Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Glissement sur un plan incliné en présence de frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     Un objet de masse est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, avec un vecteur vitesse initiale incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté avec l'horizontale ;

     le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée .

Durée écoulée avant l'arrêt et distance parcourue correspondante[modifier | modifier le wikicode]

     À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter au bout d'une certaine durée ;

     déterminer cette durée ainsi que

     Déterminer la distance parcourue pendant cette dernière.

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt[modifier | modifier le wikicode]

     À quelle condition sur l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Pendule élastique horizontal et frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule élastique horizontal constitué d'un ressort idéal à spires non jointives dont une extrémité est fixe et l'autre extrémité est reliée à un solide assimilé à son C.D.I.[1] noté M pouvant glisser avec frottement solide, le long d'un axe parallèle à l'axe du ressort

     Un solide, assimilé à son C.D.I.[1] noté de masse , est reliée à un ressort idéal[5], à spires non jointives[6], de longueur à vide et de raideur  ;

     un dispositif (non représenté) ne permet le déplacement du solide que le long de l'axe horizontal du ressort orienté selon le vecteur unitaire de la gauche vers la droite (voir schéma ci-contre).

     Lorsque le ressort présente sa longueur à vide , le C.D.I.[1] du solide se trouve en de l'axe et sa position à l'instant est repérée relativement à selon .

     La liaison du solide avec le support plan horizontal le soutenant est unilatérale et avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus de valeur commune constante est la valeur commune des angles limites de frottement statique et dynamique confondus, ;

     nous admettrons que la réaction du support plan horizontal sur le solide se réduit à une force unique avec et porté par l'axe , étant le vecteur unitaire ascendant normal au support plan horizontal, la composante tangentielle obéissant aux lois expérimentales de Coulomb[3] du frottement de glissement dans le cas d'équilibre ou dans celui de glissement effectif.

Recherche des positions initiales d'équilibre du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que la position initiale du C.D.I.[1] du solide est repérée par son abscisse avec absence de vitesse initiale,

          montrer qu'il existe un intervalle ouvert de valeurs correspondant à un état d'équilibre du solide et

          expliciter la valeur de en fonction de , (intensité de la pesanteur), et .

Étude du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide quand il est initialement hors état d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     On se place dans le cas où les C.I.[4] sont avec et .

Étude de la 1re phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir vérifié que les C.I.[4] ont placé hors plage d'équilibre, préciser dans quel sens le mouvement peut s'effectuer et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle de la réaction (sens et norme) ;

     en déduire l'équation différentielle du mouvement de dans l'hypothèse où le mouvement s'effectue effectivement dans le sens prédit ;

     résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

     à partir de quel instant cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 1re phase[modifier | modifier le wikicode]

     Quelle doit-être la condition sur pour que la position d'arrêt de fin de 1re phase soit dans la plage d'équilibre ?

Étude de la 2ème phase du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide sous condition de son existence[modifier | modifier le wikicode]

     La condition précédente n'étant pas réalisée le mouvement peut se poursuivre ; il est alors judicieux pour traiter la suite de faire un changement d'origine des temps en posant  ;

     préciser dans quel sens le mouvement peut se poursuivre et la conséquence que cela a sur la composante tangentielle de la réaction (sens et norme) ;

     en déduire l'équation différentielle en du mouvement de dans l'hypothèse où le mouvement se poursuit effectivement dans le sens prédit ;

     résoudre et valider l'hypothèse du sens du mouvement ;

     à partir de quel instant correspondant à cette hypothèse n'est-elle plus valable ?

Condition d'arrêt définitif du mouvement du pendule élastique horizontal amorti par frottement solide après cette 2ème phase[modifier | modifier le wikicode]

     Quelle doit-être la condition sur pour que la position d'arrêt de fin de 2ème phase soit dans la plage d'équilibre ?

