;R_{n}(t)=m\,\left[g-{\ddot {x}}(t)\right]=m\,\left[g+{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\right]$.      Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : Cette condition s'écrit $\;R_{n}(t)>0\;\;\forall \;t\;$ avec $\;R_{n}(t)\;$ fonction continue $\;\searrow \;$ de $\;t\in \left[0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}\right]\;$ dans lequel $\;T_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {M+m}{k}}}\;$ est la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble lié $\;A\cup P\;$ fixé au ressort ; on utilise alors la C.N. de positivité d'une fonction continue d'une variable sur un intervalle qui est que son minimum sur cet intervalle soit positif soit ici $\;R_{n}(t)>0\;\;\forall \;t\;$ réalisé si $\;\min \limits _{t\in \left[0\,,\,{\frac {T_{0}}{2}}\right]}\left\lbrace m\,\left[g+{\dfrac {k\;a}{M+m}}\;\cos(\omega _{0}\;t)\right]\right\rbrace =m\,\left[g-{\dfrac {k\;a}{M+m}}\right]>0$,      Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : soit la condition de maintien du contact entre l'objet et le plateau $\;a<{\dfrac {\left(M+m\right)\,g}{k}}=C_{\text{éq}}\;$.      Conclusion : Le point $\;A\;$ décollera donc du plateau pour une compression initiale supplémentaire relativement à la compression à l'équilibre de $\;a\geqslant {\dfrac {(M+m)\;g}{k}}=C_{\text{éq}}\;$

     Conclusion : c.-à.d. qu'il n'y aura plus contact entre $\;A\;$ et le plateau à l'instant où le ressort cessera d'être comprimé dans le mouvement de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble supposé lié $\;A\cup P\;$ fixé au ressort.

 

Condition de maintien de contact d'un objet lors de son passage, à vitesse constante, sur une bosse

Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle

     Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse instantanée $\;v\;$ uniforme, sur une piste au profil accidenté, l'assimilation de l'automobile à un point matériel ayant pour conséquence que son mouvement peut être considéré comme un glissement ;

     la liaison entre l'automobile et la piste est unilatérale avec frottement solide mais la composante tangentielle de la réaction de la piste sur l'automobile ne jouera aucun rôle car la force motrice (tangentielle) s'exerçant sur cette dernière est adaptée pour compenser toutes les autres composantes tangentielles de façon que l'accélération tangentielle soit nulle et donc la vitesse instantanée constante.

     À un instant considéré comme instant origine, la voiture franchit, dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, une bosse modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon $\;l\;$ et d'ouverture angulaire $\;2\;\alpha \;$ (voir schéma ci-contre).

     À quelle condition de vitesse l'automobile garde-t-elle le contact avec le sol ?

     Données : $\;\alpha =10\,{\text{°}}$, $\;l=5\;m\;$ et l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$, déterminer numériquement la vitesse instantanée minimale pour que l'automobile décolle de la piste et préciser à quel endroit le décollage se produit.

Solution

Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle avec représentation des forces extérieures appliquées et base locale de Frenet

     Le référentiel terrestre dans lequel on étudie le mouvement de la voiture assimilée à un point matériel $\;M\;$ lors du passage sur la bosse est supposé galiléen et on y utilisera la base locale de Frenet liée à $\;M\;$ à savoir $\;\left({\vec {\tau }}\,,\,{\vec {n}}\right)\;$ (voir figure ci-contre) ;

     le bilan des forces appliquées à $\;M\;$ simulant la voiture est :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\sin(\theta )\;{\vec {\tau }}+m\;g\;\cos(\theta )\;{\vec {n}}$,
• la force motrice $\;{\vec {F}}_{\text{mot}}=F_{{\text{mot}},\,\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ et
• la réaction de la piste $\;{\vec {R}}=R_{\tau }\;{\vec {\tau }}-R_{n}\;{\vec {n}}$, la composante normale étant de sens contraire à celui de la pénétration de la voiture dans la piste susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à $\;{\vec {n}}\;$ ce qui a pour conséquence $\;R_{n}>0\;$ tant que le,contact est maintenu et la composante tangentielle $\;{\big (}$ou force de frottement solide${\big )}\;$ de sens contraire au mouvement c.-à-d. de sens contraire à $\;{\vec {\tau }}\;$ ce qui a pour conséquence $\;R_{\tau }<0\;$ avec la loi de frottement de Coulomb avec glissement $\;\vert R_{\tau }\vert =f\;R_{n}\;$ dans laquelle $\;f\;$ est le cœfficient commun de frottement solide statique et dynamique ;

