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Exercice : Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Glissement sur un plan incliné en présence de frottement solide[modifier | modifier le wikicode]
Un objet de masse
est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre
uniforme, avec un vecteur vitesse initiale
incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté
avec l'horizontale ;
le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée
.
Durée écoulée avant l'arrêt et distance parcourue correspondante[modifier | modifier le wikicode]
À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter au bout d'une certaine durée ;
déterminer cette durée ainsi que
Déterminer la distance parcourue pendant cette dernière.
Solution
Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut
L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I.[1] noté
, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire
où
est l'abscisse de
sur l'axe
dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine
de l'axe étant la position du C.D.I.[1] à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse
, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps.
Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I.[1]
étant
- son poids
vertical descendant encore égal à
où
est le vecteur unitaire orientant
et
, le vecteur unitaire normal au plan incliné choisi dans le sens des altitudes croissantes ainsi que
- la réaction du plan
avec
, le vecteur unitaire normal au plan de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plan susceptible de se produire
correspondant encore à
,
l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I.
[1] appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen nous conduit à

soit, en projection sur chaque axe,
[2] et, en utilisant la loi de frottement de Coulomb
[3] avec glissement

où

étant de sens contraire au mouvement de

soit finalement

d'où la réécriture des deux équations

puis, en reportant l'expression de

dans l'équation différentielle du mouvement de

et après simplification évidente
;
on en déduit, par intégration, la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet
![{\displaystyle \;v_{M,\,x}(t)=-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t+cste\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605a952421cf56736b1dee0404f3096a635fa306)
soit, en déterminant la constante d'intégration par la
C.I.[4]

, la réécriture de la loi horaire de vitesse de l'objet selon
![{\displaystyle \;v_{M,\,x}(t)=v_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaac2b933a31212004f432db4cf5761d6951892b)
et par suite, l'arrêt de l'objet étant caractérisé par une vitesse nulle, l'instant d'arrêt

de ce dernier est défini par
![{\displaystyle \;v_{M,\,x}(t_{\text{arrêt}})=v_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t_{\text{arrêt}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512bd8a0aa646490d86119208006a953458944f0)
soit
![{\displaystyle \;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {v_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861662aa450cc066258736ab1ee27a6eae2dcbaa)
correspondant à une durée de parcours de l'objet avant son arrêt égale à
;
intégrant la loi horaire scalaire de vitesse de l'objet
![{\displaystyle \;{\dot {x}}(t)=v_{M,\,x}(t)=v_{0}-g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862527b93dc9d9fbba2bc497596ad0b3693aad2a)
on en déduit sa loi horaire scalaire de position s'écrivant selon
![{\displaystyle v_{0}\;t-{\dfrac {g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}{2}}\;t^{2}+cste'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486c4f5287b67bd559e0b20d757f413e2fcd4e11)
soit, en déterminant la constante d'intégration par la C.I.
[4]

, la réécriture de la loi horaire de position de l'objet suivant
![{\displaystyle v_{0}\;t-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830132ff181da043626611fd2ff7c986e51dacb1)
et par suite, l'abscisse de la position d'arrêt

