Racine carrée/Devoir/Nombre d'or
Quelques calculs avec le nombre
[modifier | modifier le wikicode]1° Donner avec la calculatrice une valeur approchée de à près.
2° Donner avec la calculatrice une valeur approchée de à près.
- Conjecturer une relation entre et son carré.
3° Démontrer la relation : .
4° a) En utilisant la relation du 3°, démontrer que .
- b) En déduire que .
- c) En déduire de même une relation entre et .
1° .
2° .
3° .
4° a) En remplaçant deux fois par , on obtient bien .
- b) De même, .
- c) De même, .
Remarque : de même, si alors . On en déduit que , où est la suite de Fibonacci.
Rectangles d'or
[modifier | modifier le wikicode]On appelle rectangle d'or un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur vaut .
Soit un rectangle d'or ABCD de largeur .
1° Exprimer AD en fonction de et .
2° On enlève à l'intérieur du rectangle ABCD le carré ABEF.
- a) Démontrer que .
- b) En utilisant la relation établie dans la première partie, démontrer que .
- c) Que peut-on en déduire pour le rectangle ECDF ?
1° .
2° a) .
- b) .
- c) donc le rectangle ECDF est d'or.
Construction d'un rectangle d'or
[modifier | modifier le wikicode]Cette construction serait due à Euclide (environ 300 av. J.-C.).
Soient un carré ABCD et I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I passant par C coupe la demi-droite [AB) en P.
Démontrer que APQD et BPQC sont des rectangles d'or.
Soit la longueur d'un côté du carré. D'après le théorème de Pythagore, donc , ce qui prouve que le rectangle APQD est d'or. D'après la partie Ⅱ, BPQC est donc aussi un rectangle d'or.