     la condition de maintien de contact du véhicule sur la piste lors du passage de la bosse étant $\;R_{n}(\theta )>0\;\;\forall \;\theta \in \left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]$, il convient de déterminer $\;R_{n}(\theta )\;$ en appliquant la r.f.d.n. au point $\;M\;$ simulant la voiture et en la projetant sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet soit $\;-R_{n}(\theta )+m\;g\;\cos(\theta )$ $=m\;a_{n}=m\;{\dfrac {v^{2}}{l}}\;$ dont on tire la composante normale scalaire de la réaction $\;R_{n}(\theta )=m\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]$ ;      cette dernière étant une fonction paire de $\;\theta$, elle sera $\;>0\;\;\forall \;\theta \in \left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;$ si $\;R_{n}(\theta )>0\;\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,+\alpha \right]\;$ ce qui sera réalisé si $\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\alpha \right]}R_{n}(\theta )=R_{n}(\alpha )>0\;$ soit encore $\;m\left[g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]>0\;$ et finalement le contact du véhicule sur la piste est maintenu si la vitesse instantanée de l'automobile est telle que $\;v<{\sqrt {g\;l\;\cos(\alpha )}}$.

     Numériquement on obtient $\;v<{\sqrt {9,81\times 5\times \cos(10\,{\text{°}})}}\simeq 6,95\;m\cdot s^{-1}\;$ soit $\;v\lesssim 25,0\;km\cdot h^{-1}\;$.

     Remarque : Les trois composantes tangentielles à savoir la force motrice, la composante tangentielle du poids et la force de frottement solide se compensent car la vitesse instantanée étant constante, l'accélération tangentielle est nulle, soit $\;F_{{\text{mot}},\,\tau }+m\;g\;\cos(\theta )-\vert R_{\tau }\vert =0\;$ ou $\;F_{{\text{mot}},\,\tau }=f\;R_{n}(\theta )-m\;g\;\cos(\theta )\;$ soit finalement $\;F_{{\text{mot}},\,\tau }=m\left\lbrace f\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]-g\;\cos(\theta )\right\rbrace$.      Pour que le véhicule décolle de la piste il suffit qu'il existe une valeur de $\;\theta \;$ pour laquelle $\;R_{n}(\theta )=m\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\;$ soit $\;\lesssim 0\;$ sur l'intervalle $\;\left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;$ c.-à-d., $\;R_{n}(\theta )\;$ étant une fonction $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[-\alpha \,,\,0\right]\;$ puis $\;\searrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,+\alpha \right]$, il suffit que $\;R_{n}(-\alpha )=m\left[g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\lesssim 0\;$ soit finalement le véhicule décollera de la piste pour $\;\theta =-\alpha \;$ si $\;v\gtrsim {\sqrt {g\;l\;\cos(\alpha )}}\simeq 25,0\;km\cdot h^{-1}$.

 

Corde idéale enroulée sur une tige avec présence de frottement solide entre la corde et la tige

Schéma descriptif d'une corde idéale enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige

     Une corde idéale passe autour d'une tige cylindrique de rayon $\;R$, horizontale, immobile, en faisant exactement un demi-tour sur la tige comme on peut le voir sur le schéma ci-contre

     Npus nous proposons de calculer la valeur minimale $\;F_{0}\;$ de la norme de la force $\;{\vec {F}}\;$ verticale descendante qu’il faut exercer à l’extrémité $\;A\;$ de la corde pour empêcher la charge $\;{\mathcal {P}}$, de masse $\;m$, accrochée à l’autre extrémité $\;B\;$ de la corde, de tomber, le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ étant uniforme d'intensité $\;g$ ;

     nous supposons que le coefficient de frottement de glissement de la corde sur la tige est égal à $\;f\;$ et

     nous supposons que la corde est tendue c.-à-d. qu'elle est rectiligne quand elle ne repose pas sur la tige et circulaire de rayon $\;R\;$ quand elle y est en contact.