de ce dernier étant défini par son abscisse à l'instant d'arrêt
![{\displaystyle x(t_{\text{arrêt}})=v_{0}\;t_{\text{arrêt}}-{\dfrac {g}{2}}\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]\,t_{\text{arrêt}}^{\,2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94759d2693d91e0b38fbe24dd145dfa2e3bf9e7c)
soit, en reportant l'expression de
![{\displaystyle \;t_{\text{arrêt}}={\dfrac {v_{0}}{g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861662aa450cc066258736ab1ee27a6eae2dcbaa)
précédemment déterminée, on trouve
![{\displaystyle {\dfrac {v_{0}^{2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0a54d47ab39d7f027c921e9f3e8eb34102a7d3)
correspondant à une distance parcourue par l'objet avant son arrêt égale à
.
Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt[modifier | modifier le wikicode]
À quelle condition sur
l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?
Schéma d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I.
[1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort
Un solide, assimilé à son C.D.I.[1] noté
de masse
, est reliée à un ressort idéal[5], à spires non jointives[6], de longueur à vide
et de raideur
;
un dispositif (non représenté) ne permet le déplacement du solide que le long de l'axe horizontal
du ressort orienté selon le vecteur unitaire
de la gauche vers la droite (voir schéma ci-contre).
Lorsque le ressort présente sa longueur à vide
, le C.D.I.[1] du solide se trouve en
de l'axe et sa position à l'instant
est repérée relativement à
selon
.
La liaison du solide avec le support plan horizontal le soutenant est unilatérale et avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus de valeur commune constante
où
est la valeur commune des angles limites de frottement statique et dynamique confondus, ;
nous admettrons que la réaction du support plan horizontal sur le solide se réduit à une force unique
avec
et
porté par l'axe
,
étant le vecteur unitaire ascendant normal au support plan horizontal, la composante tangentielle
obéissant aux lois expérimentales de Coulomb[3] du frottement de glissement dans le cas d'équilibre ou dans celui de glissement effectif.
Recherche des positions initiales d'équilibre du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide[modifier | modifier le wikicode]
Sachant que la position initiale du C.D.I.[1] du solide
est repérée par son abscisse
avec absence de vitesse initiale,
montrer qu'il existe un intervalle ouvert
de valeurs
correspondant à un état d'équilibre du solide et
expliciter la valeur de
en fonction de
,
(intensité de la pesanteur),
et
.
Solution
Schéma de situation initiale d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I.
[1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide
Le C.D.I.[1]
du solide étant écarté de
de sa position
correspondant au ressort à vide et lâché sans vitesse initiale, on se place, a priori, dans une C.N.[7] d'équilibre, une autre C.N.[7] étant la nullité de la somme des forces extérieures appliquées ;
nullité de la somme des forces extérieures verticales c.-à-d. le poids du solide
et la composante normale de la réaction du plan support
d'où, en projection sur
,
;
nullité de la somme des forces extérieures horizontales c.-à-d. la force que le ressort exerce sur le solide
[8] et la composante tangentielle de réaction du plan support[9]
d'où, en projection
,
;
sur le schéma ci-contre, nous avons envisagé
d'où les sens respectifs de
et
, ce dernier étant effectivement de sens opposé à celui du vecteur vitesse
susceptible de se produire
de même sur un schéma analogue avec
, le ressort étant alors initialement comprimé le sens de
est inversé, ce qui inverse aussi le sens du vecteur vitesse
susceptible de se produire et par suite le sens de
qui doit lui être opposé
;
il reste à écrire la loi de frottement de Coulomb[3] dans le cas d'un non glissement soit
ce qui donne ici
ou encore
soit enfin
.
Il existe donc bien un intervalle ouvert
![{\displaystyle \;\left]-a_{1}\,,\,+a_{1}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40b17f6dd4ff850cd8a4a27fd500f9b81a25917)
de valeurs

, abscisse de la position initiale du C.D.I.
[1] du solide sans vitesse initiale, correspondant à un état d'équilibre du solide, la valeur absolue commune des bornes étant
.
Étude du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide quand il est initialement hors état d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]
On se place dans le cas où les C.I.[4] sont
avec
et
.
Étude de la 1re phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide[modifier | modifier le wikicode]
Après avoir vérifié que les C.I.[4] ont placé
hors plage d'équilibre, préciser dans quel sens le mouvement peut s'effectuer et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle
de la réaction (sens et norme) ;
en déduire l'équation différentielle du mouvement de
dans l'hypothèse où le mouvement s'effectue effectivement dans le sens prédit ;
résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;
à partir de quel instant
cette hypothèse n'est-elle plus valable ?
Solution
Schéma de situation instantanée d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I.
[1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort avec ajout des forces extérieures s'exerçant sur le solide à un instant t quelconque
Les C.I.[4] placent effectivement
hors plage d'équilibre,
étant
, le mouvement s'effectuera tout d'abord dans le sens des
c.-à-d. avec
;
le sens de la composante tangentielle
de la réaction du plan support[9] est alors dans le sens contraire de celui du mouvement du solide c.-à-d. le sens de
et sa norme, selon la loi de frottement de Coulomb[3] dans le cas d'un glissement, s'écrit selon
;
compte-tenu de l'absence de mouvement verticalement on a toujours
ou encore
permettant de réécrire la force de frottement solide selon
avec
expression restant valable tant que
reste
;
l'application du théorème du mouvement du C.D.I.
[1] au solide et sa projection sur

