Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Développements limités

Exercice 8-1

Calculer le développement limité de $\arctan x$ en $1$ à l'ordre $2$.

Solution

On pose $x=1+t$ et l'on cherche le d.l. de $f(t)=\arctan(1+t)$ en $0$ à l'ordre $2$.

On pourrait utiliser la formule de Taylor-Young, mais il est plus rapide d'intégrer terme à terme le d.l. à l'ordre $1$ de $f'$ :

$f'(t)={\frac {1}{1+(1+t)^{2}}}={\frac {1}{2+2t+o(t)}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{1+t+o(t)}}={\frac {1}{2}}(1-t+o(t))$ et $f(0)={\frac {\pi }{4}}$ donc

$f(t)={\frac {\pi }{4}}+{\frac {t}{2}}-{\frac {t^{2}}{4}}+o(t^{2})$ donc

$\arctan x={\frac {\pi }{4}}+{\frac {x-1}{2}}-{\frac {(x-1)^{2}}{4}}+o((x-1)^{2})$.

 

Exercice 8-2

Calculer le développement limité de $\operatorname {arsinh} \left(1+2x+3x^{2}\right)$ en 0 à l'ordre 3.

Solution

Commençons par calculer le dl en 0 à l'ordre 3 de $\operatorname {arsinh} (1+u)$ et pour cela, celui à l'ordre 2 de sa dérivée (cf. Trigonométrie hyperbolique/Fonctions hyperboliques réciproques) :

$\operatorname {arsinh} '(1+u)={\frac {1}{\sqrt {1+(1+u)^{2}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt {1+u+u^{2}/2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1-{\frac {1}{2}}\left(u+u^{2}/2\right)+{\frac {3}{8}}u^{2}\right)+o\left(u^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1-{\frac {u}{2}}+{\frac {u^{2}}{8}}\right)+o\left(u^{2}\right)$.

$\operatorname {arsinh} (1+u)=\operatorname {arsinh} (1)+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(u-{\frac {u^{2}}{4}}+{\frac {u^{3}}{24}}\right)+o\left(u^{3}\right)$.

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \left(1+2x+3x^{2}\right)&=\operatorname {arsinh} (1)+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(2x+3x^{2}-{\frac {4x^{2}+12x^{3}}{4}}+{\frac {8x^{3}}{24}}\right)+o\left(x^{3}\right)\\&=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(2x+2x^{2}-{\frac {8x^{3}}{3}}\right)+o\left(x^{3}\right)\\&=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)+{\sqrt {2}}x+{\sqrt {2}}x^{2}-{\frac {4{\sqrt {2}}x^{3}}{3}}+o\left(x^{3}\right).\end{aligned}}$

 

Exercice 8-3

Calculer le développement limité de $\left(\sin ^{2}x-\sin(x^{2})\right)\left(\operatorname {e} ^{\tan x}-\operatorname {e} ^{\tanh x}\right)$ en 0 à l'ordre 9.

Solution

Le premier facteur est équivalent à $-x^{4}/3$ et le second à $2x^{3}/3$ donc il suffit de calculer le dl du premier facteur à l'ordre $9-3=6$ et du second à l'ordre $9-4=5$.

$\sin ^{2}x-\sin(x^{2})=\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}\right)^{2}-\left(x^{2}-{\frac {x^{6}}{6}}\right)+o\left(x^{6}\right)=-{\frac {x^{4}}{3}}+{\frac {19x^{6}}{90}}+o\left(x^{6}\right)$.

${\begin{aligned}\operatorname {e} ^{\tan x}-\operatorname {e} ^{\tanh x}&={\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}\right)^{2}-\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}\right)^{2}}{2}}+{\frac {\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}\right)^{3}-\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}\right)^{3}}{6}}+o\left(x^{5}\right)\\&={\frac {2x^{3}+2x^{4}+x^{5}}{3}}+o\left(x^{5}\right).\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\left(\sin ^{2}x-\sin(x^{2})\right)(\operatorname {e} ^{\tan x}-\operatorname {e} ^{\tanh x})&={\frac {x^{7}}{9}}\left(-1+{\frac {19x^{2}}{30}}\right)\left(2+2x+x^{2}\right)+o\left(x^{9}\right)\\&={\frac {x^{7}}{9}}\left(-2-2x+{\frac {4x^{2}}{15}}\right)+o\left(x^{9}\right)\\&=-{\frac {2x^{7}}{9}}-{\frac {2x^{8}}{9}}+{\frac {4x^{9}}{135}}+o\left(x^{9}\right).\end{aligned}}$

 

Exercice 8-4

Calculer le développement limité de ${\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{(\arcsin x)^{2}}}$ en 0 à l'ordre 5.

Solution

Puisque ${\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{(\arcsin x)^{2}}}={\frac {1-\left({\frac {\arcsin x}{x}}\right)^{-2}}{x^{2}}}$, on cherche un dl de ${\frac {\arcsin x}{x}}$ à l'ordre 7 donc de $\arcsin x$ à l'ordre 8 donc de sa dérivée à l'ordre 7.

$\arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {5x^{6}}{16}}+o\left(x^{7}\right)$.

$\arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+{\frac {5x^{7}}{112}}+o\left(x^{8}\right)$.