     En appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à un élément de corde en contact avec la tige, puis en intégrant l’équation obtenue, évaluer «$\;{\dfrac {F_{0}}{m\;g}}\;$» et

     faire l’application numérique pour $\;f=0,2$.

     Supposant maintenant que la corde est enroulée de $\;n\;$ tours sur la tige en plus du demi-tour, établir comment «$\;{\dfrac {F_{0}}{m\;g}}\;$» varie avec $\;n\;$ et

     reprendre l’application numérique avec $\;f=0,2\;$ pour $\;n=1\;$ puis $\;2$.

Solution

Bilan de forces appliquées à un élément de idéale enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige

     Considérons l’élément $\;{\overset {\frown }{II'}}\;$ de longueur $\;R\;d\theta$, de la corde au contact de la tige, «$\;I\;$ étant repéré par l’angle polaire $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Cx}}\,,\,{\overrightarrow {CI}}\right)}}=\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\;$» et «$\;I'\;$ par $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {Cx}}\,,\,{\overrightarrow {CI'}}\right)}}=\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\;$», les forces extérieures exercées sur cet élément $\;{\big (}$dans la mesure où le poids de l'élément est nul, sa masse l'étant de par l'une des propriétés d'une corde idéale${\big )}\;$ sont

• les tensions $\;{\vec {T}}\;$ et $\;{\vec {T}}'\;$ exercées par le restant de la corde située respectivement avant l'extrémité $\;I\;$ et après l'extrémité $\;I'\;$ de l'élément de corde $\;{\overset {\frown }{II'}}$, avec «$\;{\vec {T}}=-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» et «$\;{\vec {T}}'=T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» dans lesquelles $\;T(\theta )\;$ est la norme de la tension de la corde au C.D.I. $\;G_{\overset {\frown }{II'}}\;$ de l'élément $\;{\overset {\frown }{II'}}$, $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ étant le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de pôle $\;C\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Cx}}\;$ des points de la section droite de la tige contenant la corde $\;{\big (}{\vec {u}}_{r}\;$ étant le vecteur unitaire radial du même repérage${\big )}\;$ et
• la réaction $\;d{\vec {R}}\;$ de la tige sur l'élément de corde $\;{\overset {\frown }{II'}}$, $\;d{\vec {R}}\;$ se décomposant en « une composante normale $\;d{\vec {R}}_{n}=dR_{n}(\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;dR_{n}(\theta )>0\;$» et « une composante tangentielle $\;d{\vec {R}}_{\tau }={\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ avec $\;{\overline {dR_{\tau }}}>0\;$ si la corde tend à glisser dans le sens $\;-$ $\;{\big (}$cas de la figure${\big )}$ $\;{\big \{}{\overline {dR_{\tau }}}<0\;$ si la corde tend à glisser dans le sens $\;+{\big \}}\;$» ;

     appliquant le théorème du mouvement du C.D.I. à l'élément de corde $\;{\overset {\frown }{II'}}$, nous obtenons « ${\vec {T}}+{\vec {T}}'+d{\vec {R}}_{n}+d{\vec {R}}_{\tau }=dm_{\overset {\frown }{II'}}\;{\vec {a}}(G_{\overset {\frown }{II'}})={\vec {0}}$ » car $\;dm_{\overset {\frown }{II'}}=0\;$ soit, en projetant sur chaque vecteur de base polaire lié à $\;G_{\overset {\frown }{II'}}$,