donne

ou, avec

, l'équation différentielle en

suivante

ou finalement, en ordonnant et normalisant
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en
hétérogène sans terme du 1er ordre ;
la solution générale
de l'équation ci-dessus[10] étant la somme de la solution libre
c.-à-d. la solution générale de l'équation homogène
et de la solution forcée
c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation
, nous commençons par les déterminer individuellement :
- solution forcée : l'excitation
étant constante, nous cherchons
sous forme d'une constante
d'où
ou
;
- solution libre : solution générale de l'équation
équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre
, ou encore
, la solution libre s'écrivant alors
,
et
étant, pour l'instant, des constantes arbitraires ;
on en déduit donc
et on détermine
et
en utilisant les C.I.[4]
et
soit :
et
en utilisant
soit finalement
;
on en déduit la loi horaire de position de

dans cette
1re phase de son mouvement

ou encore
.
Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où
est
, il reste donc à valider (ou non) cette hypothèse et pour cela à évaluer
:
qui est
si
est
ou, comme
est
, si
est
à partir de
soit pour
ou, en définissant la période propre de l'oscillateur non amorti
, la condition
se réécrit
;
l'instant

à partir duquel l'équation du mouvement précédent
![{\displaystyle \;x(t)=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -1\right)\,\cos(\omega _{0}\;t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f725b844ff186e75e61026efb2584b323d415f)
n'est plus valable est donc
.
Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 1re phase[modifier | modifier le wikicode]
Quelle doit-être la condition sur
pour que la position d'arrêt de fin de 1re phase soit dans la plage d'équilibre ?
Solution
La condition sur

pour que la position d'arrêt de fin de
1re phase soit dans la plage d'équilibre est

soit, avec

, la réécriture de la condition sous

soit finalement
si
le pendule élastique horizontal amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant
.
Étude de la 2ème phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide sous condition de son existence[modifier | modifier le wikicode]
La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement peut se poursuivre ; il est alors judicieux pour traiter la suite de faire un changement d'origine des temps en posant
;
préciser dans quel sens le mouvement peut se poursuivre et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle
de la réaction (sens et norme) ;
en déduire l'équation différentielle en
du mouvement de
dans l'hypothèse où le mouvement se poursuit effectivement dans le sens prédit ;
résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;
à partir de quel instant
correspondant à
cette hypothèse n'est-elle plus valable ?
Solution
Cette condition n'étant pas réalisée, on a
, le mouvement peut se poursuivre dans le sens des
c.-à-d. correspondant à
et la force de frottement
étant de sens opposé à celui du mouvement c.-à-d. opposé au sens de
est dans le sens de
, sa norme étant toujours égale à
d'où
[11].
Comme proposé dans le texte, on fait un changement d'origine des temps, posant
;
l'application du théorème du mouvement du C.D.I.
[1] au solide et sa projection sur

donne

ou, avec

, l'équation différentielle en

suivante

ou finalement, en ordonnant et normalisant
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en
hétérogène sans terme du 1er ordre ;
la solution générale
de l'équation ci-dessus[10] étant la somme de la solution libre
c.-à-d. la solution générale de l'équation homogène
et de la solution forcée
c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène cherchée de même forme que l'excitation
, nous commençons par les déterminer individuellement :
- solution forcée : l'excitation
étant constante, nous cherchons
sous forme d'une constante
d'où
ou
;
- solution libre : solution générale de l'équation
déjà déterminée dans la 1re phase d'où
avec
pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti,
et
étant, pour l'instant, des constantes arbitraires ;
on en déduit donc
et on détermine
et
en utilisant les C.I.[4]
et
[12] soit :
et
en utilisant
soit finalement
;
on en déduit la loi horaire de position de

dans cette 2
ème phase de son mouvement

ou encore
.
Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où
est
, il reste donc à valider (ou non) cette hypothèse et pour cela à évaluer
:
qui est
si
d'une part et d'autre part, comme
est alors
si
est
à partir de
soit pour
ou, avec la période propre de l'oscillateur non amorti
, la condition
se réécrit
et donc
;
l'instant