Application au cas β = 5,5[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquer l'étude précédente au cas et

     tracer, sur un même graphe, le diagramme horaire pour chacune des phases effectivement décrites.

Condition de propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal comprimé (principe de la catapulte verticale)[modifier | modifier le wikicode]

Principe de la propulsion verticale d'un objet posé sur un ressort idéal initialement comprimé dans un champ de pesanteur uniforme

     Un objet assimilable à un point matériel , de masse , est posé sur un plateau horizontal assimilable à son C.D.I.[1] , de masse , soutenu par des ressorts verticaux équivalents à un ressort unique idéal de raideur et de longueur à vide  ;

     l'ensemble « ressort, plateau et objet posé » est guidé verticalement, dans un champ de pesanteur uniforme, par un système non représenté sur le schéma ci-contre ;

     la liaison entre l'objet posé et le plateau est unilatérale avec ou sans frottement solide, l'existence d'un éventuel frottement solide ne jouant aucun rôle dans la mesure où toutes les forces actives qui interviennent dans le problème étant verticales[15], les réactions tangentielles que le plateau exerce sur l'objet ou que l'objet exerce sur le plateau sont nulles.

     On appuie sur le plateau qui se déplace verticalement d'une longueur comptée à partir de sa position d'équilibre initiale, et on le lâche sans vitesse initiale.

     À partir de quelle valeur de l'objet assimilé au point matériel quittera-t-il le plateau au cours du mouvement ?

Condition de maintien de contact d'un objet lors de son passage, à vitesse constante, sur une bosse[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un objet franchissant, à vitesse constante, une bosse assimilée à un arc de cercle

     Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse instantanée uniforme, sur une piste au profil accidenté, l'assimilation de l'automobile à un point matériel ayant pour conséquence que son mouvement peut être considéré comme un glissement ;

     la liaison entre l'automobile et la piste est unilatérale avec frottement solide mais la composante tangentielle de la réaction de la piste sur l'automobile ne jouera aucun rôle car la force motrice (tangentielle) s'exerçant sur cette dernière est adaptée pour compenser toutes les autres composantes tangentielles de façon que l'accélération tangentielle soit nulle et donc la vitesse instantanée constante.

     À un instant considéré comme instant origine, la voiture franchit, dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, une bosse modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon et d'ouverture angulaire (voir schéma ci-contre).

     À quelle condition de vitesse l'automobile garde-t-elle le contact avec le sol ?

     Données : , et l'intensité de la pesanteur terrestre est prise égale à , déterminer numériquement la vitesse instantanée minimale pour que l'automobile décolle de la piste et préciser à quel endroit le décollage se produit.

Corde idéale enroulée sur une tige avec présence de frottement solide entre la corde et la tige[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'une corde idéale[31] enroulée sur une tige horizontale avec frottement solide entre la corde et la tige

     Une corde idéale[31] passe autour d'une tige cylindrique de rayon , horizontale, immobile, en faisant exactement un demi-tour sur la tige comme on peut le voir sur le schéma ci-contre

     Npus nous proposons de calculer la valeur minimale de la norme de la force verticale descendante qu’il faut exercer à l’extrémité de la corde pour empêcher la charge , de masse , accrochée à l’autre extrémité de la corde, de tomber, le champ de pesanteur terrestre étant uniforme d'intensité  ;

     nous supposons que le coefficient de frottement de glissement de la corde sur la tige est égal à et

     nous supposons que la corde est tendue c.-à-d. qu'elle est rectiligne quand elle ne repose pas sur la tige et circulaire de rayon quand elle y est en contact.

     En appliquant le théorème du mouvement du C.D.I.[1] à un élément de corde en contact avec la tige, puis en intégrant l’équation obtenue, évaluer «» et

     faire l’application numérique pour .

     Supposant maintenant que la corde est enroulée de tours sur la tige en plus du demi-tour, établir comment «» varie avec et

     reprendre l’application numérique avec pour puis .