Fonctions convexes/Fonctions convexes dérivables
Une fonction dérivable sur un intervalle réel est convexe sur si et seulement si sa dérivée est croissante sur .
Soient tels que .
- Supposons convexe.
- Soit . D’après l’inégalité des pentes (propriété 2), on a :
- En faisant tendre vers , on obtient :
- En faisant tendre vers , on obtient :
- Par transitivité de la relation d’ordre, on en déduit :
- ,
- ce qui montre que est croissante.
- Supposons croissante.
- Soit .
- D’après le théorème des accroissements finis, il existe et tels que
- et .
- Or (par croissance de ) , ce qui se traduit par :
- .
- La troisième inégalité des pentes est donc démontrée, ce qui prouve que est convexe.
D'après ce critère :
- la fonction exponentielle, , est convexe car sa dérivée, , est croissante ;
- la fonction logarithme, , est concave car sa dérivée, , est décroissante sur .
Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle réel est convexe sur si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur .
C’est une conséquence immédiate du théorème et du fait (appliqué à ) que sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive.
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :
- est convexe sur ;
- pour tous tels que , ;
- pour tous tels que , ;
- pour tous , .
Pour tout , l’application :
a pour dérivée
donc cette dérivée en un point est positive si et seulement si :
- .
Par conséquent, la condition 2 (resp. 3) équivaut à la croissance de sur l'intervalle (resp. ) pour tout .
D'après la propriété 3, chacune de ces deux conditions équivaut à la convexité de , donc la dernière aussi.
Une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses tangentes.
Soient . La tangente à la courbe au point a pour équation :
.
Le point d'abscisse de cette tangente est donc en dessous du point de la courbe de même abscisse si et seulement si .
On conclut grâce à la propriété 12.
On peut démontrer directement que la courbe est :
- au-dessus de ses tangentes pour la fonction exponentielle (convexe) ;
- en dessous pour la fonction logarithme (concave).