à partir duquel l'équation du mouvement précédent
![{\displaystyle \;x(t')=-a_{1}\,\left[1+\left(\beta -3\right)\,\cos(\omega _{0}\;t')\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3bab542ae39f086fcc4a644530f6333722f1bb)
n'est plus valable est donc
soit
.
Remarque : le cas
qui permettait a priori un nouveau glissement du solide s'est donc avéré fournir une amplitude nulle pour cette 2ème phase oscillatoire, c'est donc aussi, dans la théorie, un cas d'arrêt définitif après la 1re phase mais cela n'est dû que dans la mesure où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont confondus, sinon il y aurait eu mouvement
Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 2ème phase[modifier | modifier le wikicode]
Quelle doit-être la condition sur
pour que la position d'arrêt de fin de 2ème phase soit dans la plage d'équilibre ?
Solution
La condition sur

pour que la position d'arrêt de fin de 2
ème phase soit dans la plage d'équilibre est

soit, avec

, la réécriture de la condition sous

soit finalement
si
[13] le pendule élastique horizontal amorti par frottement solide s'arrête définitivement à l'instant
.
Appliquer l'étude précédente au cas
et
tracer, sur un même graphe, le diagramme horaire
pour chacune des phases effectivement décrites.
Solution
Nous sommes donc dans le cas
, il y a donc une 3ème phase dans le sens des
;
pour faciliter la résolution
à calquer sur celle de la 1re phase aux C.I.[4] près
, on fait le changement d'origine des temps suivant
;
l'équation différentielle en
est
et sa résolution conduit à
avec
pulsation propre de l'oscillateur harmonique non amorti, les C.I.[4] étant maintenant
et
[14] soit :
et
en utilisant
soit finalement
;
on en déduit la loi horaire de position de

dans cette 3
ème phase de son mouvement

ou encore
.
Cette loi horaire n'étant valable que dans le cas où
est
, il reste donc à valider (ou non) cette hypothèse et pour cela à évaluer
:
qui est
si
est
ou, comme
est
, si
est
à partir de
soit pour
ou, avec la période propre de l'oscillateur non amorti
, la condition
se réécrit
;
l'instant