• sur $\;{\vec {u}}_{r}$ : « $-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )+dR_{n}(\theta )=0$ » soit, en utilisant l'approximation linéaire d'une fonction $\;{\big (}$vectorielle${\big )}\;$ d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs « ${\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{2}}$ » avec $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )=-{\vec {u}}_{r}(\theta )\;$ d'où « ${\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )\simeq {\dfrac {d\theta }{2}}$ » et « ${\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{2}}={\vec {u}}_{\theta }(\theta )-{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{r}(\theta )\simeq -{\dfrac {d\theta }{2}}$ », la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I. sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ « $-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\dfrac {d\theta }{2}}+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\left(-{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+dR_{n}(\theta )=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;dR_{n}(\theta )\simeq {\dfrac {T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)}{2}}\;d\theta$ » ou, en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction en facteur de $\;d\theta \;$ « $dR_{n}(\theta )\simeq T(\theta )\;d\theta$ » et
• sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ : « $-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )=0$ » soit sachant que $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )+{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\\{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq {\vec {u}}_{\theta }(\theta )-{\dfrac {d\theta }{2}}\;{\vec {u}}_{r}(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )\simeq 1\\{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(\theta )\simeq 1\end{array}}\right\rbrace$, la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I. sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ «$\;-T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)+{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq 0\;$ $\Rightarrow$ ${\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq T\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-T\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ou, en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction $\;T(\theta )\;$ « ${\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\simeq -{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta$ » ;

$\;\succ \;$dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;-$, « ${\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;$ étant $\;>0$ » nous en déduisons « ${\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )<0$ » correspondant à une tension de corde $\;\searrow \;$ de $\;I(\theta =0)\;$ à $\;I(\theta =\pi )$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un glissement «$\;{\Big \vert }{\overline {dR_{\tau }}}(\theta ){\Big \vert }=f\;R_{n}(\theta )\;$» s'écrivant ici « ${\overline {dR_{\tau }}}(\theta )=f\;dR_{n}(\theta )$ » ou « $-{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )\;d\theta =f\;T(\theta )\;d\theta$ » soit « ${\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )+f\;T(\theta )=0$ »           dans le cas d'un glissement effectif dans le sens - s'intègre en « $T(\theta )=A\;\exp \!\left(-f\;\theta \right)$ » avec $\;A\;$ constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.A.L. « $T(\theta =0)=T_{B}$ » où « $T_{B}\;$ est la tension de la corde exercée sur la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. à cette dernière soit, projeté sur un axe vertical descendant $\;-T_{B}+m\;g=m\;a_{B,\,z}\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{B}=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]$ » d'où la C.A.L. «$\;T(\theta =0)=T_{B}\;$» donne « $A=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]$ » $\Rightarrow$ «$\;T(\theta )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\theta \right)\;$» $\;{\big (}$avec $\;a_{B,\,z}\;$ restant à déterminer${\big )}\;$
          dans le cas d'un glissement effectif dans le sens - dont nous déduisons « $T(\theta =\pi )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\pi \right)$ » avec « $T(\theta =\pi )=T_{A}$ » où « $T_{A}\;$ est la tension de la corde exercée sur l'extrémité $\;A\;$ s'obtenant par application de la r.f.d.n. à cette dernière soit, projeté sur un axe vertical ascendant $\;T_{A}-F=0\times a_{A,\,z'}=0\;$ $\Rightarrow$ $\;T_{A}=F$ » et par suite «$\;F=T(\theta =\pi )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\pi \right)\;$» avec