${\begin{aligned}{\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {1}{(\arcsin x)^{2}}}&={\frac {1-\left(1+{\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {3x^{4}}{40}}+{\frac {5x^{6}}{112}}+o\left(x^{7}\right)\right)^{-2}}{x^{2}}}\\&={\frac {2\left({\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {3x^{4}}{40}}+{\frac {5x^{6}}{112}}\right)-3\left({\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {3x^{4}}{40}}\right)^{2}+4\left({\frac {x^{2}}{6}}\right)^{3}}{x^{2}}}+o\left(x^{5}\right)\\&={\frac {1}{3}}+{\frac {x^{2}}{15}}+{\frac {31x^{4}}{945}}+o\left(x^{5}\right).\end{aligned}}$

 

Exercice 8-5

Soit $x>0$. Démontrer que $\ln(1+x)>x-{\frac {x^{2}}{2}}$.

Solution

D'après la formule de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction $f:t\mapsto \ln(1+t)$ en $0$, il existe $c\in \left]0,x\right[$ tel que

$f(x)=f(0)+xf'(0)+{\frac {x^{2}}{2}}f''(c)$,

c'est-à-dire

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2(1+c)^{2}}}$.

Puisque $c>0$,

$x-{\frac {x^{2}}{2(1+c)^{2}}}>x-{\frac {x^{2}}{2}}$.

 

Exercice 8-6

Redémontrer le théorème de Taylor-Young par application itérée de la première règle de l'Hôpital.

Solution

Supposons que $f$ admet une dérivée $n$-ième au point $a$ et notons $P$ son polynôme de Taylor à l'ordre $n$ en ce point :

$P\left(x\right)=f\left(a\right)+{\frac {f'\left(a\right)}{1!}}\left(x-a\right)^{1}+{\frac {f''\left(a\right)}{2!}}\left(x-a\right)^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}\left(a\right)}{n!}}\left(x-a\right)^{n}$.

Notons également $F=f-P$ et $G(x)={\frac {\left(x-a\right)^{n}}{n!}}$.

Par définition de $f^{(n)}\left(a\right)$,

$\lim _{a}{\frac {F^{(n-1)}}{G^{(n-1)}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}\left(x\right)-f^{(n-1)}\left(a\right)-\left(x-a\right)f^{(n)}\left(a\right)}{x-a}}=0$.

En appliquant la règle de l'Hôpital de façon répétée, on en déduit

$\lim _{a}{\frac {F^{(n-2)}}{G^{(n-2)}}}=0$, puis $\lim _{a}{\frac {F^{(n-3)}}{G^{(n-3)}}}=0$, etc. jusqu'à $\lim _{a}{\frac {F}{G}}=0$,

donc

$\lim _{x\to a}{\frac {f\left(x\right)-P\left(x\right)}{\left(x-a\right)^{n}}}=0$.

 

Exercice 8-7

Donner les d.l. à l'ordre 3 :

• en 0 de $\cos \times \sin$ ;
• en 0 de $\sin ^{\circ k}:=\sin \circ \sin \circ \dots \circ \sin$, $k$ fois (la k-ième itérée de $\sin$, à ne pas confondre avec la k-ième puissance, $\sin ^{k}x:=(\sin x)^{k}=o(x^{3})$, pour tout $k>3$) ;
• en 1 de $\operatorname {e} ^{\sqrt {x}}$.

Solution

• $\cos x\sin x=\left(1-{\frac {x^{2}}{2}}+o(x^{2})\right)\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}+o(x^{3})\right)$, ou encore : $\cos x\sin x={\frac {\sin 2x}{2}}={\frac {2x-{\frac {(2x)^{3}}{6}}+o(x^{3})}{2}}$.
  Ces deux méthodes donnent : $\cos x\sin x=x-{\frac {2x^{3}}{3}}+o(x^{3})$.
• $\forall k\in \mathbb {N} ^{*}\quad \sin ^{\circ k}(x)=x-{\frac {k}{6}}x^{3}+o(x^{3})$, par récurrence (on peut même démarrer la récurrence à $k=0$, avec la convention $\sin ^{\circ 0}=\mathrm {id} _{\mathbb {R} }$).
• $\operatorname {e} ^{\sqrt {1+h}}=\operatorname {e} ^{1+u}=\mathrm {e} \times \left(1+u+{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{6}}+o(u^{3})\right)$ avec
  $u={\sqrt {1+h}}-1={\frac {h}{2}}-{\frac {h^{2}}{8}}+{\frac {h^{3}}{16}}+o(h^{3})$ donc
  $\operatorname {e} ^{\sqrt {1+h}}=\mathrm {e} \times \left(1+\left({\frac {h}{2}}-{\frac {h^{2}}{8}}+{\frac {h^{3}}{16}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {h}{2}}-{\frac {h^{2}}{8}}\right)^{2}+{\frac {1}{6}}\left({\frac {h}{2}}\right)^{3}\right)+o(h^{3})=\mathrm {e} \times \left(1+{\frac {h}{2}}+{\frac {h^{3}}{48}}\right)+o(h^{3})$ et
  
  $\operatorname {e} ^{\sqrt {x}}=\mathrm {e} +{\frac {\mathrm {e} }{2}}(x-1)+{\frac {\mathrm {e} }{48}}(x-1)^{3}+o((x-1)^{3})$.

 

Lien externe

Calculateur en ligne de développements limités sur fr.numberempire.com