à partir duquel l'équation du mouvement précédent
![{\displaystyle \;x(t'')=a_{1}\,\left[1+\left(\beta -5\right)\,\cos(\omega _{0}\;t'')\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7749c6f39d6ced28a6f774b1e3c6be648885d2)
n'est plus valable est donc
soit
.
L'abscisse du C.D.I.[1]
de l'objet ayant, à l'instant
, pour valeur
soit, avec
la valeur numérique
, nous en concluons que l'objet a atteint une position d'équilibre à l'instant
de la fin de la 3ème phase et qu'il restera indéfiniment en
sans perturbations extérieures.
Tracé du diagramme horaire de position pour β = 5,5 : voir ci-dessous à gauche.
- La 1re phase a pour loi horaire de position
correspondant à une demi-oscillation autour de
d'amplitude de
,
- la 2ème phase a pour loi horaire de position
correspondant à une demi-oscillation autour de
d'amplitude de
et
- la 3ème et dernière phase a pour loi horaire de position
correspondant à une demi-oscillation autour de
d'amplitude de
.
Remarque : Si
est nettement plus grand de façon à ce qu'on puisse observer beaucoup plus de demi-oscillations successives, on observerait un amortissement qui, pratiquement, pourrait être qualifié de « linéaire » voir ci-dessous à droite avec le cas
.
Diagramme horaire de position d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I.
[1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort, M étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de 5,5 a
1 et lâché sans vitesse initiale, a
1 étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre
Diagramme horaire de position d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité reliée à un solide assimilé à son C.D.I.
[1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort, M étant initialement écarté de sa position à ressort à vide de 19,5 a
1 et lâché sans vitesse initiale, a
1 étant l'écart maximal compatible avec l'équilibre
Condition de propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal comprimé (principe de la catapulte verticale)[modifier | modifier le wikicode]
Principe de la propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme
Un objet assimilable à un point matériel
, de masse
, est posé sur un plateau horizontal assimilable à son C.D.I.[1]
, de masse
, soutenu par des ressorts verticaux équivalents à un ressort unique idéal de raideur
et de longueur à vide
;
l'ensemble « ressort, plateau et objet posé » est guidé verticalement, dans un champ de pesanteur
uniforme, par un système non représenté sur le schéma ci-contre ;
la liaison entre l'objet posé et le plateau est unilatérale avec ou sans frottement solide, l'existence d'un éventuel frottement solide ne jouant aucun rôle dans la mesure où toutes les forces actives qui interviennent dans le problème étant verticales[15], les réactions tangentielles que le plateau exerce sur l'objet ou que l'objet exerce sur le plateau sont nulles.
On appuie sur le plateau qui se déplace verticalement d'une longueur
comptée à partir de sa position d'équilibre initiale, et on le lâche sans vitesse initiale.
À partir de quelle valeur de
l'objet assimilé au point matériel
quittera-t-il le plateau au cours du mouvement ?
Solution
Schémas à l'équilibre et à l'instant t relatifs à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces extérieures appliquées à l'ensemble « objet - plateau » à l'instant t si le contact entre les deux est effectif
Toutes les études sont faites dans le référentiel lié au sol, référentiel supposé galiléen.
Tant que la réaction
de
sur
existe[16] et est non nulle, le point
reste solidaire du plateau de C.D.I.[1]
[17], c'est dans cette hypothèse que nous nous plaçons dans la suite ;
pour déterminer
on appliquera la r.f.d.n.[18] à
[19] ce qui permettra d'exprimer
en fonction, entre autres, de
accélération éventuelle de
, laquelle est égale à celle de
ou de l'ensemble
tant que
n'a pas quitté le plateau ;
pour déterminer le mouvement éventuel de
ou de
ou de l'ensemble
dans l'hypothèse où
n'a pas quitté le plateau, on appliquera le théorème du mouvement du C.D.I.[1] à l'ensemble
[20], ce qui permettra d'exprimer l'accélération éventuelle commune en fonction des données.
Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : soit
la compression du ressort à l'équilibre de l'ensemble
[21], l'étude de l'équilibre de ce dernier nous fournit
[22] ;
Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : cette position servant d'origine pour le repérage du C.D.I.[1] de l'ensemble « objet - plateau »[23], la force
que le ressort exerce sur
à l'instant
est dirigée vers le haut tant que le ressort est comprimé et la compression totale à cet instant s'écrivant
avec
abscisse de
, on en déduit
;
Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : la seule autre force extérieure s'exerçant sur l'ensemble « objet - plateau » étant le poids de ce dernier

, l'application du théorème du mouvement du C.D.I.
[1] à

donne, en projetant sur

, l'équation différentielle en

suivante
![{\displaystyle \;-k\,\left[C_{\text{éq}}+x(t)\right]+\left(M+m\right)\,g=\left(M+m\right)\,{\ddot {x}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31945f04cd6a172a67d6fc40f5f5fdcf9216198)
, soit, après simplification utilisant la condition d'équilibre

et normalisation
c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en
sans terme du 1er ordre
ou encore une équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre
;
Étude du mouvement éventuel de l'ensemble « objet - plateau » : on en déduit la forme de la solution

avec

et

constantes d'intégration se déterminant par utilisation des
C.I.[4] 
et

, la
1re conduisant à

et la 2
nde à
[24] soit

d'où finalement
et par suite l'accélération de
et aussi celle de
:
.
Schéma à l'instant t relatif à la propulsion verticale d'un objet posé sur un plateau lié à un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme, avec représentation des forces appliquées à l'objet à l'instant t dans l'hypothèse où le contact entre l'objet et le plateau est effectif
Détermination de la réaction que le plateau exerce sur l'objet :