$\;a_{B,\,z}\;$ accélération verticale descendante de $\;{\mathcal {P}}\;$ égale à « $a_{B,\,z}=g-{\dfrac {F}{m}}\;\exp \!\left(f\;\pi \right)$ » ; $\;\succ \;$dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens $\;-$, « ${\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;$ est $\;>0$ » $\Rightarrow$ « ${\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )$ est $\;<0$ » correspondant à une tension de corde $\;\searrow \;$ de $\;I(\theta =0)\;$ à $\;I(\theta =\pi )$, la loi empirique de frottement de Coulomb dans le cas d'un non glissement « ${\Big \vert }{\overline {dR_{\tau }}}(\theta ){\Big \vert }<f\;R_{n}(\theta )$ » s'écrivant ici « ${\overline {dR_{\tau }}}(\theta )<f\;dR_{n}(\theta )$ » $\Rightarrow$ « $-{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )<f\;T(\theta )$ », le « 2^ème membre étant $\;-{\dfrac {dT_{\text{gliss.}}}{d\theta }}(\theta )\;$ c.-à-d. le taux de $\;\searrow \;$ de la tension lors d'un glissement de la corde dans le sens $\;-$ » soit finalement « $-{\dfrac {dT_{\text{non gliss.}}}{d\theta }}(\theta )<-{\dfrac {dT_{\text{gliss.}}}{d\theta }}(\theta )$ » $\;{\big (}$avec une égalité limite quand le glissement se fait avec une accélération de charge nulle${\big )}$ ;
          dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens - ayant pour expression de tension de corde glissant dans le sens $\;-\;$ avec une accélération de charge $\;{\mathcal {P}}\;$ nulle «$\;T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta )=$ $m\;g\;\exp \!\left(-f\;\theta \right)\;$» et la tension de la corde $\;T(\theta )$ $\;\searrow \;$ moins rapidement en absence de glissement qu'avec glissement, nous en déduisons «$\;T_{\text{non gliss.}}(\theta )>T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta )=m\;g\;\exp \!\left(-f\;\theta \right)\;$» d'où «$\;T_{\text{non gliss.}}(\theta =\pi )>T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta =\pi )=$ $m\;g\;\exp \!\left(-f\;\pi \right)\;$» ou, sachant que la C.A.L. en $\;\theta =\pi \;$ conduit à $\;T_{\text{non gliss.}}(\theta =\pi )=T_{A}\;$ d'une part et que l'équilibre du point $\;A\;$ donne $\;T_{A}=F\;$ nous en déduisons « $F=T_{\text{non gliss.}}(\theta =\pi )>T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta =\pi )=m\;g\;\exp \!\left(-f\;\pi \right)$ », soit la valeur minimale de $\;{\dfrac {F}{m\;g}}\;$ «$\;{\dfrac {F_{0}}{m\;g}}=\min \left[{\dfrac {T_{\text{non gliss.}}(\theta =\pi )}{m\;g}}\right]={\dfrac {T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}(\theta =\pi )}{m\;g}}=\exp \!\left(-f\;\pi \right)\;$».      A.N. : avec $\;f=0,2\;$, la force minimale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre avec un demi-tour d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme «$\;F_{0}=m\;g\;\exp \!\left(-0,2\times \pi \right)\simeq 0,533\;m\;g\;$».      Si la corde est maintenant enroulée de $\;n+{\dfrac {1}{2}}\;$ tours sur la tige avec $\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ avant que l'opérateur n'exerce une force pour maintenir la charge en équilibre, la norme minimale de la force $\;F_{0,\,n}\;$ à exercer s'établissant exactement de la même manière qu'avec un demi-tour est déterminée par «$\;{\dfrac {F_{0,\,n}}{m\;g}}=\min \left\lbrace {\dfrac {T_{\text{non gliss.}}\!\left[\theta =\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]}{m\;g}}\right\rbrace ={\dfrac {T_{{\text{gliss. avec }}a_{B,\,z}\,=\,0}\!\left[\theta =\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]}{m\;g}}=\exp \!\left[-f\,\left(2\;n+1\right)\,\pi \right]\;$».      A.N. : avec $\;f=0,2\;$, la force minimale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre avec un tour et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme «$\;F_{0,\,1}=m\;g\;\exp \!\left(-0,2\times 3\;\pi \right)\simeq \left(0,533\right)^{3}\;m\;g\simeq 0,152\;m\;g\;$» ;            A.N. : avec $\;f=0,2\;$, la force minimale à exercer à l'extrémité $\;A\;$ de la corde pour maintenir la charge $\;{\mathcal {P}}\;$ en équilibre avec deux tours et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme «$\;F_{0,\,2}=m\;g\;\exp \!\left(-0,2\times 5\;\pi \right)\simeq \left(0,533\right)^{5}\;m\;g\simeq 0,043\;m\;g\;$».

     Remarque : Ce qui suit dans cette remarque n'était pas demandé, nous nous proposons de calculer la valeur maximale $\;{F_{0}}\!'\;$ de la norme de la force $\;{\vec {F}}\;$ verticale descendante qu’il faut exercer à l’extrémité $\;A\;$ de la corde pour empêcher la charge $\;{\mathcal {P}}$, de masse $\;m$, accrochée à l’autre extrémité $\;B\;$ de la corde, de monter, toutes les autres conditions de l'expérience étant inchangées ;

     Remarque : dans le cas d'un glissement effectif dans le sens $\;+$, «$\;{\overline {dR_{\tau }}}(\theta )\;$ est $\;<0\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {dT}{d\theta }}(\theta )>0\;$» correspondant