étant soumis à deux forces, son poids

et la réaction du plateau

de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet dans le plateau susceptible de se produire à savoir de sens contraire à

d'où

avec

pour un contact effectif (voir schéma ci-contre), la r.f.d.n.
[18] appliquée à

et projetée sur

donne

ou, en reportant l'expression précédemment trouvée

on en déduit l'expression de la composante normale de la réaction
.
Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : Cette condition s'écrit

avec

fonction continue

de
![{\displaystyle \;t\in \left[0\,,\,{\dfrac {T_{0}}{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd93363d0e3863fec185567e697a427e32ddfe0)
dans lequel

est la période propre de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble lié

fixé au ressort ; on utilise alors la C.N.
[7] de positivité d'une fonction continue d'une variable sur un intervalle qui est que son minimum sur cet intervalle soit positif soit ici
réalisé si
,
Détermination de la condition de maintien de contact entre l'objet et la plateau : soit la condition de maintien du contact entre l'objet et le plateau
[25].
Conclusion : Le point

décollera donc du plateau pour une compression initiale supplémentaire relativement à la compression à l'équilibre de
Conclusion : c.-à.d. qu'il n'y aura plus contact entre
et le plateau à l'instant où le ressort cessera d'être comprimé dans le mouvement de l'oscillateur harmonique non amorti constitué de l'ensemble supposé lié
fixé au ressort[26].
Condition de maintien de contact d'un objet lors de son passage, à vitesse constante, sur une bosse[modifier | modifier le wikicode]
Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle
Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse instantanée
uniforme, sur une piste au profil accidenté, l'assimilation de l'automobile à un point matériel ayant pour conséquence que son mouvement peut être considéré comme un glissement ;
la liaison entre l'automobile et la piste est unilatérale avec frottement solide mais la composante tangentielle de la réaction de la piste sur l'automobile ne jouera aucun rôle car la force motrice (tangentielle) s'exerçant sur cette dernière est adaptée pour compenser toutes les autres composantes tangentielles de façon que l'accélération tangentielle soit nulle et donc la vitesse instantanée constante.
À un instant considéré comme instant origine, la voiture franchit, dans le champ de pesanteur terrestre
uniforme, une bosse modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon
et d'ouverture angulaire
(voir schéma ci-contre).
À quelle condition de vitesse l'automobile garde-t-elle le contact avec le sol ?
Données :
,
et l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à
, déterminer numériquement la vitesse instantanée minimale pour que l'automobile décolle de la piste et préciser à quel endroit le décollage se produit.
Solution
Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle avec représentation des forces extérieures appliquées et base locale de Frenet
[27]
Le référentiel terrestre dans lequel on étudie le mouvement de la voiture assimilée à un point matériel
lors du passage sur la bosse est supposé galiléen et on y utilisera la base locale de Frenet[27] liée à
à savoir
(voir figure ci-contre) ;
le bilan des forces appliquées à
simulant la voiture est :
- son poids
,
- la force motrice
[28] et
- la réaction de la piste
, la composante normale étant de sens contraire à celui de la pénétration de la voiture dans la piste susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à
ce qui a pour conséquence
tant que le,contact est maintenu et la composante tangentielle
ou force de frottement solide
de sens contraire au mouvement c.-à-d. de sens contraire à
ce qui a pour conséquence
avec la loi de frottement de Coulomb[3] avec glissement
dans laquelle
est le cœfficient commun de frottement solide statique et dynamique ;
la condition de maintien de contact du véhicule sur la piste lors du passage de la bosse étant
![{\displaystyle \;R_{n}(\theta )>0\;\;\forall \;\theta \in \left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d49effcc8730e2bbb951b8541242dcf52901e854)
, il convient de déterminer

en appliquant la r.f.d.n.
[18] au point

simulant la voiture et en la projetant sur le vecteur unitaire normal principal de Frenet
[27] soit

dont on tire la composante normale scalaire de la réaction
;
cette dernière étant une fonction paire de

, elle sera
![{\displaystyle \;>0\;\;\forall \;\theta \in \left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f446f607217b041c9b6d8b6ef11ff6fbcef7d0f)
si
![{\displaystyle \;R_{n}(\theta )>0\;\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,+\alpha \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0084dd279bb2a062617db0466f2a572895ffbcc4)
ce qui sera réalisé si
[29] soit encore
![{\displaystyle \;m\left[g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]>0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2599fac3a626a1530a6341a007a373453441e86f)
et finalement
le contact du véhicule sur la piste est maintenu si la vitesse instantanée de l'automobile est telle que
.
Numériquement on obtient
soit
[30].
Remarque : Les trois composantes tangentielles à savoir la force motrice, la composante tangentielle du poids et la force de frottement solide se compensent car la vitesse instantanée étant constante, l'accélération tangentielle est nulle, soit

ou

soit finalement
.
Pour que le véhicule décolle de la piste il suffit qu'il existe une valeur de

pour laquelle
![{\displaystyle \;R_{n}(\theta )=m\left[g\;\cos(\theta )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829ff966b6b4f99d60a7a027ee1d657d5b38d213)
soit

sur l'intervalle
![{\displaystyle \;\left[-\alpha \,,\,+\alpha \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69552f3c82b351b595583912189007c00cff1551)
c.-à-d.,

étant une fonction

sur
![{\displaystyle \;\left[-\alpha \,,\,0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23908017cbe0e4f6a7bd2a3f6c8415234913234)
puis

sur
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,+\alpha \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4173f89edf93d8bec7988782e62e39613fc69196)
, il suffit que
![{\displaystyle \;R_{n}(-\alpha )=m\left[g\;\cos(\alpha )-{\dfrac {v^{2}}{l}}\right]\lesssim 0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce4516862392a91ad815c9034d4de13e246e4cb)
soit finalement
le véhicule décollera de la piste pour
si
.
Corde idéale enroulée sur une tige avec présence de frottement solide entre la corde et la tige[modifier | modifier le wikicode]
Schéma descriptif d'une corde idéale
[31] enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige
Une corde idéale[31] passe autour d'une tige cylindrique de rayon
, horizontale, immobile, en faisant exactement un demi-tour sur la tige comme on peut le voir sur le schéma ci-contre
Npus nous proposons de calculer la valeur minimale
de la norme de la force
verticale descendante qu’il faut exercer à l’extrémité
de la corde pour empêcher la charge
, de masse
, accrochée à l’autre extrémité
de la corde, de tomber, le champ de pesanteur terrestre
étant uniforme d'intensité
;
nous supposons que le coefficient de frottement de glissement de la corde sur la tige est égal à
et
nous supposons que la corde est tendue c.-à-d. qu'elle est rectiligne quand elle ne repose pas sur la tige et circulaire de rayon
quand elle y est en contact.
En appliquant le théorème du mouvement du C.D.I.[1] à un élément de corde en contact avec la tige, puis en intégrant l’équation obtenue, évaluer «
» et
faire l’application numérique pour
.
Supposant maintenant que la corde est enroulée de
tours sur la tige en plus du demi-tour, établir comment «
» varie avec
et
reprendre l’application numérique avec
pour
puis
.
Solution
Bilan de forces appliquées à un élément de idéale
[31] enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige
Considérons l’élément
de longueur
, de la corde au contact de la tige, «
étant repéré par l’angle polaire
» et «
par
», les forces extérieures exercées sur cet élément
dans la mesure où le poids de l'élément est nul, sa masse l'étant de par l'une des propriétés d'une corde idéale[31]
sont
- les tensions
et
exercées par le restant de la corde située respectivement avant l'extrémité
et après l'extrémité
de l'élément de corde
, avec «
» et «
» dans lesquelles
est la norme de la tension de la corde au C.D.I.[1]
de l'élément
,
étant le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de pôle
et d'axe polaire
des points de la section droite de la tige contenant la corde
étant le vecteur unitaire radial du même repérage
et
- la réaction
de la tige sur l'élément de corde
,
se décomposant en « une composante normale
avec
» et « une composante tangentielle
avec
si la corde tend à glisser dans le sens
cas de la figure
si la corde tend à glisser dans le sens
» ;
appliquant le théorème du mouvement du C.D.I.[1] à l'élément de corde
, nous obtenons «
» car
soit, en projetant sur chaque vecteur de base polaire lié à
,
- sur
: «
» soit, en utilisant l'approximation linéaire d'une fonction
vectorielle
d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs[32] «
» avec
[33] d'où «
» et «
», la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I.[1] sur
«
» ou, en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction en facteur de
«
»[34] et
- sur
: «
» soit sachant que
, la réécriture de la projection du théorème du mouvement du C.D.I.[1] sur
«
» ou, en utilisant de nouveau l'approximation linéaire à la fonction
«
»[34] ;

dans le cas d'un glissement effectif dans le sens

, «

étant

» nous en déduisons «

» correspondant à une tension de corde

de

à

, la loi empirique de frottement de Coulomb
[3] dans le cas d'un glissement «

» s'écrivant ici «

» ou «

» soit
«
» dans le cas d'un glissement effectif dans le sens - s'intègre en «

»
[35] avec

constante d'intégration à déterminer à l'aide de la C.A.L.
[36] «

» où «

est la tension de la corde exercée sur la charge

s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I.
[1] à cette dernière soit, projeté sur un axe vertical descendant
![{\displaystyle \;T_{B}=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30152ff370bc8a8f6d3c0030d2f9fe80f586e9cb)
» d'où la C.A.L.
[36] «

» donne «
![{\displaystyle A=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db4cb58f229e846cf90b000d88175533cb883a6)
»

«
![{\displaystyle \;T(\theta )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\theta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2572a11f99559ba1de4b76f586ff337a2dc3b05)
»

avec

restant à déterminer
dans le cas d'un glissement effectif dans le sens - dont nous déduisons «
![{\displaystyle T(\theta =\pi )=m\,\left[g-a_{B,\,z}\right]\,\exp \!\left(-f\;\pi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3838c73bba5fe1f69e58884faa427d14142bbdb7)
» avec «

» où «

est la tension de la corde exercée sur l'extrémité

s'obtenant par application de la r.f.d.n.
[18] à cette dernière soit, projeté sur un axe vertical ascendant

» et par suite
«
» avec
accélération verticale descendante de
égale à «
» ;

dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens

, «

est

»

«

est

» correspondant à une tension de corde

de

à

, la loi empirique de frottement de Coulomb
[3] dans le cas d'un non glissement «

» s'écrivant ici «

»

«

», le « 2
ème membre étant

c.-à-d. le taux de

de la tension lors d'un glissement de la corde dans le sens

» soit finalement «

»

avec une égalité limite quand le glissement se fait avec une accélération de charge nulle

;
dans le cas d'un équilibre avec tendance au glissement dans le sens - ayant pour expression de tension de corde glissant dans le sens

avec une accélération de charge

nulle «

» et la tension de la corde

moins rapidement en absence de glissement qu'avec glissement, nous en déduisons «

» d'où
«

» ou, sachant que la C.A.L.
[36] en

conduit à

d'une part et que l'équilibre du point

donne

nous en déduisons «

», soit la valeur minimale de
«
».
A.N.[37] : avec

, la force minimale à exercer à l'extrémité

de la corde pour maintenir la charge

en équilibre avec un demi-tour d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme
«
».
Si la corde est maintenant enroulée de

tours sur la tige avec

avant que l'opérateur n'exerce une force pour maintenir la charge en équilibre, la norme minimale de la force

à exercer s'établissant exactement de la même manière qu'avec un demi-tour est déterminée par
«
».
A.N.[37] : avec

, la force minimale à exercer à l'extrémité

de la corde pour maintenir la charge

en équilibre avec un tour et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme
«
» ;
A.N. : avec

, la force minimale à exercer à l'extrémité

de la corde pour maintenir la charge

en équilibre avec deux tours et demi d'enroulement de corde frottant sur la tige est de norme
«
».
Remarque : Ce qui suit dans cette remarque n'était pas demandé, nous nous proposons de calculer la valeur maximale
de la norme de la force
verticale descendante qu’il faut exercer à l’extrémité
de la corde pour empêcher la charge
, de masse
, accrochée à l’autre extrémité
de la corde, de monter, toutes les autres conditions de l'expérience étant inchangées ;
Remarque : dans le cas d'un glissement effectif dans le sens

, «

est

» nous en déduisons «

» correspondant